专题 1.13 三角形的证明（单元基础卷）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.13 三角形的证明（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东济宁·期末）把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 8．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管、、⋯添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管（   ） A．2根 B．4根 C．5根 D．无数根 9．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且，连接，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点在轴负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，，且，点在直线上，且点位于第一象限，连接，若时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·新疆和田·期末）如图，的度数为 ． 12．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知一个直角三角形斜边上的中线长为，则它的斜边长为 ． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，的角平分线相交于点P，则 ． 14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求 ． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为 ． 16．（22-23七年级下·贵州·期末）如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为 ．    17．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线交于点P，交的平分线于点D，连接并延长，交边于点E（点E与点A不重合）．若是等腰三角形，则的度数为 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南周口·期末）在中，是边上的高．是的角平分线，，． (1)利用尺规作图，作出线段（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的度数． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 22．（本小题满分10分）（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·江苏南京·月考）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图，，点，分别在，上运动不与点重合探究与发现：若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)①若，则______； 猜想：的度数是否随，的运动而发生变化？并说明理由； (2)拓展延伸：如图，若，，求的度数． 24．（本小题满分12分）（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.13 三角形的证明（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图——基本作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则，，然后根据三角形外角和定理以及内角和定理即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 故选：． 2．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质，正确掌握三角形外角的求法是解题的关键． 根据三角形外角的性质，计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵箭经过的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 4．（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由三角形外角性质得，由角平分线定义得，由三角形外角性质得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分交于点F， ， ∴， ∴． 故选：B． 6．（25-26九年级上·山东济宁·期末）把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于F， 在中，， ∴，， ∵两个同样大小的含角的三角尺， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故选：D． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠问题、等腰三角形的判定与性质和勾股定理，由于，所以，两次折叠后，有许多相等的量，利用这些条件结合勾股定理可得出正确答案． 【详解】解：∵等腰直角中，∵， ∴， ∵折叠 ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 中，， ∴， ∴， ∴ ∴，， 的周长等于； ∵， ∴不平分， ∴①，③错误，②④正确， 故选：C． 8．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管、、⋯添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管（   ） A．2根 B．4根 C．5根 D．无数根 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．利用三角形的外角性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算求解． 【详解】解：如图，∵，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 故，不能再添加了． 综上，最多能添加这样的钢管5根． 故选：C． 9．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且，连接，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 延长至点，使，连接，证明，得出相等的边和角，根据线段垂直平分线的性质得出相等边和，根据同角的余角相等得出，证明，得出相等边，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵垂直平分线段， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点在轴负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，，且，点在直线上，且点位于第一象限，连接，若时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．先求出点和点的坐标，再求出的长，进而得到的长，则可求出点的坐标，最后利用待定系数法求得的解析式，过点B作交直线于，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F，然后利用一线三垂直模型构成全等三角形，证明，设，进而求得点的坐标，代入直线的解析式，求得的值，即可求解． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 如图所示，过点B作交直线于，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴ ，即， ∵点D在直线上， ∴， 解得； ∴ 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·新疆和田·期末）如图，的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质，是解题的关键．根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：根据三角形外角的性质可得： ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知一个直角三角形斜边上的中线长为，则它的斜边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵一个直角三角形斜边上的中线长为， ∴它的斜边长为， 故答案为：4． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，的角平分线相交于点P，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由是的平分线，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求 ． 【答案】12 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴==， 故答案为：12． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键； 先证明，得出对应边长度，再结合的性质得出EG的长度． 【详解】解：由题可知：， ∴和是直角三角形 ∴在和中 ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：1 ． 16．（22-23七年级下·贵州·期末）如图，已知，射线平分，过点E作于点H，作于点F，并延长交于点G，连接．若，则的长为 ．    【答案】2 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分线的性质可得，即可求出的长． 【详解】， ， 即． ，     ， ． ∵平分， ， ， ∴平分． ， ． ， ， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，“等角对等边”．熟练掌握以上知识，且证明平分是解题的关键． 17．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.如图，过作于，记的交点为，可得，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于，记的交点为， ∵是边上的高，在左侧作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线交于点P，交的平分线于点D，连接并延长，交边于点E（点E与点A不重合）．若是等腰三角形，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设， ∵是的平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴，　 ∴ 连接，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵是的平分线， ∴， ∴且 ∵是等腰三角形， ∴有两种情况： ①，此时， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②，此时， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南周口·期末）在中，是边上的高．是的角平分线，，． (1)利用尺规作图，作出线段（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线、直角三角形的两个锐角互余等： （1）根据尺规作图——作角平分线的方法步骤作图即可； （2）根据垂直的定义可得，再由直角三角形的两个锐角互余求得，然后角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：是边上的高， ． 又， ， ． 又是的角平分线， ， ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得到再利用证明，从而得到结论； （2）由，，求得，因为，得到，再根据，利用三角形内角和求得最后结果． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解． （1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， ∴点B、点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 22．（本小题满分10分）（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、三角形的内角和定理，关键是全等三角形的论证； （1）根据等边对等角可得，结合，可得，进而得出，结论可证； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）知， ， ，， ， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·江苏南京·月考）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图，，点，分别在，上运动不与点重合探究与发现：若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)①若，则______； 猜想：的度数是否随，的运动而发生变化？并说明理由； (2)拓展延伸：如图，若，，求的度数． 【答案】(1)①；②的度数不会随，的运动而发生变化，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的外角可得，再利用角平分线的定义可得，，然后再利用三角形的外角可得，进行计算即可解答； 利用的解题思路，进行计算即可解答； （2）利用的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）是的一个外角， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， 故答案为：； 的度数不会随A，的运动而发生变化， 理由：是的一个外角， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， 的度数不会随A，的运动而发生变化； （2）是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ，， ， 的度数为． 24．（本小题满分12分）（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴ 即， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴， （2）如图，过A作交延长线于G， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $