专题08二元一次方程组的应用（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题08二元一次方程组的应用 【题型01 根据实际问题列二元一次方程组】............................3 【题型02 根据几何图形列二元一次方程组】............................5 【题型03 二元一次方程组应用:方案问题】.............................8 【题型04 二元一次方程组应用:行程问题】............................10 【题型05 二元一次方程组应用:工程问题】............................13 【题型06 二元一次方程组应用:数字问题】............................16 【题型07 二元一次方程组应用:年龄问题】............................18 【题型08 二元一次方程组应用:分配问题】............................20 【题型09 二元一次方程组应用:销售利润问题】........................23 【题型10 二元一次方程组应用:和差倍分问题】........................26 【题型11 二元一次方程组应用:几何问题】............................28 【题型12 二元一次方程组应用:图表信息问题】........................31 【题型13 二元一次方程组应用:古代问题】............................33 【题型14 二元一次方程组应用:其他实际问题】........................36 知识梳理 ⏩知识点01:核心思想 ✨建模思想：把实际问题中的数量关系，抽象为二元一次方程组的数学模型，实现 “未知” 到 “已知” 的转化。 ✨消元思想：解方程组时，通过代入消元法或加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。 ⏩知识点02:解题核心步骤（六步法） 1.审：仔细读题，明确已知量、未知量，梳理各数量间的关系，找出两个独立的等量关系（关键）。 2.设：设两个未知数（常用x、y），分直接设元（求什么设什么）和间接设元（设中间量），注明单位。 3.找：依据题意，精准定位两个能完整表达题意的等量关系。 4.列：根据等量关系，将未知量与已知量用代数式表示，列出两个二元一次方程，组成二元一次方程组。 5.解：用代入消元法或加减消元法解方程组，求出x、y的值。 6.验：双重检验 ——①代入原方程组，验证是否为方程组的解；②检验解是否符合实际问题的意义（如人数、数量不能为负数、小数等）。 7.答：写出完整答案，包含单位，清晰回应问题。 ⏩知识点03:列方程组的关键原则 1.有几个未知数，就列几个方程。 2.方程两边：同类量、单位统一、数值相等。 3.两个方程必须相互独立（不能互相推导），才能求解唯一解。 ⏩知识点04:常见题型与等量关系模板 ✨和差倍分问题 等量关系：总量 = 各部分量之和；倍数关系（如甲是乙的n倍：甲乙）。 例：两数和为a，差为b，设两数为x、y，则 ✨ 行程问题 相遇问题：路程和 = 总路程 → 甲路程+乙路程总路程。 追及问题：路程差 = 初始距离 → 快者路程慢者路程初始距离。 基本公式：路程速度时间 ✨ 工程问题 基本公式：工作量工作效率工作时间。 等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量（常设总工作量为 1）。 ✨ 商品销售问题 核心公式：利润售价进价；利润率；售价标价折扣。 例：两种商品进价、售价已知，总利润固定，列方程组求解数量。 ✨数字问题 两位数：十位数字a、个位数字b，则两位数表示为10a+b。 等量关系：数字间的和、差、倍数关系，或数字对调后的数值关系。 ✨配套问题 等量关系：两种部件的数量比符合配套比例（如 1 个甲配 2 个乙：甲数量=乙数量）。 ⏩知识点05:易错点提醒 1.设未知数时漏写单位，列方程时单位不统一（如元和角混用）。 2.找错或找不全两个独立等量关系，导致方程组无解或解错误。 3.解方程组时计算错误，或忘记检验解的实际意义。 4.间接设元后，未将结果转化为题目所求的未知量。 【题型1.根据实际问题列二元一次方程组】 【典例】某校举行纸飞机飞行赛，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米．若设小康的飞机飞行的距离为米，小悦的飞机飞行的距离为米，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】根据题意，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米，由此列出二元一次方程组． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小康的飞机飞行距离为 米，小悦的飞机飞行距离为 米．根据题意，得 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】小山打算买一件甲商品和一件乙商品，到店后得知这两种商品的原价加起来是200元．过了几天商店调整定价：甲商品单价上涨10%，乙商品单价下调20%．等小山再次到店购买这两种商品各一件时，发现这次的总价比最初的200元多了8%．若设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元，可列出的方程组是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据甲、乙两种商品原来的单价和为200元，调价后总价比最初的200元多了，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意得：． 故选：C． 【跟踪专练2】一个学习小组共有个学生，分为个小组．若每组分人，则余下人；若每组分人，则有一组少人，则可得方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设总人数为，组数为，根据题意列方程组即可，读懂题意，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设总人数为，组数为， 若每组人，则余下人，即，整理得； 若每组人，则有一组少人，即，整理得， 所以方程组为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来就是类似地，如图②所示的算筹图我们可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算筹图与二元一次方程组的转化，掌握算筹中十位用横线、个位用竖线的表示规则是解题的关键． 根据算筹图的表示规则，分析图②中每行算筹对应的系数和常数项，从而列出方程组． 【详解】解：第一行算筹：的系数为2，的系数为 1，常数项为11，因此方程为 第二行算筹：的系数为 4，的系数为3，常数项为，因此方程为 所以方程组为： 故选：B． 【题型2.根据几何图形列二元一次方程组】 【典例】如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：依题意，得： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大．设和的度数分别为和，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由几何图形抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正方形的四个角都是直角．根据将正方形的一角折叠，折痕为，比大可列出方程组． 【详解】解：根据题意可得． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 【跟踪专练3】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，结合黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块， 由题意得． 故答案为：． 【题型3.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】红星中学假期组织了“研学活动”，共有48名同学参加，______． 条件1：男生比女生多1人； 条件2：男生人数比女生人数的2倍少3人． 从上述两个条件中选取一个，添加到横线处，能确定男生和女生人数的是（   ） A．条件1 B．条件2 C．两个条件都可以 D．两个条件均不能确定 【答案】B 【分析】设女生x人，男生有y人，根据题意列方程组，计算解答即可． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出关系式是解题关键． 【详解】解：设女生x人，男生有y人， 若选择条件1： 由题意得方程组：， 解得，由于人数必须为整数，无解，故条件1无法确定具体人数． 若选择条件2： 由题意得方程组：， 解得，， 符合要求且均为整数，故条件2可以确定男生和女生人数． 故选：B． 【跟踪专练1】某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有 t． 【答案】33.5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物，根据表格中所提供的信息列二元一次方程组， 求出两种货车每次的载重吨数，再根据题中所给数据列式计算即可． 【详解】解：设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物， 由题知，， 解方程组得 用4辆甲种货车和7辆乙种货车可运输货物． 故答案为：33.5． 【跟踪专练2】列方程解应用题： “太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术，经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高，我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元/盆，“太空玫瑰”单价为99元/盆．为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为9300元，请计算购买“延丹1号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数． 【答案】购买“延丹1号”山丹丹150盆，购买“太空玫瑰”50盆 【分析】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，找到题目中的等量关系是解题的关键； 根据“购买这两种太空育种鲜花共200盆，购买这两种鲜花的总价为9300元”列方程即可． 【详解】解：设购买“延丹1号”山丹丹x盆,购买“太空玫瑰”y盆． 根据题意得： 解得 答：购买“延丹1号”山丹丹150盆，购买“太空玫瑰”50盆． 【跟踪专练3】某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问： (1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)240人，5辆 (2)租用4辆60座客车更合算 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键在于根据题意列出方程． （1）设这批游客的人数是x人，原计划租用45座客车y辆，根据原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，据此可列方程组求解即可； （2）分别计算出租用两种客车需要的费用，然后进行比较，得出答案即可． 【详解】（1）解：设这批游客的人数是x人，原计划租用45座客车y辆， 根据题意得：， 解这个方程组得：， 答：这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆． （2）解：租45座客车：（辆）， 所以需租6辆，租金为（元） 租60座客车：（辆）， 所以需租4辆，租金为：（元）． 因为， 所以租用4辆60座客车更合算． 【题型4.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是 ，动车组的速度是 ． 【答案】 90千米/时 180千米/时 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键． 同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度． 【详解】解：设普通列车速度为米/秒，动车组速度为米/秒， 两车总长度为：米， 相对速度为，时间秒：， 时间为​秒秒，相对速度为：， 即 ​解得： 因此：普通列车速度：米/秒，动车组速度：米/秒． 米/秒千米/小时，米/秒千米/小时， 故答案为：千米/时；千米/时． 【跟踪专练1】小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是根据相等关系列方程组；根据总路程和总时间的两个等量关系列方程组，核心是运用“时间=路程÷速度”的公式． 【详解】解：∵ 总路程为，乘车路程为，步行路程为， ∴ ， ∵ 总时间为，且时间=路程÷速度，汽车速度为，步行速度为， ∴ 乘车时间为，步行时间为， ∴ ， ∴方程组为， 故选：B． 【跟踪专练2】甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据乙先走，甲用就能追上乙，列出方程；根据乙先走，甲只用就能追上乙，可以列出方程，联立方程组求解即可. 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意，得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 【跟踪专练3】一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 【题型5.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 【跟踪专练1】某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 【跟踪专练2】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 【跟踪专练3】甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【答案】385个 【分析】设甲原来每天做个，乙原来每天做个，根据甲工作效率提高之前和之后完成任务的两个等量关系列方程组即可． 【详解】解:设甲原来每天做个，乙原来每天做个，则原来任务数是个，根据题意，得 ： 解这个方程组得： (个) 答：原计划一共加工385个零件． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是从题中找出两个等量关系，再设未知数列方程组即可解题． 【题型6.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 【答案】5和7/7或5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，再结合两个等量关系：一个加数＋另一个加数，一个加数另一个加数可列出方程组，然后求解所得的方程组即可． 【详解】解：设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，根据题意得： ， 解得，． 故答案为：5和7． 【跟踪专练1】对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 【跟踪专练2】一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 【跟踪专练3】若一个四位自然数的各数位上的数字满足，则称该数为“向美而行数”，若一个“向美而行数”的前两数位组成的两位数和后两数位组成的两位数之和等于61，且四个数位上的数字之和等于16，则称这样的数为“和美数”． 例如：因为，所以1234是一个“向美而行数”； 因为，所以2338是一个“向美而行数”，又因为， 所以2338是一个“和美数”． (1)最小的“向美而行数”是_________，最大的“向美而行数”是__________； (2)求出所有的“和美数”． 【答案】(1)1111；9999； (2)所有的“和美数”有：1249，1348，1447，2239，2338 【分析】（1）根据“向美而行数”的定义即可求解； （2）根据前两数位组成的两位数和后两数位组成的两位数之和等于61，且四个数位上的数字之和等于16，可得10a+b+10c+d=61，a+b+c+d=16，进一步即可求解． 【详解】（1）∵一个四位自然数的各数位上的数字满足，则称该数为“向美而行数”， ∴最小的“向美而行数”为1111，最大的“向美而行数”为9999． 故答案为：1111；9999； （2）∵“向美而行数”的前两数位组成的两位数和后两数位组成的两位数之和等于61，且四个数位上的数字之和等于16， ∴10a+b+10c+d=61①，a+b+c+d=16②， 由①-②得：9a+9c=45， ∴a+c=5， ∴b+d=11， ∵， ∴， 当a=1时，c=4，则b=2或b=3或b=4， 此时“和美数”有：1249，1348，1447， 当a=2时，c=3，则b=2或b=3， 此时“和美数”有：2239，2338， ∴所有的“和美数”有：1249，1348，1447，2239，2338． 【点睛】本题考查整式的运算的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 【题型7.二元一次方程组应用:年龄问题】 【典例】小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 【答案】25 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据二者年龄间的关系，列出关于的二元一次方程组是解题的关键． 设老师今年岁，学生今年岁，根据二者年龄间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设老师今年岁，学生今年岁， 根据题意得：， 解得：． 则老师的年龄为25岁， 故答案为：25． 【跟踪专练1】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 【跟踪专练2】10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【跟踪专练3】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 【题型8.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了 张． 【答案】350 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出方程组是解题的关键． 设单人票售出x张，双人票售出y张，根据总票数和总票款列方程组，求解即可． 【详解】解：设单人票售出x张，双人票售出y张， 由题意可得：， 解得：． 所以，单人票售出350张． 故答案为：350． 【跟踪专练1】有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 根据题意，得方程组：， 得， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 故选：A． 【跟踪专练2】为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 【答案】学校共购买了个足球、个排球． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出正确的方程组并求解． 设购买个足球、个排球，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设购买个足球、个排球， 根据题意得  ， 解得 ． 答：学校共购买了个足球、个排球． 【跟踪专练3】“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】(1)每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 (2)共三种租车方案，见解析，最省费用为12800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． （2）解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 【题型9.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分．庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品．已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元．则绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元． 【答案】 15 20 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，通过设立二元一次方程组，利用消元法求解绢布扇和手账本的单价． 【详解】解：设绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元， 根据题意，得方程组： 解得 即绢布扇的单价为 15 元，手账本的单价为 20 元, 故答案为：15，20． 【跟踪专练1】小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据去年节余为收入减成本，今年节余为今年收入减今年成本，今年收入比去年高，成本比去年低，列出方程组． 【详解】解：去年收入为元，成本为元，节余元， ， 今年收入比去年高， 今年收入为， 今年成本比去年低， 今年成本为， 今年节余元， ， 可列方程组． 故选：C． 【跟踪专练2】三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 【答案】张老师购买种打折书籍本 【分析】本题考查了二元一次方程组和实际问题、二元一次方程的特殊解，关键是找到恰当的等量关系列方程或方程组；根据销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，列二元一次方程组即可求出的售价；根据购买了原价或打折的两种书籍，共花费元列方程分情况讨论求出种打折书籍的数量． 【详解】解：设书籍的售价为元/本，书籍的售价为元/本， 根据题意可得解得， 设张老师购买种打折书籍本，购买种打折书籍本， 购买原价种书籍本，则购买原价种书籍本， 根据题意可知，， 整理得， ∴， ∵，，，均为自然数， 为的倍数，且， 当时，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，， 当时，（舍）， 答：张老师购买种打折书籍本． 【跟踪专练3】为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 【答案】高价格的商品原价是220元，低价格的商品原价是80元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，根据按方案一买两件商品，则还差元，可列方程；根据按方案二买两件商品，则剩余元，可列方程，解方程组即可求出两种商品的原价． 【详解】解：设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元， 根据题意可得： 解方程组可得：， 答：高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元． 【题型10.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为 ． 【答案】67 【分析】设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设到云水涧旅游的人数为，到花果岭的人数为，由题意，得： ， 解得：； ∴到云水涧旅游的人数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出二元一次方程组，是解题的关键． 【跟踪专练1】汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．根据题意，设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个，根据1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，列出二元一次方程组，解出答案即可． 【详解】解：设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个， 根据题意得：， 解得： 则A型车每辆座位数为45个，B型车每辆座位数为60个， 故选：A． 【跟踪专练2】某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【答案】小型车位200个，车位100个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出其中的等量关系是解答本题的关键． 设小型车位有x个，车位有y个，根据共设小型车位和车位300个、全部满位1小时，总收费700元各列一个方程，组成二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小型车位有x个，车位有y个，由题意，得 ， 解得． 所以小型车位有200个，车位有100个． 【跟踪专练3】某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 【答案】(1)每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元 (2)40个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每个普通车位的建设成本为万元，根据这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元，列出方程进行求解即可； （2）设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，根据该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则每个充电桩车位的建设成本为万元， 根据题意，列方程为：， 解得， ， 答：每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元． （2）解：设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，则配备了个普通车位， 根据题意，列方程为：， 解得． 答：西边的新建停车场配备了40个充电桩车位． 【题型11.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是 ． 【答案】67 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，求阴影部分的面积；设小长方形的长为a，宽为b，根据图形列出方程组，求出a，b,再用面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图可知， 解得， ∴阴影部分面积为， 故答案为67． 【跟踪专练1】将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用．设小长方体的长为x，宽为y，根据题意可列出方程组，即可求解h． 【详解】解：设小长方体的长为x，宽为y，由图可得 ， 解得， 故选：C． 【跟踪专练2】在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为8，宽为2． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．由图得等量关系：（1）1个长个宽；（2）3个宽个长个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设小长方形宽为，长为， 根据题意得：， 解得， ∴小长方形的长为8，宽为2． 【跟踪专练3】如图，有一段的铁丝，小明将它剪成两段，两段长分别为和，然后将两段分别弯成边长为和的正方形（接口部分忽略不计），现知这两个正方形的面积相差． (1)求的值； (2)求，的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，，，从而求出，又，则有，从而求得； （）由（）得，，，，，联立方程组，然后求出，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴， ∵这两个正方形的面积相差， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得，，，，， 联立得， 解得：， ∴，． 【题型12.二元一次方程组应用:图表信息问题】 【典例】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，”列出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：5 【跟踪专练1】在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（    ） 8 2 A． B．10 C．5 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据每行每列每条对角线上的三个数之和相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分， 由题意可得：， 解得：， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 【跟踪专练3】某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：有甲、乙两人各自带了一些钱，如果乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；如果甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50，问甲、乙原有多少钱？设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，那么可列出方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系列式是关键． 根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为， 乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50， ∴， 甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50， ∴， ∴列出方程组是， 故答案为： ． 【跟踪专练1】我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有个人，共分两银子， 根据题意，得． 故选：A． 【跟踪专练2】列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【答案】绳子长16尺，木条长9尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：，绳子对折后比木条短1尺，得：．组成方程组求解即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：． 答：绳子长16尺，木条长9尺． 【跟踪专练3】明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人 (2)应选择一次性订客房间更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱）， 若一次性订客房间，需付房费（钱）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算． 【题型14.二元一次方程组应用:其他实际问题】 【典例】西湖是杭州著名景点，周末，旅行团52人游湖，一共租了10条船，正好全部坐满．已知每条大船限乘6人，每条小船限乘4人，租了 条大船， 条小船． 【答案】 6 4 【分析】通过建立二元一次方程组，根据总船数和总人数列出方程，并利用消元法求解． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设租大船x条，小船y条， 根据题意，得方程组：， 解得， 故租大船6条，小船4条， 故答案为：6，4． 【跟踪专练1】在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据总卡纸数12张和每个包装盒所需侧面与底面的比例关系列出方程组求解即可． 【详解】设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面， 根据题意，得 解得 ， ∴ 可做包装盒个数为， 故最多可做4个包装盒． 故选：B． 【跟踪专练2】某次知识竞赛共有25道题目，评分标准如下：答对1道题得4分，答错1道题扣1分，不答记0分．小明不答的题比答错的题多2道，共得74分．那么，小明答对、答错和不答的题目各有多少道？ 【答案】答对19道，答错2道，不答4道 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设答错题数为道，则根据不答题比答错题多道，得不答题数为道；总题数为道，根据总题数为道，得分（和总得分分，列出方程组并求解． 【详解】设小明答错的题数为x道，则不答的题数为道，答对的题数为道． ． 解得：． ∴答错题数为道，不答题数为道，答对题数为道． 答：小明答对道，答错道，不答道． 【跟踪专练3】手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：g）及成品率（成品率）如下表．第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土用量是第一次的2倍，陶碗陶土用量是第一次的3倍，共得到成品190件． 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F (1)第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ (2)若陶土E中高岭土占比为，为制作出两次试验的陶杯成品总量，需准备多少克高岭土（不考虑损耗）？ 【答案】(1)第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为 (2)需准备高岭土 【分析】（1）根据两次制作的成品数量以及成品率，设出第一次制作时陶土和陶土的用量，列出方程组求解； （2）先算出两次制作陶杯成品的总量，再根据陶杯成品率算出所需陶土的总量，最后根据高岭土占比求出高岭土的量． 【详解】（1）解:设第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为． 根据成品率及两次成品总量列方程组为 得：， 将代入①，解得： ∴． 则第一次制作时，陶土的用量为，陶土的用量为． （2）解：两次制作陶杯成品总量（按成品率算）：． 陶土E中高岭土占比为， ∴高岭土用量为， ∴需准备g高岭土． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据成品率的定义建立方程组，再结合比例关系求解，体现了方程思想在实际问题中的应用 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08二元一次方程组的应用 【题型01 根据实际问题列二元一次方程组】............................3 【题型02 根据几何图形列二元一次方程组】............................4 【题型03 二元一次方程组应用:方案问题】.............................5 【题型04 二元一次方程组应用:行程问题】.............................6 【题型05 二元一次方程组应用:工程问题】.............................6 【题型06 二元一次方程组应用:数字问题】.............................7 【题型07 二元一次方程组应用:年龄问题】.............................8 【题型08 二元一次方程组应用:分配问题】.............................8 【题型09 二元一次方程组应用:销售利润问题】.........................9 【题型10 二元一次方程组应用:和差倍分问题】........................10 【题型11 二元一次方程组应用:几何问题】............................10 【题型12 二元一次方程组应用:图表信息问题】........................11 【题型13 二元一次方程组应用:古代问题】............................12 【题型14 二元一次方程组应用:其他实际问题】........................13 知识梳理 ⏩知识点01:核心思想 ✨建模思想：把实际问题中的数量关系，抽象为二元一次方程组的数学模型，实现 “未知” 到 “已知” 的转化。 ✨消元思想：解方程组时，通过代入消元法或加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。 ⏩知识点02:解题核心步骤（六步法） 1.审：仔细读题，明确已知量、未知量，梳理各数量间的关系，找出两个独立的等量关系（关键）。 2.设：设两个未知数（常用x、y），分直接设元（求什么设什么）和间接设元（设中间量），注明单位。 3.找：依据题意，精准定位两个能完整表达题意的等量关系。 4.列：根据等量关系，将未知量与已知量用代数式表示，列出两个二元一次方程，组成二元一次方程组。 5.解：用代入消元法或加减消元法解方程组，求出x、y的值。 6.验：双重检验 ——①代入原方程组，验证是否为方程组的解；②检验解是否符合实际问题的意义（如人数、数量不能为负数、小数等）。 7.答：写出完整答案，包含单位，清晰回应问题。 ⏩知识点03:列方程组的关键原则 1.有几个未知数，就列几个方程。 2.方程两边：同类量、单位统一、数值相等。 3.两个方程必须相互独立（不能互相推导），才能求解唯一解。 ⏩知识点04:常见题型与等量关系模板 ✨和差倍分问题 等量关系：总量 = 各部分量之和；倍数关系（如甲是乙的n倍：甲乙）。 例：两数和为a，差为b，设两数为x、y，则 ✨ 行程问题 相遇问题：路程和 = 总路程 → 甲路程+乙路程总路程。 追及问题：路程差 = 初始距离 → 快者路程慢者路程初始距离。 基本公式：路程速度时间 ✨ 工程问题 基本公式：工作量工作效率工作时间。 等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量（常设总工作量为 1）。 ✨ 商品销售问题 核心公式：利润售价进价；利润率；售价标价折扣。 例：两种商品进价、售价已知，总利润固定，列方程组求解数量。 ✨数字问题 两位数：十位数字a、个位数字b，则两位数表示为10a+b。 等量关系：数字间的和、差、倍数关系，或数字对调后的数值关系。 ✨配套问题 等量关系：两种部件的数量比符合配套比例（如 1 个甲配 2 个乙：甲数量=乙数量）。 ⏩知识点05:易错点提醒 1.设未知数时漏写单位，列方程时单位不统一（如元和角混用）。 2.找错或找不全两个独立等量关系，导致方程组无解或解错误。 3.解方程组时计算错误，或忘记检验解的实际意义。 4.间接设元后，未将结果转化为题目所求的未知量。 【题型1.根据实际问题列二元一次方程组】 【典例】某校举行纸飞机飞行赛，小康折的纸飞机飞行距离比小悦折的纸飞机飞行距离的2倍还多1米，两人折的纸飞机飞行距离总和为43米．若设小康的飞机飞行的距离为米，小悦的飞机飞行的距离为米，则可列方程组 ． 【跟踪专练1】小山打算买一件甲商品和一件乙商品，到店后得知这两种商品的原价加起来是200元．过了几天商店调整定价：甲商品单价上涨10%，乙商品单价下调20%．等小山再次到店购买这两种商品各一件时，发现这次的总价比最初的200元多了8%．若设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元，可列出的方程组是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个学习小组共有个学生，分为个小组．若每组分人，则余下人；若每组分人，则有一组少人，则可得方程组 ． 【跟踪专练3】如图，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来就是类似地，如图②所示的算筹图我们可以表示为（    ） A． B． C． D． 【题型2.根据几何图形列二元一次方程组】 【典例】如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大．设和的度数分别为和，可列方程组为 ． 【跟踪专练2】如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为 ． 【题型3.二元一次方程组应用:方案问题】 【典例】红星中学假期组织了“研学活动”，共有48名同学参加，______． 条件1：男生比女生多1人； 条件2：男生人数比女生人数的2倍少3人． 从上述两个条件中选取一个，添加到横线处，能确定男生和女生人数的是（   ） A．条件1 B．条件2 C．两个条件都可以 D．两个条件均不能确定 【跟踪专练1】某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货量/t 15.5 35 现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有 t． 【跟踪专练2】列方程解应用题： “太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术，经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高，我国培育成功的太空育种鲜花“延丹1号”山丹丹单价为29元/盆，“太空玫瑰”单价为99元/盆．为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共200盆，若购买这两种鲜花的总价为9300元，请计算购买“延丹1号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数． 【跟踪专练3】某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问： (1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 【题型4.二元一次方程组应用:行程问题】 【典例】一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是 ，动车组的速度是 ． 【跟踪专练1】小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 【跟踪专练3】一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【题型5.二元一次方程组应用:工程问题】 【典例】2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组 ． 【跟踪专练1】某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【跟踪专练3】甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【题型6.二元一次方程组应用:数字问题】 【典例】小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是 ． 【跟踪专练1】对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【跟踪专练2】一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【跟踪专练3】若一个四位自然数的各数位上的数字满足，则称该数为“向美而行数”，若一个“向美而行数”的前两数位组成的两位数和后两数位组成的两位数之和等于61，且四个数位上的数字之和等于16，则称这样的数为“和美数”． 例如：因为，所以1234是一个“向美而行数”； 因为，所以2338是一个“向美而行数”，又因为， 所以2338是一个“和美数”． (1)最小的“向美而行数”是_________，最大的“向美而行数”是__________； (2)求出所有的“和美数”． 【题型7.二元一次方程组应用:年龄问题】 【典例】小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 【跟踪专练1】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【跟踪专练2】10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【跟踪专练3】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【题型8.二元一次方程组应用:分配问题】 【典例】阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了 张． 【跟踪专练1】有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【跟踪专练2】为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 【跟踪专练3】“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【题型9.二元一次方程组应用:销售利润问题】 【典例】庙会，又称“庙市”或“节场”，是中国传统民俗文化活动的重要组成部分．庙会上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类文创商品．已知2个绢布扇和3个手账本需花费90元；3个绢布扇和4个手账本需花费125元．则绢布扇的单价为 元，手账本的单价为 元． 【跟踪专练1】小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 【跟踪专练3】为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 【题型10.二元一次方程组应用:和差倍分问题】 【典例】顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为 ． 【跟踪专练1】汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 【跟踪专练2】某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【跟踪专练3】某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 【题型11.二元一次方程组应用:几何问题】 【典例】如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是 ． 【跟踪专练1】将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【跟踪专练3】如图，有一段的铁丝，小明将它剪成两段，两段长分别为和，然后将两段分别弯成边长为和的正方形（接口部分忽略不计），现知这两个正方形的面积相差． (1)求的值； (2)求，的值． 【题型12.二元一次方程组应用:图表信息问题】 【典例】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为 ． 【跟踪专练1】在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（    ） 8 2 A． B．10 C．5 D．0 【跟踪专练2】小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【跟踪专练3】某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【题型13.二元一次方程组应用:古代问题】 【典例】《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：有甲、乙两人各自带了一些钱，如果乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；如果甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50，问甲、乙原有多少钱？设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，那么可列出方程组是 ． 【跟踪专练1】我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两） 其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【跟踪专练3】明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【题型14.二元一次方程组应用:其他实际问题】 【典例】西湖是杭州著名景点，周末，旅行团52人游湖，一共租了10条船，正好全部坐满．已知每条大船限乘6人，每条小船限乘4人，租了 条大船， 条小船． 【跟踪专练1】在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪专练2】某次知识竞赛共有25道题目，评分标准如下：答对1道题得4分，答错1道题扣1分，不答记0分．小明不答的题比答错的题多2道，共得74分．那么，小明答对、答错和不答的题目各有多少道？ 【跟踪专练3】手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：g）及成品率（成品率）如下表．第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土用量是第一次的2倍，陶碗陶土用量是第一次的3倍，共得到成品190件． 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F (1)第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ (2)若陶土E中高岭土占比为，为制作出两次试验的陶杯成品总量，需准备多少克高岭土（不考虑损耗）？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $