（解决问题专项）专题12 工程问题-2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测（通用版）

2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 在小学生迈向中学的关键转折点上，小升初不仅是对六年学习成果的检验，更是对学生综合能力的一次重要评估。数学作为一门基础性与思维性并重的学科，在这一过程中尤为关键。《2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为这一关键阶段量身打造的系统复习资料，旨在帮助学生夯实基础、拓展思维、提升能力，从容迎接升学挑战。 小升初数学考试不仅考查学生对基础知识的掌握程度，更注重他们在真实情境中分析问题、解决问题的能力。为此，本套资料以“讲—练—测”三位一体的设计理念，构建科学高效的复习路径： “讲”是知识的系统梳理与思维引导。我们以清晰易懂的语言，对数与代数、图形与几何、统计与概率等核心板块进行结构化讲解，注重知识之间的联系与迁移。通过典型例题的逐步解析，帮助学生理解解题思路，掌握方法本质，从而做到触类旁通。 “练”是能力的巩固与提升。我们依据小升初命题趋势，精心设计梯度合理、题型全面的练习题，涵盖基础巩固题、能力拓展题和综合应用题等多个层次。学生可在练习中强化记忆、熟练技巧，逐步建立解题信心。 “测”是效果的检验与反馈。每个复习阶段配有贴合真实考试要求的测评卷，帮助学生检测学习成效，发现薄弱环节。详尽的答案解析不仅指出错误原因，更提供思路指引，引导学生养成反思与总结的学习习惯。 我们相信，有效的复习不仅是知识的重复，更是方法的优化与思维的重建。愿这套融合讲解、练习与测评的复习资料，成为学生冲刺路上的得力助手，帮助他们在小升初的考场上沉着应对，稳健发挥，迈向更加广阔的学习天地。 2026年1月 （解决问题专项）专题12 工程问题 一、选择题 1．做同样的零件，甲3小时做15个零件，乙做一个零件需小时，丙每小时做7个零件，这三个人中工作效率最高的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（    ）天假。 A．1 B．3 C．5 D．6 3．为方便本村的农产品运输，计划修一条500米长的公路。甲队单独修要10天，乙队单独修要15天，如果两队合修，几天可以修完？以下列式正确的是（    ）。 A．1÷（10＋15） B．500÷（10＋15） C．1÷ D．500÷ 4．一项工程，甲队单独做要10天完成，乙队单独做要8天完成，甲队的工作效率比乙队慢（    ）。 A． B． C． D． 5．下面的说法中。正确的有（    ）个。 ①用10倍的放大镜看一个30°的角，它就变成300°的角了。 ②完成一项任务，甲单独做10小时完工，乙单独做15小时完工，则甲乙二人的工作效率之比是3∶2。 ③一个圆柱的底面直径是a，高也是a，它的侧面展开图是正方形。 ④生产的90个零件中，有10个是废品，则合格率是90%。 ⑤挖一条水渠，已经挖的长度和没有挖的长度不成比例。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．修一条路，已经修了km，还剩下全长的没修，已经修的和没修的长度相比，（    ）。 A．已修的长 B．没修的长 C．同样长 D．无法确定 7．如果两辆车同时配送，（    ）小时可以将这些快递送完。 A． B．1 C．5 D． 8．一件工作，甲单独做12小时可以完成，现在甲、乙合做3小时后，甲因事外出，剩下的工作乙又用了小时做完。如果这件工作全部由乙做，需要（    ）小时可完成。 A．10 B．11 C．8 D．9 二、填空题 9．有一桶饮料，甲一人饮可以喝15天，若和乙同饮可以喝10天，则乙独饮可以喝（ ）天。 10．一项工程，甲队独做6天完成，乙队独做9天完成。如果两队先合做3天，能完成这项工程的（ ），剩下的由乙队独做，还需（ ）天才能完成。 11．一项工程甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，在这期间，甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），开始到完工共用了（ ）天。 12．甲、乙、丙、丁四人一起完成一项工程，按工作时间分配报酬，开始每人预领了相等的劳动报酬，可是丁工作一天就病倒了，结果是甲工作6天，乙工作5天，丙工作4天后把工程完成了，丁退回480元补偿给其他三人，最后甲得报酬（ ）元。 13．一项工程，甲队单独完成需要15天，乙队单独完成需要20天。甲队先单独做了5天，剩下的由两队合作完成。甲、乙两队合作了（ ）天，最终一共用（ ）天完成工程。 14．一项工程，甲队单独完成需要2天，乙队单独完成需要3天。甲队的工作效率是（ ），乙队的工作效率是（ ），两队一起完成这项工程需要（ ）天。 15．“6•18购物节”期间，某仓储中心自动分拣系统小时可以分拣万件货物，这个自动分拣系统8小时可分拣（ ）万件货物。 16．一个蓄水池有两进水管和一放水管，单开一个进水管20分钟能放满一池水，单开一个放水管15分钟能放完一池水，现有满满一池水，先开一个进水管和放水管，当水池还剩水时，然后再打开另一个进水管，15分钟后关闭放水管，直到水池重新放满水，则这个过程中共用时（ ）分钟。 三、判断题 17．一项工程甲乙合作8天完成，甲单独做需16天完成，甲和乙的工作效率都是。（ ） 18．完成一项工程，甲队独做需要8小时，乙队独做需要6小时，则甲、乙两队工作效率之比为4∶3。（ ） 19．一项工程，甲、乙两个队合作，6天可以完成。假如甲单独做需要10天完成，那么乙单独做需要15天完成。（ ） 20．一项工程，甲、乙合作6天完成，乙独做12天完成，甲、乙的工作效率是相同的。（ ） 21．王师傅在完成一件工作时，劳动效率提高了20%，因此所用的时间节约了20%。（ ） 四、解答题 22．一件工程，甲独做要6天完成，乙独做要9天完成，，现在甲乙两队合做3天后，剩下的由甲独做还需要多少天才能完成？ 23．一间房，由甲乙两个工程队合盖，需要24天完成。现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，这样共完成工程的，如果从开始就由甲队单独盖，需要多少天盖好？ 24．一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成的时间和甲队单独完成的时间比为3∶2，现在这项工程先由甲、乙两队合作3天，剩下的由甲队继续完成。甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 25．修一条路，甲队单独修要18天完成，乙队单独修要9天完成。两队合作，多少天可以修完这条路的一半？ 26．临近新年，王阿姨和李阿姨两人接到了一批手工吉祥娃娃的订单，由王阿姨单独完成需要10天，由李阿姨单独完成需要15天，若二人合作，多长时间可以完成这批订单的？ 27．修一条公路，甲、乙两队合作6天可以完成。现由甲队独修5天后，再由乙队独做3天，还剩全部工程的没有完成。已知甲队每天比乙队多修30米，这条公路长多少米？ 28．学校食堂急需改造，计划在国庆节期间最多用5天的时间完成，现有3个施工队入选，3个队单独施工的时间和费用见下表。 甲 乙 丙 时间/天 8 12 15 费用/（元/天） 4000 3600 3000 受场地的限制，最多只能有两个施工队同时施工。如果你是校长的话，你会怎样安排？需要多少费用？ 29．某工厂共有474个零件需要加工，先由师傅加工1小时，再由师徒两人一起加工。已知徒弟每小时加工30个，师傅与徒弟的工作效率比是7∶5。 （1）师傅每小时加工零件多少个？ （2）两人一起加工后几小时可完成任务？ 30．下面是某酸奶生产线上的生产情况记录表。 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7 … 生产总量/吨 0 15 30 45 60 75 90 105 … （1）判断该酸奶生产线上的生产总量与生产时间是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中该酸奶生产线上的生产总量与生产时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该酸奶生产线9.6时可以生产酸奶（    ）吨；生产270吨酸奶需要（    ）时。 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 在小学生迈向中学的关键转折点上，小升初不仅是对六年学习成果的检验，更是对学生综合能力的一次重要评估。数学作为一门基础性与思维性并重的学科，在这一过程中尤为关键。《2025-2026学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为这一关键阶段量身打造的系统复习资料，旨在帮助学生夯实基础、拓展思维、提升能力，从容迎接升学挑战。 小升初数学考试不仅考查学生对基础知识的掌握程度，更注重他们在真实情境中分析问题、解决问题的能力。为此，本套资料以“讲—练—测”三位一体的设计理念，构建科学高效的复习路径： “讲”是知识的系统梳理与思维引导。我们以清晰易懂的语言，对数与代数、图形与几何、统计与概率等核心板块进行结构化讲解，注重知识之间的联系与迁移。通过典型例题的逐步解析，帮助学生理解解题思路，掌握方法本质，从而做到触类旁通。 “练”是能力的巩固与提升。我们依据小升初命题趋势，精心设计梯度合理、题型全面的练习题，涵盖基础巩固题、能力拓展题和综合应用题等多个层次。学生可在练习中强化记忆、熟练技巧，逐步建立解题信心。 “测”是效果的检验与反馈。每个复习阶段配有贴合真实考试要求的测评卷，帮助学生检测学习成效，发现薄弱环节。详尽的答案解析不仅指出错误原因，更提供思路指引，引导学生养成反思与总结的学习习惯。 我们相信，有效的复习不仅是知识的重复，更是方法的优化与思维的重建。愿这套融合讲解、练习与测评的复习资料，成为学生冲刺路上的得力助手，帮助他们在小升初的考场上沉着应对，稳健发挥，迈向更加广阔的学习天地。 2026年1月 （解决问题专项）专题12 工程问题 一、选择题 1．做同样的零件，甲3小时做15个零件，乙做一个零件需小时，丙每小时做7个零件，这三个人中工作效率最高的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【分析】已知甲3小时做15个零件，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，那么甲每小时做的零件数为：15÷3＝5（个）。乙做一个零件需小时，把零件数看作单位“1”，根据“工作效率＝1÷做一个零件所需时间”，可得乙每小时做的零件数为：1÷＝6（个）。甲每小时做5个，乙每小时做6个，丙每小时做7个。因为7＞6＞5，所以丙的工作效率最高。 【解答】15÷3＝5（个） 把零件数看作单位“1”。 1÷ ＝1×6 ＝6（个） 7＞6＞5 所以丙的工作效率最高。 故答案为：C 2．一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（    ）天假。 A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】分析题目，把这项工程看作单位“1”，用工作总量除以工作天数分别求出甲、乙、丙单独工作一天可以完成几分之几，再用加法求出乙、丙合做一天可以完成几分之几，再乘6即可求出乙、丙6天一共可以完成几分之几，再用1减去乙、丙6天一共完成了几分之几即可得到甲一共做了几分之几，再用甲完成的除以甲一天完成了几分之几即可得到甲的工作天数，最后用6减去甲的工作天数即可得到甲的请假天数。 【解答】1÷10＝ 1÷15＝ 1÷20＝ 1－（＋）×6 ＝1－×6 ＝1－ ＝ 6－÷ ＝6－×10 ＝6－3 ＝3（天） 一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了3天假。 故答案为：B 3．为方便本村的农产品运输，计划修一条500米长的公路。甲队单独修要10天，乙队单独修要15天，如果两队合修，几天可以修完？以下列式正确的是（    ）。 A．1÷（10＋15） B．500÷（10＋15） C．1÷ D．500÷ 【答案】C 【分析】根据题意，把“500米长的公路”看作单位“1”，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，根据“合作的工作时间＝工作总量÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率）”列式解答即可。 【解答】1÷（＋） ＝1÷ ＝1×6 ＝6（天） 如果两队合修，6天可以修完。 故答案为：C 4．一项工程，甲队单独做要10天完成，乙队单独做要8天完成，甲队的工作效率比乙队慢（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，用甲乙两队的工作效率差除以乙队的工作效率，可以计算出甲队的工作效率比乙队慢几分之几。 【解答】（）÷ ＝ ＝ 甲队的工作效率比乙队慢。 故答案为：B 【点评】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是要把工作总量看作单位“1”，利用甲乙两队的工作效率差除以乙队的工作效率，列式计算。 5．下面的说法中。正确的有（    ）个。 ①用10倍的放大镜看一个30°的角，它就变成300°的角了。 ②完成一项任务，甲单独做10小时完工，乙单独做15小时完工，则甲乙二人的工作效率之比是3∶2。 ③一个圆柱的底面直径是a，高也是a，它的侧面展开图是正方形。 ④生产的90个零件中，有10个是废品，则合格率是90%。 ⑤挖一条水渠，已经挖的长度和没有挖的长度不成比例。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①用放大镜看一个角时，角的度数不变； ②工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比，根据工作时间求出工作效率的比； ③圆柱的侧面展开图如果是一个正方形，那么圆柱的底面周长和圆柱的高都等于正方形的边长； ④合格率＝合格产品的数量÷产品总数量×100%； ⑤判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【解答】①用10倍的放大镜看一个30°的角，这个角还是30°，错误； ②分析可知，甲的工作效率∶乙的工作效率＝15∶10＝（15÷5）∶（10÷5）＝3∶2，正确； ③圆柱的底面直径是a，底面周长为，圆柱的高为a，底面周长和高不相等，它的侧面展开图不是正方形，错误； ④（90－10）÷90×100% ＝80÷90×100% ≈0.889×100% ＝88.9% 所以，合格率是88.9%，题干说法错误。 ⑤已经挖的长度＋没有挖的长度＝这条水渠的总长度（一定），所以挖一条水渠，已经挖的长度和没有挖的长度不成比例，正确。 由上可知，正确的有②⑤，一共2个。 故答案为：B 【点评】掌握图形放大的特点、工作效率与工作时间的关系、圆柱的侧面展开图特征、合格率的计算方法、正反比例关系的判定方法是解答题目的关键。 6．修一条路，已经修了km，还剩下全长的没修，已经修的和没修的长度相比，（    ）。 A．已修的长 B．没修的长 C．同样长 D．无法确定 【答案】A 【分析】首先区分两个的区别：第一个是一个具体的长度；第二个是把这条路的全长看作单位“1”；由此进行列式，先求出修了全长的几分之几，再与没有修的几分之几比较结果解答即可。 【解答】1－＝ ＜ 故答案为：A 【点评】此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些就表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法，在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几。 7．如果两辆车同时配送，（    ）小时可以将这些快递送完。 A． B．1 C．5 D． 【答案】D 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出两辆车的工作效率，最后利用“工作时间＝工作总量÷两辆车的工作效率之和”求出两辆车同时配送需要的配送时间，据此解答。 【解答】假设工作总量为1。 1÷（＋） ＝1÷ ＝（小时） 所以，小时可以将这些快递送完。 故答案为：D 【点评】掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解答题目的关键。 8．一件工作，甲单独做12小时可以完成，现在甲、乙合做3小时后，甲因事外出，剩下的工作乙又用了小时做完。如果这件工作全部由乙做，需要（    ）小时可完成。 A．10 B．11 C．8 D．9 【答案】B 【分析】甲单独做需要12小时完成，则甲每小时完成总工作量的，甲乙合作3小时，则甲完成了全部的，乙完成了全部的，又这一过程中乙始终在工作，工作了小时，所以乙单独完成需（）÷（）小时。 【解答】 （小时） 故答案为：B 【点评】明确这一过程中乙始终在工作，并根据这一过程中乙完成的占工作量的分率进行解答是完成本题的关键。 二、填空题 9．有一桶饮料，甲一人饮可以喝15天，若和乙同饮可以喝10天，则乙独饮可以喝（ ）天。 【答案】30 【分析】将一桶饮料的量，看作1，已知：甲一人饮可以喝15天，则甲一天能喝的量＝1÷15；若和乙同饮可以喝10天，则甲乙一天能喝的量之和＝1÷10；根据乙一天能喝的量＝甲乙一天能喝的量之和－甲一天能喝的量，计算出乙一天能喝的量，再用一桶饮料的总量1÷乙一天能喝的量＝乙独饮可以喝几天，据此列式计算。 【解答】 ＝1×30 ＝30（天） 所以有一桶饮料，甲一人饮可以喝15天，若和乙同饮可以喝10天，则乙独饮可以喝30天。 10．一项工程，甲队独做6天完成，乙队独做9天完成。如果两队先合做3天，能完成这项工程的（ ），剩下的由乙队独做，还需（ ）天才能完成。 【答案】 【分析】将这项工程的工作量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”先分别计算甲队和乙队的工作效率；然后将甲队和乙队的工作效率求和求出合作效率；再根据“合作工作量＝合作效率×合作时间”计算出合作3天能完成的工作量； 根据“剩余工作量＝1－合作工作量”计算出剩余工作量；再根据“乙队工作时间＝剩余工作量÷乙队工作效率”计算出还需要的天数； 据此解答。 【解答】1÷6＝ 1÷9＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（天） 如果两队先合做3天，能完成这项工程的，剩下的由乙队独做，还需天才能完成。 11．一项工程甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，在这期间，甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），开始到完工共用了（ ）天。 【答案】11 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队各自的工作效率； 已知甲队休息了2天，乙队休息了8天，即甲队单独做了8天，乙队单独做了2天；根据“工作量＝工作效率×工作时间”，分别求出两队独做完成的工作量，再相加，即是两队独做一共完成的工作量； 用工作总量“1”减去已完成的工作量，即是剩下的工作量，剩下的工作量由两队合做完成，根据“合作工时＝合作工作量÷合作工效”，求出完成剩下的工作量还需要的天数； 最后把甲独做的天数、乙独做的天数以及甲乙合做完成剩下工作量的天数相加，即是开始到完工共用的天数。 【解答】甲的工作效率：1÷10＝ 乙的工作效率：1÷30＝ 甲独做8天、乙独做2天共完成： ×8＋×2 ＝＋ ＝＋ ＝ 剩下的工作量由两队合做完成，需要的天数： （1－）÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝1（天） 一共需要：8＋2＋1＝11（天） 开始到完工共用了11天。 12．甲、乙、丙、丁四人一起完成一项工程，按工作时间分配报酬，开始每人预领了相等的劳动报酬，可是丁工作一天就病倒了，结果是甲工作6天，乙工作5天，丙工作4天后把工程完成了，丁退回480元补偿给其他三人，最后甲得报酬（ ）元。 【答案】960 【分析】将4人工作天数相加，除以4，先计算出平均每人工作天数，丁退回480元是他们平均工作天数减去1天丁没干多得的钱数，丁退回的钱数÷（4－1）＝每天的工资，每天的工资×甲工作的天数＝最后甲得到的报酬。 【解答】平均每人应该工作：（1＋6＋5＋4）÷4 ＝16÷4 ＝4（天） 每天的工资为：480÷（4－1） ＝480÷3 ＝160（元） 甲收到的报酬：160×6＝960（元） 最后甲得报酬960元。 13．一项工程，甲队单独完成需要15天，乙队单独完成需要20天。甲队先单独做了5天，剩下的由两队合作完成。甲、乙两队合作了（ ）天，最终一共用（ ）天完成工程。 【答案】 【分析】把整个工程总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，甲队单独完成需15天，因此甲队的工作效率为：；乙队单独完成需20天，因此乙队的工作效率为：。甲队单独做5天的工作量＝甲队效率×工作时间，即；剩余工作量＝总工作量－甲队已完成工作量，即。 两队合作时，工作效率为“甲队效率＋乙队效率”，即；根据：合作时间＝剩余工作量÷合作效率，用除以得出剩余工作量甲、乙两队合作完成的天数。完成工程的总时间就是用甲队单独工作时间（5天）加两队的合作时间计算解答。 【解答】把整个工程总量看作单位“1”。 ÷ ＝ ＝ ＝ ＝（天） （天） 甲、乙两队合作了天，最终一共用天完成工程。 14．一项工程，甲队单独完成需要2天，乙队单独完成需要3天。甲队的工作效率是（ ），乙队的工作效率是（ ），两队一起完成这项工程需要（ ）天。 【答案】 【分析】把这项工程的工作量看作单位“1”，根据工作量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲队、乙队的工作效率；再用总工作量除以两队的工作效率和即可求出两队一起完成这项工程需要的天数。 【解答】1÷2＝ 1÷3＝ 1÷（＋） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 所以一项工程，甲队单独完成需要2天，乙队单独完成需要3天。甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，两队一起完成这项工程需要天。 15．“6•18购物节”期间，某仓储中心自动分拣系统小时可以分拣万件货物，这个自动分拣系统8小时可分拣（ ）万件货物。 【答案】30 【分析】根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，用除以即可求出这种自动分拣系统的工作效率，再根据“工作效率×工作时间＝工作量”，用求得的工作效率乘8即可解答。 【解答】÷×8 ＝××8 ＝30（万件） 则这个自动分拣系统8小时可分拣30万件货物。 16．一个蓄水池有两进水管和一放水管，单开一个进水管20分钟能放满一池水，单开一个放水管15分钟能放完一池水，现有满满一池水，先开一个进水管和放水管，当水池还剩水时，然后再打开另一个进水管，15分钟后关闭放水管，直到水池重新放满水，则这个过程中共用时（ ）分钟。 【答案】 【分析】把满满的一池水看作单位“1”，则一根进水管的工作效率为，一根出水管的工作效率是；满满一池水，先开一根进水管和放水管，当水池还剩下水时所用的时间为：（1－）÷（－）＝40（分钟），再打开另外一根进水管，15分钟后关闭放水管，此时水池中的水量为：（＋）×15＋－（×15）＝，则此时水池中还少1－＝的水；关掉出水管，开两个进水管，把水池放满水需要的时间为：÷（＋）＝（分钟），则这个过程中共用时：40＋15＋＝（分钟）。 【解答】一根进水管的工作效率：1÷20＝ 一根出水管的工作效率是：1÷15＝ （1－）÷（－） ＝÷ ＝×60 ＝40（分钟） （＋）×15＋－（×15） ＝×15＋－1 ＝＋－1 ＝－1 ＝ 1－＝ ÷（＋） ＝÷ ＝×10 ＝（分钟） 40＋15＋ ＝55＋ ＝（分钟） 这个过程中共用时分钟。 【点评】此题主要考查工作量、工作时间和工作效率之间的关系，关键是先求出放掉的水量即放水的效率。 三、判断题 17．一项工程甲乙合作8天完成，甲单独做需16天完成，甲和乙的工作效率都是。（ ） 【答案】√ 【分析】把工程总量看作单位“1”，已知甲单独完成需16天，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”计算出甲的工作效率为；同理，甲乙合作8天完成，计算出甲乙总的工作效率为；最后用总效率减去甲的工作效率，可求得乙的工作效率，进而判断甲和乙的效率是否相同。 【解答】1÷16＝ 1÷8＝ － ＝－ ＝ 可知，甲和乙的工作效率均为，结论正确。 故答案为：√ 18．完成一项工程，甲队独做需要8小时，乙队独做需要6小时，则甲、乙两队工作效率之比为4∶3。（ ） 【答案】× 【分析】根据工作量÷工作时间＝工作效率分别求出甲乙两队的工作效率比，再化成最简整数比。 【解答】1÷8＝ 1÷6＝ ∶ ＝（×24）∶（×24） ＝3∶4 甲、乙两队工作效率之比为3∶4，所以原题说法错误。 故答案为：× 19．一项工程，甲、乙两个队合作，6天可以完成。假如甲单独做需要10天完成，那么乙单独做需要15天完成。（ ） 【答案】√ 【分析】根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出两队合作的工作效率和甲队的工作效率，乙队的工作效率＝两队合作的工作效率－甲队的工作效率，最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”求出乙队单独做需要的天数，据此解答。 【解答】假设工作总量为1。 1÷6＝ 1÷10＝ 1÷（－） ＝1÷ ＝1×15 ＝15（天） 所以，乙单独做需要15天完成。 故答案为：√ 【点评】本题主要考查分数除法的应用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解答题目的关键。 20．一项工程，甲、乙合作6天完成，乙独做12天完成，甲、乙的工作效率是相同的。（ ） 【答案】√ 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此求出甲、乙的工作效率之和是，乙的工作效率为，则甲的工作效率为（－），据此判断即可。 【解答】－＝ 则甲、乙的工作效率是相同的。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点评】本题考查工程问题，明确工作总量、工作时间和工作效率之间的关系是解题的关键。 21．王师傅在完成一件工作时，劳动效率提高了20%，因此所用的时间节约了20%。（ ） 【答案】× 【分析】假设原来的工作时间、工作总量以及工作效率都为1，用工作总量除以提高后的工作效率，求出提高效率后的工作时间。用工作时间差除以原来的工作时间，求出工作时间节省了百分之几。 【解答】1×（1＋20%） ＝1×120% ＝120% 1÷120%＝ （1－）÷1 ＝÷1 ≈17% 因此所用的时间节约了17%，原题干说法错误。 故答案为：× 【点评】本题考查了工程问题，熟练运用“工作总量＋工作效率＝工作时间”是解题的关键。 四、解答题 22．一件工程，甲独做要6天完成，乙独做要9天完成，，现在甲乙两队合做3天后，剩下的由甲独做还需要多少天才能完成？ 【答案】1天 【分析】将整个工程量看作单位1，则甲的工作效率为、乙两队的工作效率为。 再算出甲乙的工作效率和为（），再乘3求出3天合作完成的工作量， 接着用单位“1”减去合作完成的工作量求出剩余的工作量， 最后，用剩余的工作量除以甲队的工作效率即可解答。 【解答】16＝ 19＝ （）3 ＝3 ＝ 1-= ＝1（天） 答：剩下的由甲独做还需要1天才能完成。 23．一间房，由甲乙两个工程队合盖，需要24天完成。现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天，这样共完成工程的，如果从开始就由甲队单独盖，需要多少天盖好？ 【答案】60天 【分析】将整个工程看作工作总量“1”，因为“甲乙两个工程队合盖，需要24天完成”，则甲乙合作效率为。由题意知“现在由甲队先盖6天，再由乙队盖2天”，也可理解为：看作甲乙合干2天，甲队盖（6－2）天。甲乙合干2天的工作量为：，则甲队盖（6－2）天的工作量是，进而计算出甲队的工作效率，最后用工作总量1÷甲队的工作效率＝甲队单独盖需要的天数。据此列式计算即可。 【解答】 ＝60（天） 答：如果从开始就由甲队单独盖，需要60天盖好。 24．一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成的时间和甲队单独完成的时间比为3∶2，现在这项工程先由甲、乙两队合作3天，剩下的由甲队继续完成。甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 【答案】5天 【分析】根据题意，乙队单独完成的时间和甲队单独完成的时间比为3∶2，即乙单独完成的时间是甲队的，用甲队单独完成的时间×，求出乙队单独完成的时间，即10×＝15（天）；根据工作效率＝工作总量÷工作时间；把这项工程看作单位“1”，用1÷甲队单独完成的时间，即1÷10＝，求出甲队的工作效率；用1÷乙队单独完成的时间；即1÷15＝，求出乙队的工作效率；再用甲队工作效率＋乙队工作效率，求出甲队与乙队的工作效率和，再乘3，求出3天甲队与乙队完成这项工程的工作量；再用1减去甲队与乙队3天完成这项工程的工作量，求出剩下这项工程的工作量，再根据工作总量÷工作效率，用剩下这项工程的工作量除以甲队的工作量，即可解答。 【解答】10×＝15（天） [1－（＋）×3]÷ ＝[1－（＋）×3]÷ ＝[1－×3]÷ ＝[1－]÷ ＝÷ ＝×10 ＝5（天） 答：甲队还需要5天才能完成这项工程。 25．修一条路，甲队单独修要18天完成，乙队单独修要9天完成。两队合作，多少天可以修完这条路的一半？ 【答案】3天 【分析】将工作总量看作单位“1”。甲队单独修18天完成，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，甲队的工作效率为：。乙队单独修9天完成，同理，乙队的工作效率为：。 两队合作时，工作效率为两队效率之和：合作效率＝甲效率＋乙效率，即（）。要求修完“这条路的一半”，即目标工作总量为。根据“工作时间＝目标工作总量÷合作效率”，用除以（）计算即可。 【解答】把工作总量看作单位“1”。 甲队工作效率： 乙队工作效率： 修完“这条路的一半”，即目标工作总量为。 ÷（） ＝÷（） ＝÷ ＝×6 ＝3（天） 答：3天可以修完这条路的一半。 26．临近新年，王阿姨和李阿姨两人接到了一批手工吉祥娃娃的订单，由王阿姨单独完成需要10天，由李阿姨单独完成需要15天，若二人合作，多长时间可以完成这批订单的？ 【答案】3天 【分析】把这批手工吉祥娃娃的订单总量看作单位“1”。王阿姨单独完成需要10天，王阿姨的工作效率为1÷10＝。李阿姨单独完成需要15天，李阿姨的工作效率为1÷15＝。 两人合作的工作效率为两人工作效率之和，即（），工作总量是，工作效率是（），用除以（）计算即可解答。 【解答】把这批手工吉祥娃娃的订单总量看作单位“1”。 1÷10＝ 1÷15＝ ÷（） ＝÷（） ＝÷ ＝×6 ＝3（天） 答：二人合作3天可以完成这批订单的 27．修一条公路，甲、乙两队合作6天可以完成。现由甲队独修5天后，再由乙队独做3天，还剩全部工程的没有完成。已知甲队每天比乙队多修30米，这条公路长多少米？ 【答案】900米 【分析】将总工作量看成单位“1”，甲、乙两队合作6天可以完成，则两队的工作效率和是1÷6＝；“甲队独修5天后，再由乙队独做3天”可看成甲、乙两队合作3天，甲再做2天后还剩下。由此可得：甲队的工作效率是（1－－×3）÷2，乙队的工作效率＝两队的工作效率和－甲队的工作效率。最后根据工作效率差对应30米，求出总工作量。 【解答】（1－－×3）÷2 ＝（1－－）÷2 ＝÷2 ＝× ＝ 1÷6－ ＝－ ＝ 30÷（－） ＝30÷ ＝30×30 ＝900（米） 答：这条公路长900米。 28．学校食堂急需改造，计划在国庆节期间最多用5天的时间完成，现有3个施工队入选，3个队单独施工的时间和费用见下表。 甲 乙 丙 时间/天 8 12 15 费用/（元/天） 4000 3600 3000 受场地的限制，最多只能有两个施工队同时施工。如果你是校长的话，你会怎样安排？需要多少费用？ 【答案】甲乙两队；36480元 【分析】把这项工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”可知甲乙丙三队的工作效率分别是、、；因为安排两个工程队同时进行，所以可有三种组合可选：甲乙工作效率总和为＝；甲丙工作效率总和为＝；乙丙工作效率总和为＝。 根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”分别求出这三种组合完成工作所需天数：甲乙两队需要1÷（＋）＝4.8天；甲丙两队需要1÷（＋）≈5.2天；乙丙两队需要1÷（＋）≈6.7天；根据题意“最多用5天的时间完成”，所以安排甲乙两个施工队同时施工。 甲队每天费用4000元，乙队每天费用3600元，两队同时施工4.8天，则总费用为（4000＋3600）×4.8＝36480元。 【解答】1÷8＝ 1÷12＝ 1÷15＝ 选甲乙两队完成工作需要的天数： 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝ ＝4.8（天） 4.8＜5 选甲丙两队完成工作需要的天数： 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝ ≈5.2（天） 5.2＞5 选乙丙两队完成工作需要的天数： 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝ ≈6.7（天） 6.7＞5 所以安排甲乙两个施工队同时施工。 （4000＋3600）×4.8 ＝7600×4.8 ＝36480（元） 答：应安排甲乙两个施工队同时施工，需要36480元。 29．某工厂共有474个零件需要加工，先由师傅加工1小时，再由师徒两人一起加工。已知徒弟每小时加工30个，师傅与徒弟的工作效率比是7∶5。 （1）师傅每小时加工零件多少个？ （2）两人一起加工后几小时可完成任务？ 【答案】（1）42个； （2）6小时 【分析】（1）先根据比的意义，用徒弟每小时加工的个数除以5即可得到一份是多少，再用一份乘师傅的工作效率对应的份数7即可解答； （2）先用零件的总个数减去师傅1小时加工的个数即可得到剩下的个数，再用剩下的个数除以师傅和徒弟两人的效率之和即可解答。 【解答】（1）30÷5×7 ＝6×7 ＝42（个） 答：师傅每小时加工零件42个。 （2）（474－42）÷（30＋42） ＝432÷72 ＝6（时） 答：两人一起加工后6小时可完成任务。 30．下面是某酸奶生产线上的生产情况记录表。 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7 … 生产总量/吨 0 15 30 45 60 75 90 105 … （1）判断该酸奶生产线上的生产总量与生产时间是否成正比例？并说明理由。 （2）把上表中该酸奶生产线上的生产总量与生产时间所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）该酸奶生产线9.6时可以生产酸奶（    ）吨；生产270吨酸奶需要（    ）时。 【答案】（1）成正比例；理由见详解 （2）见详解 （3）144；18 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。对于生产总量和生产时间，15÷1＝15（吨/时），30÷2＝15（吨/时），45÷3＝15（吨/时），60÷4＝15（吨/时）…，即生产总量÷生产时间＝每小时生产的量（一定），这里每小时生产15吨是固定值。 （2）表格中生产时间为0时，生产总量0吨，对应坐标（0，0）；生产时间1时，生产总量15吨，对应（1，15）；生产时间2时，对应（2，30）；以此类推，直到生产时间7时，对应（7，105）。在方格纸上，找到对应的横（生产时间）、纵（生产总量）坐标点，然后用直尺顺次连接这些点，会得到一条经过原点的直线。 （3）由（1）可知每小时生产15吨，即生产效率是15吨/时。对于“9.6时可以生产酸奶多少吨”，根据“生产总量＝生产效率×生产时间”计算；对于“生产270吨需要多少时”，根据“生产时间＝生产总量÷生产效率”计算。 【解答】（1）15÷1＝15（吨/时） 30÷2＝15（吨/时） 45÷3＝15（吨/时） 60÷4＝15（吨/时） 生产总量÷生产时间＝每小时生产的量（一定），这里每小时生产15吨是固定值。 答：该酸奶生产线上的生产总量与生产时间成正比例，因为生产总量和生产时间是相关联的量，且生产总量与生产时间的比值（每小时生产的量）一定，所以成正比例。 （2）如图： （3）15×9.6＝144（吨） 270÷15＝18（时） 该酸奶生产线9.6时可以生产酸奶144吨；生产270吨酸奶需要18时。 学科网（北京）股份有限公司 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