专题07二元一次方程组的应用题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题07二元一次方程组的应用题型突破讲义 基础 过关题 1.由实际问题列二元一次方程组 2.由几何图形列二元一次方程组 3.二元一次方程组应用:和差倍分问题 4.二元一次方程组应用:数字问题 5.二元一次方程组应用:年龄问题 6.二元一次方程组应用:分配问题 能力 提升题 7.二元一次方程组应用:行程问题 8.二元一次方程组应用:工程问题 9.二元一次方程组应用:销售问题 10.二元一次方程组应用:几何问题 11.二元一次方程组应用:图表信息题 拓展 拔高题 12.二元一次方程组应用:古代问题 13.二元一次方程组应用:其他问题 13.二元一次方程组应用:方案问题 一、核心思想与方法 核心思想：建模思想—— 将实际问题转化为二元一次方程组数学模型 关键方法：审、设、列、解、验、答六步解题法 二、必须掌握的 6 步解题流程（必考重点） 1.审：读懂题意，找出两个独立的等量关系 2.设：设两个未知数（直接设 / 间接设，优先直接设所求量） 3.列：根据两个等量关系，列出二元一次方程组 4.解：用代入消元法或加减消元法解方程组 5.验： 检验解是否满足方程组 检验解是否符合实际意义（如人数、长度为正整数） 6.答：完整写出问题答案 三、重点等量关系类型（常考题型） 1.和差倍分问题 和：甲 + 乙 = 总量 差：大量 - 小量 = 相差量 倍：一个量 = 倍数 × 另一个量（多/少：加/减对应数值） 2. 行程问题 基本：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离 顺流：速度=静水速度+水流速度；逆流：速度=静水速度-水流速度 3. 工程问题 基本：工作总量 = 效率 × 时间 合作：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（常设为1） 4. 销售/价格问题 总价 = 单价 × 数量 两种物品：甲总价 + 乙总价 = 总费用 5. 配套/比例问题 比例：甲×n = 乙×m（甲:乙=m:n） 配套：A数量×配套比 = B数量 6. 年龄问题 核心：年龄差始终不变（今年差=往年差=来年差） 今年：甲年龄 ± 年龄差 = 乙年 7. 方案问题 核心：根据两种方案，列两个等量关系（总价/总数量相等） 方案1总价 = 单价1×数量1 + 单价2×数量2 方案2总价 = 单价1×数量3 + 单价2×数量4 四、易错点（必须规避） 1.找错、找漏两个等量关系，只列一个方程 2.设未知数时漏写单位，作答不完整 3.只检验方程解，忽略实际意义检验 4.方程组列错（数量关系对应错误） 【题型1.由实际问题列二元一次方程组】 1．有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．设一个大桶可以盛酒x斛，一个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组 2．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 3．“蚂蚁森林”是一项公益活动．小文收集了97315g能量，已知17900g能量可换栽1棵梭梭树，19680g能量可换栽1棵沙柳，这两种树小文一共换栽了5棵，最后小文收集的能量还剩4255g。设小文换栽了梭梭树棵，沙柳棵。 (1)请你列出相应的二元一次方程组． (2)小楠说小文换栽了梭梭树3棵，沙柳2棵．小楠的说法正确吗？请说明理由． 【题型2.由几何图形列二元一次方程组】 4．如图，点C在直线上，的度数比的度数的3倍少，设的度数为，的度数为，那么可列出关于x、y的方程组是 ． 5．某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知，求底边和的长．设，，则可以列方程组为（   ） A． B． C． D． 解答题 6．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【题型3:二元一次方程组应用:和差倍分问题】 7．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书 本． 8．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 解答题 9．学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【题型4:二元一次方程组应用:数字问题】 10．有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为6，且这个两位数是个位数字的6倍，则这个两位数是 ． 11．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 12．九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱在如图所示的每一个方格中填入这个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的个数字之和相等，则图中的值为 ． 解答题 13．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【题型5:二元一次方程组应用:和年龄问题】 14．小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是 岁． 15．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 解答题 16．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【题型6:二元一次方程组应用:分配问题】 17．如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组 ． 18．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 19．运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，则节火车车厢和辆汽车共装 吨化肥． 解答题 20．某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 【题型7:二元一次方程组应用:行程问题】 21．A、B两地相距420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从A、B两地相向开出，经过2小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 22．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时千米的速度下山，以每小时千米的速度走平路，到达乙地共用分钟；他返回时，以每小时千米的速度通过平路，以每小时千米的速度上山，共用了小时，甲、乙两地的距离是 ． 解答题 23．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【题型8:二元一次方程组应用:工程问题】 24．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 25．甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 解答题 26．“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约千米．为高效推进机场配套建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长度． 七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组： 盛盛：    乐乐： (1)请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整； (2)请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义． 盛盛：x表示________，y表示________； 乐乐：x表示________，y表示________； (3)请你从两位同学的方法中任选一种进行解答． 【题型9:二元一次方程组应用:销售利润问题】 27．某公司用30 000元购进甲、乙两种货物，货物卖出后，甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，共获得利润3 150元，则甲种货物的进货价为 元，乙种货物的进货价为 元． 28．孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元．则一束康乃馨和一束百合花的成本价分别是（    ）元． A．10元，6元 B．6元，10元 C．11元，5元 D．5元，11元 29．为表彰“我爱读书”演讲比赛中获奖同学，老师决定购买笔记本与钢笔作为奖品，已知个笔记本和支钢笔共需元：个笔记本和支钢笔共需元．设每个笔记本元，每支钢笔元，根据题意可列方程组为 ． 解答题 30．下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知  ，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现： “设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 [迁移类比] (2)小军看了对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． 【题型10:二元一次方程组应用:几何问题】 31．如图，现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形区域（图中阴影部分）种植鲜花，则种植鲜花区域的面积是 ． 32．小美在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小刚看见了，说：“我也来试一试．”结果小刚七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 33．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ． 解答题 34．现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为，宽为，求出和的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为和．若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，求和的数量关系． 【题型11:二元一次方程组应用:图表信息问题】 35．如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 36．九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱．在如下所示的每一个方格中填入1~9这9个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和相等，则图中的值为 ． 7 6 1 解答题 37．小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【题型12:二元一次方程组应用:古代问题】 38．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何．其大意是今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少．设人数为，琎价为，则可列方程组为 ． 39．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木多少尺？如果设长木长尺，绳长尺，则可以列方程组（   ） A． B． C． D． 解答题 40．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【题型13:二元一次方程组应用:其他问题】 41．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货26吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨． 42．若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 43．有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若树下一只鸽子飞上树，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多．树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 解答题 44．为测量元硬币与角硬币的单枚质量，小明与小聪准备了足量的两种硬币，且同种类硬币的质量均相同． 实验器材：一架天平和一个克的砝码． 小明：天平左边放枚元硬币和个克的砝码，天平右边放枚角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放枚元硬币，天平右边放枚角硬币和个克的砝码，天平正好平衡． (1)每枚1元硬币和每枚角硬币的质量各是多少克？ (2)已知元纸币的质量为克，现在有足够多的元纸币，若天平左边放入张元纸币，天平右边只放入若干枚元硬币和若干枚角硬币，请求出能使天平正好平衡的天平右边放法的所有方案． 【题型14:二元一次方程组应用:方案问题】 45．用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问：恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？若设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为 ． 46．一些小姑娘去采蘑菇，其中一人采到朵，其余的人每人都采到朵；第二次又有一些小姑娘（人数与第一次不同）出去采蘑菇，其中一人采到朵，其余的人每人都采到朵．已知两次采到蘑菇数相同，并且蘑菇数大于，但不超过，如果不记顺序，两次去采蘑菇的平均人数为（    ）个 A．       B．              C．             D．               解答题 47．综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07二元一次方程组的应用题型突破讲义 基础 过关题 1.由实际问题列二元一次方程组 2.由几何图形列二元一次方程组 3.二元一次方程组应用:和差倍分问题 4.二元一次方程组应用:数字问题 5.二元一次方程组应用:年龄问题 6.二元一次方程组应用:分配问题 能力 提升题 7.二元一次方程组应用:行程问题 8.二元一次方程组应用:工程问题 9.二元一次方程组应用:销售问题 10.二元一次方程组应用:几何问题 11.二元一次方程组应用:图表信息题 拓展 拔高题 12.二元一次方程组应用:古代问题 13.二元一次方程组应用:其他问题 13.二元一次方程组应用:方案问题 一、核心思想与方法 核心思想：建模思想—— 将实际问题转化为二元一次方程组数学模型 关键方法：审、设、列、解、验、答六步解题法 二、必须掌握的 6 步解题流程（必考重点） 1.审：读懂题意，找出两个独立的等量关系 2.设：设两个未知数（直接设 / 间接设，优先直接设所求量） 3.列：根据两个等量关系，列出二元一次方程组 4.解：用代入消元法或加减消元法解方程组 5.验： 检验解是否满足方程组 检验解是否符合实际意义（如人数、长度为正整数） 6.答：完整写出问题答案 三、重点等量关系类型（常考题型） 1.和差倍分问题 和：甲 + 乙 = 总量 差：大量 - 小量 = 相差量 倍：一个量 = 倍数 × 另一个量（多/少：加/减对应数值） 2. 行程问题 基本：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离 顺流：速度=静水速度+水流速度；逆流：速度=静水速度-水流速度 3. 工程问题 基本：工作总量 = 效率 × 时间 合作：甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量（常设为1） 4. 销售/价格问题 总价 = 单价 × 数量 两种物品：甲总价 + 乙总价 = 总费用 5. 配套/比例问题 比例：甲×n = 乙×m（甲:乙=m:n） 配套：A数量×配套比 = B数量 6. 年龄问题 核心：年龄差始终不变（今年差=往年差=来年差） 今年：甲年龄 ± 年龄差 = 乙年 7. 方案问题 核心：根据两种方案，列两个等量关系（总价/总数量相等） 方案1总价 = 单价1×数量1 + 单价2×数量2 方案2总价 = 单价1×数量3 + 单价2×数量4 四、易错点（必须规避） 1.找错、找漏两个等量关系，只列一个方程 2.设未知数时漏写单位，作答不完整 3.只检验方程解，忽略实际意义检验 4.方程组列错（数量关系对应错误） 【题型1.由实际问题列二元一次方程组】 1．有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．设一个大桶可以盛酒x斛，一个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 2．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据现有30钱，买得2斗酒，列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，由题意，得： ； 故选A． 3．“蚂蚁森林”是一项公益活动．小文收集了97315g能量，已知17900g能量可换栽1棵梭梭树，19680g能量可换栽1棵沙柳，这两种树小文一共换栽了5棵，最后小文收集的能量还剩4255g。设小文换栽了梭梭树棵，沙柳棵。 (1)请你列出相应的二元一次方程组． (2)小楠说小文换栽了梭梭树3棵，沙柳2棵．小楠的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)小楠的说法正确．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）根据题干数量关系列二元一次方程组即可； （2）准确理解二元一次方程组的解，将小楠说法中和的数值代入方程组验证即可． 【详解】（1）解：由题意，得 （2）解：小楠的说法正确．理由如下： 把代入方程①中，左边=右边； 把代入方程②中，左边=右边， 所以是该方程组的解． 故小楠的说法正确． 【题型2.由几何图形列二元一次方程组】 4．如图，点C在直线上，的度数比的度数的3倍少，设的度数为，的度数为，那么可列出关于x、y的方程组是 ． 【答案】 【分析】设的度数为，的度数为，根据邻补角互补及的度数比的度数的3倍少，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设的度数为，的度数为， 依题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由几何问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．某数学兴趣小组开展“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．如图，小明用边长为30厘米的正方形纸板制作有底无盖长方体纸盒．他先在纸板上剪去一个小长方形，用虚线将其余部分分为几个小长方形，沿虚线压折，再用胶带粘合起来．已知，求底边和的长．设，，则可以列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，需由图形中的数量关系建立等式列方程组，结合无盖长方体纸盒的展开图结构分析并结合是解决本题的关键． 首先可由得到，结合，可由列第一个方程，再根据正方形的另外一条边由两个和两个组成即可列第二个方程． 【详解】解：因为，，， 所以， 又因为， 可得； 又因为该无盖长方体纸盒的底面由组成， 所需两个和两个组成，为正方形的另外一条边长， 所以， 所以可以列方程组为． 故选：D ． 解答题 6．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 【题型3:二元一次方程组应用:和差倍分问题】 7．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书 本． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有图书本，乙原有图书本，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设甲原有图书本，乙原有图书本， 根据题意得：， 解得：， 甲原有图书本， 故答案为：． 8．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 解答题 9．学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 【题型4:二元一次方程组应用:数字问题】 10．有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为6，且这个两位数是个位数字的6倍，则这个两位数是 ． 【答案】24 【分析】设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，这个两位数是个位数字的6倍，列方程组求解； 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y， 由题意得， 解得：， 则这个两位数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解． 11．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题的关键；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程组求解即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ， 整理得， 解得：， 的值分别是，1， 故选：． 12．九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱在如图所示的每一个方格中填入这个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的个数字之和相等，则图中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据第三行及对角线上的个数相等，可得出第一行第三个方格中的数为，根据每行、每列以及每条对角线上的个数字之和相等，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：第一行第三个方格中的数为， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 解答题 13．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 【题型5:二元一次方程组应用:和年龄问题】 14．小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是 岁． 【答案】13． 【分析】设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁，由题意：小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁， 由题意得： 解得： 即现在小新的年龄是13岁， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程组求解. 15．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 解答题 16．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【题型6:二元一次方程组应用:分配问题】 17．如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组 ． 【答案】 【分析】设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 18．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 19．运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，则节火车车厢和辆汽车共装 吨化肥． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设节火车车厢装吨化肥，辆汽车装吨化肥，根据运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，可列方程组，把方程组中的两个方程相加可得：，所以可得节火车车厢和辆汽车共装吨化肥． 【详解】解：设节火车车厢装吨化肥，辆汽车装吨化肥， 根据题意可得：， 得：， 方程两边同时除以得：， 节火车车厢和辆汽车共装吨化肥． 故答案为：． 解答题 20．某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 【答案】三人间普通客房5间，双人间普通客房4间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出方程组是解题关键． 设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，根据人数和住宿费列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，由题意，得： 解得：， 答：三人间普通客房5间，双人间普通客房4间． 【题型7:二元一次方程组应用:行程问题】 21．A、B两地相距420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从A、B两地相向开出，经过2小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键． 22．从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时千米的速度下山，以每小时千米的速度走平路，到达乙地共用分钟；他返回时，以每小时千米的速度通过平路，以每小时千米的速度上山，共用了小时，甲、乙两地的距离是 ． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为千米，坡路为千米，根据题意列出关于，的二元一次方程组求解， 最后把两段路程相加即可． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为千米． 故答案为：千米． 解答题 23．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 【题型8:二元一次方程组应用:工程问题】 24．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 25．甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲工程队每天比乙工程队多施工3米，可得方程，根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得，选择符合题意的选项即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得， 可列方程组， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，明确题意，列出相应的方程组是解题的关键． 解答题 26．“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约千米．为高效推进机场配套建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长度． 七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组： 盛盛：    乐乐： (1)请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整； (2)请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义． 盛盛：x表示________，y表示________； 乐乐：x表示________，y表示________； (3)请你从两位同学的方法中任选一种进行解答． 【答案】(1)260，29000； (2)甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工程队修建快速路的天数； (3)甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据所列方程组补全即可； （2）由（1）作答即可； （3）任选其一求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：盛盛：由， ，可知x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙工程队修建快速路的长度， ∴表示甲、乙两个工程队施工总时间， 即； 乐乐：由，， ，可知x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速路的天数， ∴表示甲、乙两个工程队施工总长度， 即； 故答案为：260，29000； （2）解：由（1）可知：盛盛：x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙工程队修建快速路的长度； 乐乐：x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速路的天数； 故答案为：甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工程队修建快速路的天数； （3）解：选择盛盛的方法解答： 解：设甲工程队修建快速路长度为x米，乙工程队修建快速路长度为y米． ； 解得 答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米； 选择乐乐的方法解答： 解：设甲工程队修建快速路时间为x天，乙工程队修建快速路时间为y天． ； 解得 则甲工程队修建快速路长度为（米） 则乙工程队修建快速路长度为（米） 答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米． 【题型9:二元一次方程组应用:销售利润问题】 27．某公司用30 000元购进甲、乙两种货物，货物卖出后，甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，共获得利润3 150元，则甲种货物的进货价为 元，乙种货物的进货价为 元． 【答案】 15000， 15000 【解析】略 28．孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元．则一束康乃馨和一束百合花的成本价分别是（    ）元． A．10元，6元 B．6元，10元 C．11元，5元 D．5元，11元 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设一束康乃馨成本为x元，一束百合花成本为y元，根据“按康乃馨和百合花各5束搭配需成本80元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本58元”列出方程组即可求解，读懂题意列出方程或函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设一束康乃馨成本为x元，一束百合花成本为y元， 由题意可得：， 解得：， 答：一束康乃馨成本为6元，一束百合花成本为10元． 故选：B． 29．为表彰“我爱读书”演讲比赛中获奖同学，老师决定购买笔记本与钢笔作为奖品，已知个笔记本和支钢笔共需元：个笔记本和支钢笔共需元．设每个笔记本元，每支钢笔元，根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】先设出每个笔记本和每支钢笔的价格分别为元、元，再依据“个笔记本和支钢笔共需元” “个笔记本和支钢笔共需元”这两个条件，分别列出关于、的方程，进而组成方程组．本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列方程组是解题的关键． 【详解】设每个笔记本元，每支钢笔元，根据题意可列方程组为：， 故答案为：． 解答题 30．下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知  ，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现： “设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 [迁移类比] (2)小军看了对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． 【答案】(1)② (2)方程见解析；A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据方程可得表示的是B品牌足球的单价，据此可得答案； （2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据方程可知，表示的是B品牌足球的单价， ∴A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元， ∴例题中被覆盖的条件是②， 故答案为：②； （2）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元 根据题意得， 解得， 答：A种品牌足球的单价为80元．B种品牌足球的单价为50元． 【题型10:二元一次方程组应用:几何问题】 31．如图，现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形区域（图中阴影部分）种植鲜花，则种植鲜花区域的面积是 ． 【答案】750 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， 设小长方形的为，宽为，根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， ， 即种植鲜花区域的面积是， 故答案为：750． 32．小美在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小刚看见了，说：“我也来试一试．”结果小刚七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每个小长方形的长为，宽为，根据小美和小刚拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴小长方形的面积为， 故选：C． 33．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先根据“大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8”，得出关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n，再根据，，求出，最后把m、n代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵，， ∴ ， 故答案为：16． 解答题 34．现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为，宽为，求出和的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为和．若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，求和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握该知识点，正确找到等量关系并列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽分别为45米和30米，列出方程组并解题即可． （2）设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽分别为和，列出方程组用含、的代数式表示、，然后根据作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，得到，代入、得到关于、的方程，可求得，则、的代数式也可求得，最终得到和的数量关系． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，则 ，解得． （2）解：设小长方形的长为，宽为，则 ，解得． ， ， ， ， ， ，， ． 【题型11:二元一次方程组应用:图表信息问题】 35．如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶元，3个杯子个暖瓶元，列方程组求解． 【详解】设一盒杯子x元，一个暖瓶y元， 由题意得， ， 解得： ， ∴一个杯子为8元． 故选：D． 36．九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱．在如下所示的每一个方格中填入1~9这9个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和相等，则图中的值为 ． 7 6 1 【答案】8 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准正确的等量关系，列出二元一次方程组． 利用九宫格的规则列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可得 解得 故答案为：8． 解答题 37．小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三人中靶和得分情况如图，则小红得分多少？请写出推导过程． 【答案】33 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设投中小圈得x分，投中大圈得y分，根据小亮及笑笑的得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用，即可求出小红的得分． 【详解】解：设投中小圈得x分，投中大圈得y分， 根据题意得： ， 得：， ∴小红得分为33分． 【题型12:二元一次方程组应用:古代问题】 38．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何．其大意是今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少．设人数为，琎价为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（古代问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程组是解题的关键． 根据题意即可直接得出答案． 【详解】解：由题意，可列方程组为： ， 故答案为：． 39．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木多少尺？如果设长木长尺，绳长尺，则可以列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题目中的两个等量关系是解题关键． 根据题意，绳长比木长多尺，对折后绳长比木长短尺，由此列出方程组． 【详解】解：设木长尺，绳长尺， ∵绳量木，余绳尺， ∴； ∵屈绳量之，不足一尺，即对折后绳长为尺，木长比对折绳长多尺， ∴． 故方程组为． 故答案为：． 解答题 40．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】有5人，物价为28钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设有x人，物价为y钱，根据“每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱”列出方程组并求解． 【详解】解：设有x人，物价为y钱， 由题意可得，， 解得． 答：有5人，物价为28钱． 【题型13:二元一次方程组应用:其他问题】 41．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货26吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货26吨，列出二元一次方程组，求出，即可得出结论． 【详解】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨， 根据题意得：， ①+②得， ， 即4辆大货车与3辆小货车一次可以运货24吨， 故答案为：24 ． 42．若20个盘子和30个杯子的总重量是4.8千克，40个盘子和50个杯子的总重量是8.4千克，则20个盘子和10个杯子的总重量为（    ） A．2.4千克 B．3.2千克 C．3.6千克 D．4千克 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确列出方程组． 每个盘子重x千克，每个杯子重y千克，根据题意列方程组求出，然后代入求解即可． 【详解】解：每个盘子重x千克，每个杯子重y千克， 根据题意得， 解得 ∴（千克）． ∴20个盘子和10个杯子的总重量为2.4千克． 故选：A． 43．有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若树下一只鸽子飞上树，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多．树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 【答案】 7 5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； 设树上有 只鸽子，树下有 只鸽子，根据题意找等量关系解出方程组即可． 【详解】解：设树上有 只鸽子，树下有 只鸽子． 由题意可得， 化简②，得，即， 代入方程①，得 整理，得 两边乘以得 去括号，得 移项，得 整理，得 则 故原方程组的解为 ∴树上原有只鸽子，树下原有只鸽子． 故答案为：，． 解答题 44．为测量元硬币与角硬币的单枚质量，小明与小聪准备了足量的两种硬币，且同种类硬币的质量均相同． 实验器材：一架天平和一个克的砝码． 小明：天平左边放枚元硬币和个克的砝码，天平右边放枚角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放枚元硬币，天平右边放枚角硬币和个克的砝码，天平正好平衡． (1)每枚1元硬币和每枚角硬币的质量各是多少克？ (2)已知元纸币的质量为克，现在有足够多的元纸币，若天平左边放入张元纸币，天平右边只放入若干枚元硬币和若干枚角硬币，请求出能使天平正好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】(1)每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克 (2)天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． （1）设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； （2）设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】（1）解：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据题意可得， ， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； （2）设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【题型14:二元一次方程组应用:方案问题】 45．用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问：恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？若设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“用块型钢板可制成块型钢板和块型钢板；用块型钢板可制成块型钢板和块型钢板,共需要块型钢板、块型钢板”列方程组即可． 【详解】解：设用A型钢板块，用型钢板块，根据题意，得： 故答案为： 46．一些小姑娘去采蘑菇，其中一人采到朵，其余的人每人都采到朵；第二次又有一些小姑娘（人数与第一次不同）出去采蘑菇，其中一人采到朵，其余的人每人都采到朵．已知两次采到蘑菇数相同，并且蘑菇数大于，但不超过，如果不记顺序，两次去采蘑菇的平均人数为（    ）个 A．       B．              C．             D．               【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和二元一次方程的应用，通过不等式确定变量范围，再结合方程求出具体变量值．先确定第一次采蘑菇数的可能值，再根据第二次的条件筛选出符合条件的蘑菇数，进而求出两次的人数． 【详解】解：设第一次有个小姑娘去采蘑菇，第二次有个小姑娘去采蘑菇， ∵第一次采到的蘑菇数大于，但不超过， ， 解得： ∵两次采到的蘑菇数相同， ∴， ∴ 又∵,均为正整数， ∴两次去采蘑菇的人数分别为个，个， 两次去采蘑菇的平均人数为个． 故选：C． 解答题 47．综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)一共花费180元 (2)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (3)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． （1）利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论； （2）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：（元）． 答：一共花费180元． （2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个． 根据题意得， 解得； 答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个． （3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 根据题意得， ． ，均为正整数，且，， 或或， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个． 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个． 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $