专题 1.12 三角形的证明（全章知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.12 三角形的证明（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】三角形内角和定理 2 ★【题型 1】利用三角形内角和与外角性质求角度 2 ★【题型 2】通过三角形内角和与外角性质进行证明 3 ★★【题型 3】折叠问题：利用三角形内角和与外角性质进行推导与计算 4 【知识点二】等腰三角形 5 ★【题型 1】角度计算：利用 “等边对等角” 求等腰三角形内角 5 ★【题型 2】证明题：证明线段相等、角相等，或证明三角形是等腰 与等边三角形 6 ★★【题型 3】三线合一应用：利用其性质求线段长度、证明垂直或中点 7 【知识点三】直角三角形 8 ★【题型 1】证明题：证明三角形是直角三角形，或利用 HL 证明全等 8 ★★【题型 2】特殊直角三角形（含30∘、45∘的直角三角形） 9 【知识点四】线段垂直平分线 10 ★【题型 1】尺规作图：作线段的垂直平分线 10 ★★【题型 2】证明题：证明点在线段的垂直平分线上，或利用性质证明线段相等 12 【知识点五】角平分线 13 ★【题型 1】尺规作图：作角的平分线 13 ★★【题型 2】综合题：结合等腰、直角三角形，利用角平分线性质解决角度或线段问题 15 二.中考真题 16 （一）单选题（6题） 16 （二）填空题（6题） 17 （三）解答题（4题） 18 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】三角形内角和定理 1. 三角形内角和为 180∘； 2. 三角形外角等于不相邻两内角之和，大于任一不相邻内角； 3. 直角三角形两锐角互余。 ★【题型 1】利用三角形内角和与外角性质求角度 【例题1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，是边上的一点，连接，． (1)是的__________； (2)根据图中数据，求的度数． 【变式1】（25-26九年级上·河南漯河·期末）将一把直尺和一把等腰三角尺按如图方式摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为 度． 【变式3】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，中，，，，若，求的度数． ★【题型 2】通过三角形内角和与外角性质进行证明 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，是的边延长线上的一点，是上一点，连接．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽·期末）如图，是的角平分线，B，C，E三点共线，则α，β，γ之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，直线，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分平分，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·江西南昌·月考）中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由． ★★【题型 3】折叠问题：利用三角形内角和与外角性质进行推导与计算 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【变式1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·福建龙岩·月考）（1）如图1，已知在中，，沿着剪去后变成四边形，求的值； （2）如图2，把沿着折成如图2所示的形状，猜想与的关系，并说明理由． 【知识点二】等腰三角形 1.定义：两边相等的三角形； 2.性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）； 3.判定：等角对等边； 4.等边三角形：三边相等，三角均为 60∘，三线合一，是特殊的等腰三角形。 ★【题型 1】角度计算：利用 “等边对等角” 求等腰三角形内角 【例题1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点E在的边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，，，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为 ． 【变式3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在和中，，，且，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． ★【题型 2】证明题：证明线段相等、角相等，或证明三角形是等腰 与等边三角形 【例题2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在四边形中，，，，，若的周长为，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川广安·期中）已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． ★★【题型 3】三线合一应用：利用其性质求线段长度、证明垂直或中点 【例题3】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，为的中点，过点作，分别交，于点，．求证：． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，平分，，若，，则的长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，在中，，D为中点，，于点C，且，延长线于点F，则的面积 ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·期末）在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【知识点三】直角三角形 1. 性质：两锐角互余；勾股定理 ；斜边中线等于斜边一半；30∘角所对直角边是斜边一半； 2. 判定：有一个角是 90∘；两锐角互余；勾股定理逆定理；一边上的中线等于这条边的一半； 3.全等判定：HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。 ★【题型 1】证明题：证明三角形是直角三角形，或利用 HL 证明全等 【例题1】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知：如图，中，于D，，． (1)求的度数． (2)请探究线段与线段的数量和位置关系． ★★【题型 2】特殊直角三角形（含30∘、45∘的直角三角形） 【例题2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，点是边上的动点，，点为线段的中点，连接，当时，则的长为 ． 【变式3】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）如图，在中，，求 【知识点四】线段垂直平分线 1.性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 2.判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 3.三角形外心：三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等 ★【题型 1】尺规作图：作线段的垂直平分线 【例题1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，把线段进行以下操作： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连； ③在上取点，过点作分别交于点E，F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，作直线和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和交于点N，连接．若，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（2024·山东泰安·一模）如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得 度． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N，作直线交于点D，连接，若，， (1)求的周长； (2)在下方取点K，以D为圆心为半径画弧，交于点E和点F，求证：． ★★【题型 2】证明题：证明点在线段的垂直平分线上，或利用性质证明线段相等 【例题2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，点，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列说法正确的是（    ） A．若，则垂直平分 B．若，则垂直平分 C．若，则垂直平分 D．若，则垂直平分 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，垂直平分，垂直平分，设与相交于，则点与边的关系如何？请用一句话表示： ． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，垂直平分，点在的延长线上，点为的中点，且满足． (1)求证：垂直平分线段． (2)若，，求长． 【知识点五】角平分线 1. 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上 3. 三角形内心：三条角平分线的交点，到三边距离相等 ★【题型 1】尺规作图：作角的平分线 【例题1】（24-25九年级下·湖南长沙·月考）如图，在中，，以顶点为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，    (1)可知是的角平分线，理由是（    ） A．     B．       C．        D． (2)若，，求的面积． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，的周长是40，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点 M，N，分别以M，N为圆心大于 长为半径画弧，两弧交于点 D，作射线；再以C为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点P，Q，分别以P，Q为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点 G，过点 G作于点F， 若， 则的长度分别是（  ） A．15， 11 B．14， 12 C．14， 11 D．13， 12 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，中，，分别以顶点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与、交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和点，再分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：；垂直平分线段；；．其中，正确的结论是 ．（填序号） 【变式3】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点． (1)当时，点 （填“在”或“不在”）线段的垂直平分线上； (2)若，，判断点是否在的平分线上，并说明理由． ★★【题型 2】综合题：结合等腰、直角三角形，利用角平分线性质解决角度或线段问题 【例题2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在学习完浙教版数学八年级上册《1.7角平分线》这节课后，小锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？ (1)如图1，小锦在射线上任取一点D，过点D作，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，求证：是的角平分线； (2)如图2，小绣分别在，上截取，利用三角板构造，且直线交于点G，同样作，直线交于点F．与交于点E，求证：是的角平分线． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，．平分，交于点D．点P在边上，连接，那么线段长度的最小值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求证：． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 3．（2023·四川·中考真题）一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4．（2024·山东·中考真题）是外角的平分线，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 6．（2023·海南·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 8．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是 三角形 9．（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度． 10．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    11．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．    12．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，直线，点O在b上，以O为圆心画弧，交a于不同两点A，B，若，则 °． （三）解答题（4题） 13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 14．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 15．（2020·四川内江·中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧， (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.12 三角形的证明（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】三角形内角和定理 2 ★【题型 1】利用三角形内角和与外角性质求角度 2 ★【题型 2】通过三角形内角和与外角性质进行证明 5 ★★【题型 3】折叠问题：利用三角形内角和与外角性质进行推导与计算 7 【知识点二】等腰三角形 11 ★【题型 1】角度计算：利用 “等边对等角” 求等腰三角形内角 11 ★【题型 2】证明题：证明线段相等、角相等，或证明三角形是等腰 与等边三角形 14 ★★【题型 3】三线合一应用：利用其性质求线段长度、证明垂直或中点 17 【知识点三】直角三角形 21 ★【题型 1】证明题：证明三角形是直角三角形，或利用 HL 证明全等 21 ★★【题型 2】特殊直角三角形（含30∘、45∘的直角三角形） 25 【知识点四】线段垂直平分线 29 ★【题型 1】尺规作图：作线段的垂直平分线 29 ★★【题型 2】证明题：证明点在线段的垂直平分线上，或利用性质证明线段相等 33 【知识点五】角平分线 36 ★【题型 1】尺规作图：作角的平分线 36 ★★【题型 2】综合题：结合等腰、直角三角形，利用角平分线性质解决角度或线段问题 42 二.中考真题 46 （一）单选题（6题） 46 （二）填空题（6题） 50 （三）解答题（4题） 54 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】三角形内角和定理 1. 三角形内角和为 180∘； 2. 三角形外角等于不相邻两内角之和，大于任一不相邻内角； 3. 直角三角形两锐角互余。 ★【题型 1】利用三角形内角和与外角性质求角度 【例题1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，是边上的一点，连接，． (1)是的__________； (2)根据图中数据，求的度数． 【答案】(1)角平分线 (2)． 【分析】本题考查了角的定义，三角形的外角性质和三角形内角和定理． （1）利用角平分线的定义即可判断； （2）利用三角形的外角性质求得，，再利用三角形的内角和定理求解即可． （1）解：∵， ∴， ∴是的角平分线， 故答案为：角平分线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·河南漯河·期末）将一把直尺和一把等腰三角尺按如图方式摆放．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的角度计算，熟练掌握平行线的性质以及角度的和差计算是解题的关键． 先根据已知的直角和角度计算出的度数，再结合求出的度数，最后利用平行线的性质，得出与相等，从而求出的度数． 解：如图， 由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键是辅助线的作法；延长交于点即可． 解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，中，，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理是解题的关键． 先证明，可得，再由三角形内角和定理，可得，即可求解． 解：∵，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ★【题型 2】通过三角形内角和与外角性质进行证明 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，是的边延长线上的一点，是上一点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角这一性质，并能通过中间角传递大小关系是解题的关键． 要证明，需通过三角形外角的性质，利用中间角传递大小关系，先证，再证 ，从而推出结论． 证明：是的外角， ． 是的外角， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽·期末）如图，是的角平分线，B，C，E三点共线，则α，β，γ之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 设，则，利用外角可得，，再进一步即可解答． 解：设，则， ∴，， ∴， ∴，即． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，直线，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分平分，则 ． 【答案】52 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形外角定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 过点作交于点，得出，根据平行线的性质和角平分线的定义，假设，，根据三角形的外角、平行线的性质以及角平分线的定义得出，然后利用角的和差列出方程求解即可． 解：如图所示，过点作交于点，相交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴假设，， ∴， ∵平分，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：52． 【变式3】（25-26八年级上·江西南昌·月考）中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由． 【答案】为钝角三角形． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．先根据题意表示出，，根据三角形内角和是，列出方程，求出的度数，即可得出和的度数，根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形即可求解． 解：∵是的倍，比大， 故，， 即， ∵， 即， 解得：， 故， ， 所以为钝角三角形． ★★【题型 3】折叠问题：利用三角形内角和与外角性质进行推导与计算 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． （1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建龙岩·月考）（1）如图1，已知在中，，沿着剪去后变成四边形，求的值； （2）如图2，把沿着折成如图2所示的形状，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，解题的关键是灵活运用三角形外角与内角的关系． （1）利用三角形外角的性质，将和分别用与三角形内角表示，再结合三角形内角和为计算的值； （2）通过连接，利用三角形外角的性质，将和用与相关的角表示，进而得出它们的关系． 解：（1）∵， ； （2），理由如下： 连接，由翻折可知：， ． 【知识点二】等腰三角形 1.定义：两边相等的三角形； 2.性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）； 3.判定：等角对等边； 4.等边三角形：三边相等，三角均为 60∘，三线合一，是特殊的等腰三角形。 ★【题型 1】角度计算：利用 “等边对等角” 求等腰三角形内角 【例题1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点E在的边上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及全等三角形的判定即可解答； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可解答． （1）解：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【变式1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，，，，点D在边上，与相交于点O．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．先证明，再结合全等三角形的性质和等腰三角形的性质进行分析，即可解题． 解：， ， ， ，， ， ， ， ， ； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在和中，，，且，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）由，可得，再根据全等三角形的判定，即可求证； （2）根据全等，可得，则，即可求解． （1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）可知， ， ， ， ． ★【题型 2】证明题：证明线段相等、角相等，或证明三角形是等腰 与等边三角形 【例题2】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． （1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）证明：， ， ， ． 是等边三角形． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，在四边形中，，，，，若的周长为，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，以及利用特殊角度三角形的边长关系进行计算． 根据，，得到，通过证明是等边三角形，得到，进而得到，根据是等边三角形得到的长度，根据一个角是的直角三角形的斜边是角所对的直角边的倍，得到的长度． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，的周长为， ∴， ∴在中，． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·四川广安·期中）已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性，等边三角形的定义， 根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分都为零，进而得到且，求出，即可得到是等边三角形． ∵，，且， ∴且， ∴且， 解得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． （1）利用“等角对等边”得到，结合已知条件用证明全等； （2）由全等得，再证，从而判定为等边三角形． （1）证明：∵在中，， ∴． 在和中，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的外角，， ∴， ∴是等边三角形． ★★【题型 3】三线合一应用：利用其性质求线段长度、证明垂直或中点 【例题3】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，为的中点，过点作，分别交，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，利用等腰直角三角形的性质，证明 来完成． 解：如图，连接． ，为的中点， ，， ． ， ． ，， ， ， ． ， ， ， 即． 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是通过连接，构造全等三角形，将证明线段相等的问题转化为证明三角形全等的问题． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，平分，，若，，则的长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，则，，求出，由等腰三角形的性质可得，，结合含角的直角三角形的性质得出，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵在中，，平分， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期末）如图，在中，，D为中点，，于点C，且，延长线于点F，则的面积 ． 【答案】9 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三线合一，关键是证明． 由三线合一得到，，，证明，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可． 解：∵，D为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：9． 【变式3】（25-26八年级上·陕西安康·期末）在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再由，即可得证； （2）根据等边三角形的性质得，，证明得，即可得出答案． （1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【知识点三】直角三角形 1. 性质：两锐角互余；勾股定理 ；斜边中线等于斜边一半；30∘角所对直角边是斜边一半； 2. 判定：有一个角是 90∘；两锐角互余；勾股定理逆定理；一边上的中线等于这条边的一半； 3.全等判定：HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。 ★【题型 1】证明题：证明三角形是直角三角形，或利用 HL 证明全等 【例题1】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形内角和是关键；通过三角形内角和为，分别验证各选项是否能推出一个角为；选项A、B、C均能推出直角三角形，选项D计算后无角，故不能确定． 解：选项A：∵ ，且 ， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项B：设，则， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项C：∵ ， ∴， 又， ∴ ，能确定直角三角形； 选项D：设，则，， ∴， ∴，，不能确定直角三角形； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知：如图，中，于D，，． (1)求的度数． (2)请探究线段与线段的数量和位置关系． 【答案】(1) (2)数量关系：；位置关系： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）证明，得到，再由邻补角互补求解； （2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等，结合直角三角形锐角互余即可求解． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：数量关系：；位置关系： 延长交于点， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． ★★【题型 2】特殊直角三角形（含30∘、45∘的直角三角形） 【例题2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①150度；②2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由得，结合可判断为等边三角形； （2）①证明得，运用周角可求出结论； ②证明，可得结论． （1）证明：∵， ∴, ∵， ∴为等边三角形； （2）解：①∵为等边三角形， ∴， 又，， ∴ ∴， 又，， ∴ ②， ． 由（1）知，， ， 又， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角求，是解题的关键． 延长，相交于点，构建直角，通过角所对的直角边是斜边的一半求得，通过勾股定理求出线段的长，根据线段和差关系求得，根据结合勾股定理、角所对的直角边是斜边的一半可求出，，由此即可求出． 解：如图，延长，相交于点． 在中，． ， ， ， ，． 在中，， ，且， 解得，， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，在中，，点是边上的动点，，点为线段的中点，连接，当时，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点A作于点H，证明，则，求出，得到，则，得到，则，求出，即可求出的长． 解：过点A作于点H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形是关键． 【变式3】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）如图，在中，，求 【答案】 【分析】本题考查的直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，由勾股定理可求，在中，因为，可由勾股定理求出长，则可求． 解：作， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得，(负值舍去) ∴， 在中， ∵， ∴， 则， ． 【知识点四】线段垂直平分线 1.性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 2.判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 3.三角形外心：三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等 ★【题型 1】尺规作图：作线段的垂直平分线 【例题1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，把线段进行以下操作： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点； ②以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连； ③在上取点，过点作分别交于点E，F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等角对等边，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由作图方法可知垂直平分，，则可证明，即可证明是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得到，由平行线的性质得到，则可证明，是等边三角形，据此求出的长即可得到答案． （1）解：是等边三角形，理由如下： 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由（1）可知是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，作直线和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和交于点N，连接．若，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线、角平分线的尺规作图、三角形中位线定理等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 根据基本作图可知，进而可得，再根据作图可得平分，进而可得，然后根据三角形中位线定理求解即可． 解：由作图步骤①可知，是边的垂直平分线， ∴， 由作图步骤②可知，， ∵， ∴ 由作图步骤③可知，， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（2024·山东泰安·一模）如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得 度． 【答案】25 【分析】题目主要考查角平分线的作法及垂直平分线的作法，根据题意得出，再由等边对等角得出，结合图形确定，利用角平分线求解即可，熟练掌握两种基本的作图方法是解题关键． 解：∵，． ∴， 根据作法得：垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 由作法得：平分， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N，作直线交于点D，连接，若，， (1)求的周长； (2)在下方取点K，以D为圆心为半径画弧，交于点E和点F，求证：． 【答案】(1)23 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （1）根据作图过程可得是线段的垂直平分线，得，进而可得的周长； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质即可得到结论． （1）解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，∵是的垂直平分线， ∴， 由作图知，， ∵， ∴， ∴， ∴． ★★【题型 2】证明题：证明点在线段的垂直平分线上，或利用性质证明线段相等 【例题2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，点，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定； （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换，即可得证； （2）根据即可得出垂直平分． （1）证明：如图连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴垂直平分． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列说法正确的是（    ） A．若，则垂直平分 B．若，则垂直平分 C．若，则垂直平分 D．若，则垂直平分 【答案】C 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理逐一判断进而得到答案． 解：A、若，则在线段的垂直平分线上，该选项说法错误，不符合题意； B、若，则在线段的垂直平分线上，该选项说法错误，不符合题意； C、若，则垂直平分，该选项说法正确，符合题意； D、若，则垂直平分，该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，能熟记到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解此题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，中，垂直平分，垂直平分，设与相交于，则点与边的关系如何？请用一句话表示： ． 【答案】点到两端的距离相等 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．连接，根据垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，，进而可得，即可获得答案． 解：如图，连接， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， 即， 故点到两端的距离相等． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，垂直平分，点在的延长线上，点为的中点，且满足． (1)求证：垂直平分线段． (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据垂直平分，可以得到，，根据等量代换可得，进而可证明． （1）解：证明：∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． （2）由（1）得，即， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得：． 【知识点五】角平分线 1. 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上 3. 三角形内心：三条角平分线的交点，到三边距离相等 ★【题型 1】尺规作图：作角的平分线 【例题1】（24-25九年级下·湖南长沙·月考）如图，在中，，以顶点为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，    (1)可知是的角平分线，理由是（    ） A．     B．       C．        D． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了角平分线的作图过程与性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质是解题关键． （1）连接，证明即可； （2）作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． （1）解：如图，连接，    由作图可得：， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线. 故选：C （2）解：作于E，如图，    ∵， 由作法得平分， ∴， ∵， ∴的面积=． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，的周长是40，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点 M，N，分别以M，N为圆心大于 长为半径画弧，两弧交于点 D，作射线；再以C为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点P，Q，分别以P，Q为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点 G，过点 G作于点F， 若， 则的长度分别是（  ） A．15， 11 B．14， 12 C．14， 11 D．13， 12 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作，垂足分别为，连接，根据角平分线的性质，证明、、，则，得到，即可求得答案． 解：过点作，垂足分别为，连接， 由题意可知，分别是的角平分线， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【变式2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，中，，分别以顶点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与、交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和点，再分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：；垂直平分线段；；．其中，正确的结论是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了作图——复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明，可判断；推出，则，由角平分线的性质得，可判断；由，可判断；由，通过面积可判断，读懂题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴垂直平分线段，故正确， ∵，， ∴，故正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点． (1)当时，点 （填“在”或“不在”）线段的垂直平分线上； (2)若，，判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)在 (2)点不在的平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得，连接，根据三角形内角和定理可得，根据直角三角形的性质得出，推得，根据等边三角形的判定和性质得出，推得，根据垂直平分线的判定即可求解； （2）连接，过点作交于点，根据勾股定理求出，求得，，根据三角形的面积求出，根据角平分线的判定即可求解． （1）解：根据题意可得，， 如图，连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故点在线段的垂直平分线上； 故答案为：在． （2）解：点不在的平分线上，理由如下： 连接，过点作交于点，如图： 在中，， 根据题意可得，， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∵，，， 故点不在的平分线上． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定定理，勾股定理，三角形的面积，角平分线的判定定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． ★★【题型 2】综合题：结合等腰、直角三角形，利用角平分线性质解决角度或线段问题 【例题2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在学习完浙教版数学八年级上册《1.7角平分线》这节课后，小锦和小绣有了新的思考：只用直尺和三角板能做出角平分线吗？ (1)如图1，小锦在射线上任取一点D，过点D作，以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点E，求证：是的角平分线； (2)如图2，小绣分别在，上截取，利用三角板构造，且直线交于点G，同样作，直线交于点F．与交于点E，求证：是的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角． （1）利用平行线的性质结合等边对等角求得，即可证明结论成立； （2）证明，推出，，再证明，得到，即可证明结论成立． （1）证明：∵， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2）证明：由作图知，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，掌握判定直角三角形全等是解题的关键． 连接构造直角三角形，用判定，得，再通过线段差计算的长度． 解：连接，如图． ，， ． 在和中， ， ． ， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，，．平分，交于点D．点P在边上，连接，那么线段长度的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，解直角三角形及利用三角形面积求高．根据题意利用角平分线的定义及直角三角形得出，由垂线段最短得到时，的长度最小，过点D作，，证得和均为等腰直角三角形，设，利用三角形面积公式即可求得a值． 解：∵，平分， ∴， 又∵点P在边上， ∴当时，的长度最小， 如图，过点D作，， ∴和均为等腰直角三角形， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即，解得， ∴长度的最小值为2， 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理和垂直平分线性质求出，证明，得出． （1）证明：过点C作交延长线于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使，连接， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 2．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 3．（2023·四川·中考真题）一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形三个内角的度数之比，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再作出判断即可． 解：三角形三个内角度数之比是， ∴三角形的三个内角依次为：，，， ∴该三角形一定是锐角三角形． 故选：A． 4．（2024·山东·中考真题）是外角的平分线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形外角的性质及角平分线的定义，熟知三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是正确解答此题的关键． 先根据是的外角的平分线，求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数，再根据平角的性质即可求出的度数． 解：是外角的平分线，，， ， 是的外角， ， ， ’ 故答案为：D． 5．（2024·山东·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． ∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴， 故选项B正确，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴， 故选项C正确，不符合题意； D．∵，， ∴； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 6．（2023·海南·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可． 解：由作图可得：为直线的垂直平分线， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （二）填空题（6题） 7．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 8．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是 三角形 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 9．（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得． 解： ，， ， 根据尺规作图过程，可知为的角平分线， ， 故， 故答案为：． 10．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    【答案】1 【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值． 解：设点P的运动时间为，由题意得， ，    ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 11．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．    【答案】或 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ①当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴；    ②当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴；    综上，的度数为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 12．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，直线，点O在b上，以O为圆心画弧，交a于不同两点A，B，若，则 °． 【答案】92 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形的性质成为解题的关键． 先根据平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形内角和定理即可解答． 解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． （1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 14．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． （1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 15．（2020·四川内江·中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出≌是解此题的关键． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案． （1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，，， ， ， ， 16．（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $