精品解析：广东鹤山市昆仑学校2025-2026学年八年级上学期第二次数学综合训练（二）

鹤山市昆仑学校2025－2026学年度第一学期综合训练二 八年级数学试卷 2025.12 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，关键是熟练应用定义进行判断；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 3. 若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 13 D. 14或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，运用分类讨论思想．解题关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形；易错点是忽略三边关系的验证，误将不符合条件的情况计入，导致错选． 分情况讨论腰长： 情况一：假设腰长为2，则三边为2、2、6．根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，，不满足，舍去． 情况二：假设腰长为6，则三边为6、6、2．，满足三边关系，即可得周长． 【详解】∵等腰三角形两边长为2和6， ∴可能腰为2、底为6或腰为6、底为2． ①当腰为2、底为6时，三边为2、2、6， ，不满足三角形三边关系， ∴不成立． ②当腰为6、底为2时，三边为6、6、2， ，，均成立， ∴周长为． 故选：A． 4. 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板（如图所示），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是薄板的重心．下列有关重心的说法错误的是（ ） A. 线段的重心是它的中点 B. 三角形的重心是它的三条高的交点 C. 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 D. 长方形的重心是它的一组邻边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了常见图形的重心．根据重心的定义解答即可． 【详解】解：A、线段的重心是它的中点，故本选项正确，不符合题意； B、三角形的重心是它的三条中线的交点，故本选项错误，符合题意； C、平行四边形的重心是它的两条对角线的交点，故本选项正确，不符合题意； D、长方形的重心是它的一组邻边的垂直平分线的交点，故本选项正确，不符合题意； 故选：B 5. 图中有两个全等三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．根据三角形的内角和定理求出角的度数，然后根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为，根据全等三角形的性质得， 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、单项式乘多项式、整式的除法和合并同类项等知识．需要根据运算法则逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选B． 7. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A. 5 B. 1 C. 1或 D. 1或9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方式的结构特征． 利用完全平方公式的结构特征，常数项为25，可确定平方根为，再根据一次项系数相等求解． 【详解】∵ = ， 又多项式 是完全平方式， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ． 故选：C． 8. 把提公因式后，则另一个因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】∵， ∴， 因此另一个因式为． 故选：A． 9. 如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的周长为，则的长为（   ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的概念．先根据尺规作图确定是的垂直平分线，再利用垂直平分线性质得到，最后结合的周长求出的长即可解答． 【详解】解：由题意可得是线段的垂直平分线， 则， 的周长为， ， ， ， ， ， 即， 故选：． 10. 如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积为4．其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及证明是解题的关键． ①由题意得是等腰直角三角形，由三线合一可得，平分，从而可证，，结合，利用同角的余角相等可证，通过可证；②根据全等三角形的性质得，结合可证是等腰直角三角形；③根据全等三角形的性质得，结合可证，则，利用三角形三边关系即可判断；④根据全等三角形的性质得，则四边形的面积可转化为的面积，进而求得的面积． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是的中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积是4，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分；共15分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 一个三角形的三边长分别为2、9、x，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、9、x， ∴根据三角形的三边关系，有：， 因此，x的取值范围是， 故答案为：． 13. 如图，是的中线，点是的中点，连接，，且，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线；根据三角形的中线求出各三角形之间的面积关系，即可求出． 【详解】∵是的中线， ∴的面积等于的面积，都等于的面积的一半， 又∵点是的中点， ∴的面积都相等， ∴， 故答案为：12． 14. 已知， ， m， n为正整数， 则_______________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆用．解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则． 先逆向运用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 【答案】3或7或10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、解答题（共3题，每题7分，共21分） 16. 张老师在黑板上布置了一道题： 已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论，你赞同谁的观点？并说明理由． 【答案】 我认为小红说的对， 理由： 化简后的结果不含x， 小红说的对，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据整式的混合运算法则进行计算，化简后根据结果，进行判断即可． 【详解】略 17. 老花眼镜所利用的原理是凸透镜成像．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，若，，则的度数为多少度？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由三角形外角的性质得到的度数，由对顶角的性质即可解决问题． 由平行线的性质求出，由三角形外角的性质得到的度数，由对顶角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵光线平行于主光轴，， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为6，则的面积为______． （2）当，时，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线，熟记相关定义是解题关键； （1）的面积为； （2）由题意得，进而得即可求解； 【小问1详解】 解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． 四、解答题（共3题，每题9分；共27分） 19. 为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． （1）请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】（1） 如图所示： （2）这个服务站到三条公路的距离均为米． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：作和平分线，交于点，则点即为所求， 【小问2详解】 解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 20. 在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2） （3） 解：如上图所示，点即为所求，． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 略 21. 如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2） 解：是等边三角形，理由： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用证明，从而可得，结合（1）中的平行，等边三角形的判定方法，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 五、解答题（共2题，22题13分，23题14分；共27分） 22. 【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． 【理解应用】 （1）若，则_____． （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，在一条直线上，连接，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，整体思想和数形结合思想，灵活运用代数式的变形是解题关键． （1）根据完全平方公式变形，即可求解； （2）运用整体思想，可以把x和看作完全平方中的两个部分，它们的和为5，乘积也为5，通过公式变形求出； （3）类比第（2）问，可以设两个正方形的边长分别为m和n，由题意可得，，，而阴影面积为，利用完全平方公式变形得到结果． 【详解】解：（1）∵ ∴ 故答案为：． （2）， （3）如图，设，， ， ， ∴，即， ∵正方形和正方形的面积和为36， ∴， ， ， ，即阴影部分的面积为14． 23. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图1，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点Ｍ，N重合，即．过角尺顶点P的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． （1）请说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； （2）小明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点Ｍ，N，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得小明的观点对吗？并说明理由； （3）如图3，，平分，P是射线上的一点，点C在射线上运动，过点P作，与直线交于点D，过点P作于点E．若，，请直接写出的长． 【答案】（1） 解：在和中 ， ， 即平分； （2） 解：小明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； （3）8或12 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； （3）当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为8或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山市昆仑学校2025－2026学年度第一学期综合训练二 八年级数学试卷 2025.12 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两点之间线段最短 3. 若等腰三角形的两边长分别是2和6，则它的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 13 D. 14或10 4. 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板（如图所示），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是薄板的重心．下列有关重心的说法错误的是（ ） A. 线段的重心是它的中点 B. 三角形的重心是它的三条高的交点 C. 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 D. 长方形的重心是它的一组邻边的垂直平分线的交点 5. 图中有两个全等三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是（    ） A. 5 B. 1 C. 1或 D. 1或9 8. 把提公因式后，则另一个因式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的周长为，则的长为（   ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 17 10. 如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积为4．其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分；共15分） 11. 因式分解：___________． 12. 一个三角形的三边长分别为2、9、x，则的取值范围是____________． 13. 如图，是的中线，点是的中点，连接，，且，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 已知， ， m， n为正整数， 则_______________ 15. 如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 三、解答题（共3题，每题7分，共21分） 16. 张老师在黑板上布置了一道题： 已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论，你赞同谁的观点？并说明理由． 17. 老花眼镜所利用的原理是凸透镜成像．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，若，，则的度数为多少度？ 18. 如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为6，则的面积为______． （2）当，时，求的度数． 四、解答题（共3题，每题9分；共27分） 19. 为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． （1）请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 20. 在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 21. 如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 五、解答题（共2题，22题13分，23题14分；共27分） 22. 【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． 【理解应用】 （1）若，则_____． （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，在一条直线上，连接，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：． 23. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图1，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点Ｍ，N重合，即．过角尺顶点P的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． （1）请说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； （2）小明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点Ｍ，N，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得小明的观点对吗？并说明理由； （3）如图3，，平分，P是射线上的一点，点C在射线上运动，过点P作，与直线交于点D，过点P作于点E．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $