6.1 平面向量的概念 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 §6.1平面向量的概念【导学】 导学目标： 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； 2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 【重点】：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 【难点】：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 【知识要点】 向量的实际背景与概念 向量的定义 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 数量的定义 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量). 注意 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小； 向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小 向量的几何表示 有向线段的定义 在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有 的线段叫做有向线段. 如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 . 线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 . 向量的几何表示 画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 向量的表示方法： 一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。 若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母，（书写时用注意用表示）. 注 意 （1）向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向量. （2）有向线段与向量的区别： 有向线段：三要素：起点、大小、方向。 向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。 向量的模 向量的大小，就是向量的长度（或模），记作||或记作。 零向量 长度为0的向量，记作. 单位向量 单位向量：长度等于1个单位的向量. 说明 （1）零向量、单位向量都是只限制大小， 不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定. （2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的. 平行向量定义 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量平行，记作. 相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明 （1）向量与相等，记作； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关. 【典型例题】 题型一 平面向量定义的理解 【例1-1】 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）平行向量一定方向相同；（ ） （2）不相等的向量一定不平行；（ ） （3）与零向量相等的向量必定是零向量；（ ） （4）与任意向量都平行的向量是零向量；（ ） （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量；（ ） （6）两个非零向量相等的当且仅当方向相同；（ ） （7）共线向量一定在同一直线上.（ ） 【例1-2】下列说法中正确的个数是(　　) ①身高是一个向量； ②∠AOB的两条边都是向量； ③温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④物理学中的加速度是向量． A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 平面向量的有关概念 【例2-1】给出下列命题，其中正确命题的个数是(　　) ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形； ③的充要条件是且； ④已知λ，μ为实数，若，则与共线． A．1　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【例2-2】下列说法错误的是（ ） A.向量与向量长度相同 B.单位向量并不全相等 C.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 D.与向量共线的向量，均可以用表示，其中 【例2-3】（多选题）在下列判断中，正确的是(　　) A.长度为0的向量都是零向量； B.零向量的方向都是相同的； C.单位向量的长度都相等； D.单位向量都是同方向. 【例2-4】设与是两个单位向量，则下列结论中正确的是(　　) A.= B．∥ C．||＝|| D．以上都不对 题型三 共线向量的和相等向量 【例3-1】（衔接教材P4L2）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心， （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与向量、、相等的向量. 【例3-2】（衔接教材P5T1）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为 1）中，用直尺和圆规画出下列向量 1.∣OA∣=4，点A在点O正南方向； 2.∣OB∣=，点B在点O北偏西450方向； 3.∣OC∣=2，点C在点O南偏西300方向。 题型四 综合应用 【例4-1】（衔接教材P5T3）判断下列结论是否正确（正确的在括号内打 “√”，错误的打 “×”），并说明理由 1. 若与都是单位向量，则=。（ ） 2. 方向为南偏西60∘的向量与北偏东60∘的向量是共线向量。（ ） 3.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。（ ） 4.若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合。（ ） 5.若与是平行向量，则=。（ ） 6.海拔、温度、角度都不是向量。（ ） 【例4-2】（衔接教材P5T4）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中， （1） 相等的向量共有多少对？ （2） 相反的向量共有多少对？ ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 §6.1平面向量的概念【导学】【解析】 导学目标： 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； 2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 【重点】：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 【难点】：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 【知识要点】 向量的实际背景与概念 向量的定义 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 数量的定义 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量). 注意 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小； 向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小 向量的几何表示 有向线段的定义 在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有 的线段叫做有向线段. 如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 . 线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 . 向量的几何表示 画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 向量的表示方法： 一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。 若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母，（书写时用注意用表示）. 注 意 （1）向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向量. （2）有向线段与向量的区别： 有向线段：三要素：起点、大小、方向。 向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。 向量的模 向量的大小，就是向量的长度（或模），记作||或记作。 零向量 长度为0的向量，记作. 单位向量 单位向量：长度等于1个单位的向量. 说明 （1）零向量、单位向量都是只限制大小， 不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定. （2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的. 平行向量定义 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量平行，记作. 相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明 （1）向量与相等，记作； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关. 【典型例题】 题型一 平面向量定义的理解 【例1-1】 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）平行向量一定方向相同；（ × ） （2）不相等的向量一定不平行；（ × ） （3）与零向量相等的向量必定是零向量；（ √ ） （4）与任意向量都平行的向量是零向量；（ √ ） （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量；（ √ ） （6）两个非零向量相等的当且仅当方向相同；（ √ ） （7）共线向量一定在同一直线上.（ × ） 【例1-2】下列说法中正确的个数是(　B　) ①身高是一个向量； ②∠AOB的两条边都是向量； ③温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④物理学中的加速度是向量． A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 平面向量的有关概念 【例2-1】给出下列命题，其中正确命题的个数是(　B　) ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形； ③的充要条件是且； ④已知λ，μ为实数，若，则与共线． A．1　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【例2-2】下列说法错误的是（ D ） A.向量与向量长度相同 B.单位向量并不全相等 C.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 D.与向量共线的向量，均可以用表示，其中 【例2-3】（多选题）在下列判断中，正确的是( AC ) A.长度为0的向量都是零向量； B.零向量的方向都是相同的； C.单位向量的长度都相等； D.单位向量都是同方向. 【例2-4】设与是两个单位向量，则下列结论中正确的是(　C　) A.= B．∥ C．||＝|| D．以上都不对 题型三 共线向量的和相等向量 【例3-1】（衔接教材P4L2）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心， （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与向量、、相等的向量. 【答案】是共线向量； 是共线向量； 是共线向量； 【例3-2】（衔接教材P5T1）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为 1）中，用直尺和圆规画出下列向量 1.∣OA∣=4，点A在点O正南方向； 2.∣OB∣=，点B在点O北偏西450方向； 3.∣OC∣=2，点C在点O南偏西300方向。 【答案】 题型四 综合应用 【例4-1】（衔接教材P5T3）判断下列结论是否正确（正确的在括号内打 “√”，错误的打 “×”），并说明理由 1. 若与都是单位向量，则=。（× ） 2. 方向为南偏西60∘的向量与北偏东60∘的向量是共线向量。（√） 3.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。（×） 4.若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合。（√） 5.若与是平行向量，则=。（×） 6.海拔、温度、角度都不是向量。（√） 【例4-2】（衔接教材P5T4）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中， （1） 相等的向量共有多少对？ （2） 相反的向量共有多少对？ 【答案】 （1）相等的向量共有24对. （2）相反的向量共有17对. 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