专题9.5 向量应用（2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题9.5 向量应用重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 用向量证明线段垂直 题型二 用向量解决夹角问题 题型三 用向量解决线段的长度问题 题型四 向量与几何最值 题型五 向量在几何中的其他应用 题型六 解析法在向量中的应用 题型七 力的合成 题型八 速度、位移的合成 题型九 功、动量的计算 拓展训练一 平面几何中的向量方法 拓展训练二 向量在物理中的应用 知识点一： 平面几何中证明问题的具体转化方法 1、证明线段，可转化为证明； 2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； 3、证明两线段，只需证明数量积； 4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川成都·月考）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（2025高一·全国·专题练习）向量，若夹角为钝角，则实数的范围是 ． 知识点二： 向量在物理中的应用 1、向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 （1）速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （2）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （3）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 四、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 【即时训练】 1．（25-26高一·全国·随堂练习）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．N B．5N C．10N D．N 2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 【经典例题一 用向量证明线段垂直】 【例1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【例2】（24-25高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 1．（2026高一·全国·课后作业）若分别为四边形所在边的中点，且，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 3．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 4．（24-25高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 【经典例题二 用向量解决夹角问题】 【例1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）中，，则一定是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【例2】（24-25高一下·山东泰安·月考）设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 1．（2025高三·江西南昌·专题练习）设是的外心(三角形外接圆的圆心)．若，则的度数等于(　　) A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，记向量的夹角为，则（    ） A．时为锐角 B．时为钝角 C．时为直角 D．时为平角 3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 4．（24-25高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【经典例题三 用向量解决线段的长度问题】 【例1】（24-25高三上·海南海口·期末）已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·四川南充·期中）已知向量、，满足，，且． （1）求和的夹角； （2）在中，若，，求． 1．（24-25高三下·浙江宁波·月考）在四边形中，已知，若，则的长度为（   ） A．4 B． C．5 D． 2．（多选）（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，若存在，使得，，满足，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，是线段上的动点，且，求的取值范围． 【经典例题四 向量与几何最值】 【例1】（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【例2】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知正六边形ABCDEF的边长为1， (1)当点M满足__________时，． （注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） (2)若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求的取值范围． 1．（24-25高一下·辽宁·月考）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·月考）已知平面向量满足，则的最小值是 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为边作正方形，点在第一象限，求的取值范围． 【经典例题五 向量在几何中的其他应用】 【例1】（24-25高一下·河南·月考）在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）在等腰中，，点M为边BC的中点，用向量的方法证明：． 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京·开学考试）设D为内一点，且，则与的面积比为 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）在矩形中，，．边上的动点P（包含点D、C）与延长线上的动点Q（包含点B）满足，求的最小值． 【经典例题六 解析法在向量中的应用】 【例1】（2025·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 1．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．与不可能垂直 D． 3．（2024·贵州·模拟预测）若实数a，b，c，d满足，，则的最大值为 . 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是正方形，M是的中点，将正方形折叠，使点A与M重合，设折痕为，若正方形面积为64，求的面积. 【经典例题七 力的合成】 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（    ）    A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系． 【经典例题八 速度、位移的合成】 【例1】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 1．（24-25高一下·广东广州·月考）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 2．（多选）（24-25高一下·山东聊城·期中）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于 .    4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：    (1)； (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值. 【经典例题九 功、动量的计算】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）一物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且力所做的功，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为 .（）    4．（2025高一·全国·专题练习）设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示． （1）求的大小； （2）求与的夹角． 【拓展训练一 平面几何中的向量方法】 【例1】（24-25高一下·宁夏银川·期中）在四边形中，若，则四边形为（    ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最小值，以及y取得最小值时x的值． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知在矩形中，，，是边上的动点，记，当取最小值时，的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·期末）在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 3．（2025·广东广州·三模）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 . 4．（2025·上海·高考真题）根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r. (1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点； (2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）. 【拓展训练二 向量在物理中的应用】 【例1】（24-25高一·全国·单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了.力和摩擦力所做的功分别为多少？（取重力加速度大小为） 1．（24-25高一下·北京通州·期中）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选）（24-25高一下·河南·期中）三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用表示.若， 的夹角是，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．夹角的余弦值为 D．夹角的余弦值为得 3．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·月考）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 . 4．（25-26高一·全国·课堂例题）已知地球半径，地面附近重力加速度．要发射人造卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，卫星速度应达到多少？    1．（24-25高一下·四川·月考）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知的三个顶点及平面内一点满足，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2025·全国·模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为锐角，则且 7．（多选）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 8．（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 9．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 10．（多选）（24-25高一下·山东枣庄·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 11．（24-25高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    12．（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为 . 13．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是 ． 14．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知是边长为2的正六边形上或其内部的一点，则的取值范围为 15．（24-25高一下·江苏泰州·月考）在静水中船的速度为 ，水流的速度为 ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过 ，该船的实际航程是 . 16．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 17．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 18．（24-25高二上·河南郑州·月考）向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程. (1)已知矩形ABCD，M为平面内任意一点，请用向量法证明： (2)如图，已知圆 ，A，B；是圆O上两个动点，点 ，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程. 19．（24-25高一下·江苏南通·月考）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）生活中，我们使用的电悌、旗杆、窗帘等都是滑轮原理的应用.如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为和物体（），另在两滑轮中间的一段绳子的点处悬挂质量为的另一物体. （1）若，试求； （2）若，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）.求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.5 向量应用重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 用向量证明线段垂直 题型二 用向量解决夹角问题 题型三 用向量解决线段的长度问题 题型四 向量与几何最值 题型五 向量在几何中的其他应用 题型六 解析法在向量中的应用 题型七 力的合成 题型八 速度、位移的合成 题型九 功、动量的计算 拓展训练一 平面几何中的向量方法 拓展训练二 向量在物理中的应用 知识点一： 平面几何中证明问题的具体转化方法 1、证明线段，可转化为证明； 2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； 3、证明两线段，只需证明数量积； 4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 【即时训练】 1．（24-25高一下·四川成都·月考）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】取中点，连接，则，利用向量数量积的运算律变形，得，从而可判断三角形形状． 【详解】取中点，连接，则， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以的是等腰三角形． 故选：B． 2．（2025高一·全国·专题练习）向量，若夹角为钝角，则实数的范围是 ． 【答案】且 【分析】利用若夹角为钝角，则有且与不共线，列出不等式组，即可解出答案. 【详解】根据题意，向量，若夹角为钝角， 则有且与不共线，即， 解得：且， 故的取值范围为且； 故答案为：且． 知识点二： 向量在物理中的应用 1、向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 （1）速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （2）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （3）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 四、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 【即时训练】 1．（25-26高一·全国·随堂练习）已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（    ）． A．N B．5N C．10N D．N 【答案】B 【分析】作图，根据已知，在直角三角形中，求解即可得出答案. 【详解】    如图，，，，，. 在中，有， 所以，的大小为5N. 故选：B. 2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 【答案】 【分析】画出图形，在直角三角形中求河水的流速即可. 【详解】如图，用表示河水的流速，表示船的速度， 则为船的实际航行速度． 由图知，，，则． 又， 所以． 即河水的流速是 km/h． 故答案为： 【经典例题一 用向量证明线段垂直】 【例1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【详解】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 1．（2026高一·全国·课后作业）若分别为四边形所在边的中点，且，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】结合图像，由得，再由中位线定理可得，又易知四边形是平行四边形，故四边形是矩形. 【详解】根据题意，如图，得 因为，所以，则， 又分别为四边形所在边的中点， 所以，，故， 又由中位线定理易知，，，，， 所以， ，则四边形是平行四边形， 故四边形是矩形. 故选：C. . 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的分配率结合可得，即AG⊥CB，结合G为△ABC重心可得△ABC为等腰三角形，再根据几何关系即可求△ABC外接圆半径． 【详解】延长AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD为△ABC中线． ， 即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且， 则△ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA=OC， ∵∠OAC=，∴△OAC是等边三角形，∴OA=OC=AC=AB=1，即△ABC外接圆半径为1． 故选：B． 3．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 【答案】垂 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【详解】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 4．（24-25高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证； （2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系. （方法一）由题意可知，设，则， ，，，得，， 所以，故，即. （方法二）由题意可知，，，设， 则，得，得，， 所以，故，即. （2）由题意得，则，设，则，， 由（1）得，， 所以， 由，得，当，即时，. 故的最大值为. 【经典例题二 用向量解决夹角问题】 【例1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）中，，则一定是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】表示出向量的点乘，结合已知条件进行判定三角形形状 【详解】因为中，，则， 即，，角为钝角， 所以三角形为钝角三角形 故选 【例2】（24-25高一下·山东泰安·月考）设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先由可求，再用向量夹角余弦的公式可得，则的夹角可求. （2）由向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，再求解相应不等式即可. 【详解】（1） 又 即 又 （2）的夹角为且 向量与的夹角为钝角 且与不共线 即 解得：且 实数t的取值范围且 1．（2025高三·江西南昌·专题练习）设是的外心(三角形外接圆的圆心)．若，则的度数等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将向量式两边平方，结合三角形外心性质和已知条件可得，同理可得，然后根据夹角公式可得. 【详解】∵为的外心， ∴， 又 ∴ ∴，同理 故， 又 ∴. 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，记向量的夹角为，则（    ） A．时为锐角 B．时为钝角 C．时为直角 D．时为平角 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的夹角公式判断. 【详解】A. 当时，，所以为锐角，故正确； B. 当时，，所以为钝角或平角，故错误； C. 当时，，所以为直角，故正确； D. 时，，所以为平角，故正确. 故选：ACD 3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      【经典例题三 用向量解决线段的长度问题】 【例1】（24-25高三上·海南海口·期末）已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当为中点时，可判断A；由，可判断B；计算可得判断C；计算可得可判断D. 【详解】当为中点时，，所以，故A错误； 因为，又，所以，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·四川南充·期中）已知向量、，满足，，且． （1）求和的夹角； （2）在中，若，，求． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）首先可根据得出，然后根据即可得出结果； （2）本题首先可根据题意得出，然后通过求出即可得出结果. 【详解】（1）因为，所以，， 则， 因为和的夹角在上，所以和的夹角为. （2）因为，，所以， 则， 故. 1．（24-25高三下·浙江宁波·月考）在四边形中，已知，若，则的长度为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】设分别为的中点，先证明两点重合，则四边形为平行四边形，再分别将用表示，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】如图，设分别为的中点， 则， 所以， 两式相加得，① 同理可得，② 由①②得，③ 因为为的中点， 所以， 则，④ 而，则，⑤ 由④⑤得，⑥ 由③⑥可得， 即， 又因为， 所以，所以两点重合， 所以互相平方，所以四边形为平行四边形， 则， 故，即， 所以， 因为， 所以， 所以，即. 故选：D. 2．（多选）（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，若存在，使得，，满足，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，.先判断出点P、Q在直线AB上，得到夹角为.由，得到.设点O到直线AB的距离为h，过O作AB的垂线，垂足为H.设，,得到.设，求出，得到：.把表示为，求出. 对照四个选项，得到正确答案. 【详解】设， . 因为，所以点P、Q在直线AB上. 因为，所以，即夹角为. 因为，所以. 设点O到直线AB的距离为h，过O作AB的垂线，垂足为H. 设，,则. 设，因为，所以. 所以. 因为，所以，所以， 所以，即，解得：， 所以. 因为，所以. 对照四个选项，，，，. 故的值可以是CD. 故选：CD 3．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 【答案】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，，是线段上的动点，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】解法1：设的中点为，可得，再利用向量数量积的几何意义（向量的投影）即可求解的取值范围； 解法2：设，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量的坐标运算求解. 【详解】解法1：如图，设的中点为，则， 因为， 又，所以，则， 由得， 因为，所以，其中， 即在上的投影为，结合图形对称性不妨设在线段上运动， 则要大于投影长度， 过作交于，所以， 则为的中点，由于， 所以 当与重合时，取最大值， 故．    解法2：设的中点为，因为， 又，所以，则， 设，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，    则，，设， 所以， ， 则． 因为，即 所以，因为，解得， 将代入可得， 又，则，所以． 【经典例题四 向量与几何最值】 【例1】（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】分析得到为的中点，⊥，，数形结合得到当重合时，取得最小值，求出最小值. 【详解】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 【例2】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知正六边形ABCDEF的边长为1， (1)当点M满足__________时，． （注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） (2)若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求的取值范围． 【答案】(1)，M为直线AD上的任意一点（答案不唯一） (2) 【分析】（1）根据题意，建立坐标系，设，所以，，根据，可得为直线AD上的任意一点即可； （2）设，因为点H是正六边形内或其边界上的一点，则，进而，利用的取值范围即可求解． 【详解】（1）建系如图，则， 因为，设， 所以， 又因为， 所以，可得， 又因为，， 所以直线为， 所以M为直线AD上的任意一点即可(答案不唯一)，故答案为：，M为直线AD上的任意一点（答案不唯一）． （2）设，因为点H是正六边形内或其边界上的一点，则， 则==， 1．（24-25高一下·辽宁·月考）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，则与垂直，设共起点，数形结合画出相应图象，结合向量减法的几何意义计算即可得解. 【详解】设共起点，由，可得， 所以与垂直，如图， 由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上， 由题意可知的终点在图中所示的射线上， 所以是从圆上的点到射线上的点形成的向量， 要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径， 故的最小值为． 故选：A． 2．（2025高一·全国·专题练习）若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【分析】如图： 设，，则，依题意. 过作，垂足为，则， 即的最小值是. 故选：C. 3．（25-26高三上·北京·月考）已知平面向量满足，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】首先确定向量与的夹角，并通过几何方法分析的轨迹，进而求解最值。 【详解】已知且， 由点积公式，所以夹角. 设，因为，，设， 则 ，解得 ，不妨取， 设，则，； 由，得 化简得， 即向量对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆； 则，需在圆上求的最小值, 因为圆心横坐标为，半径1，故的最小值为； 因此的最小值为，即为最小值. 故答案为：1. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点在半径为1的上半圆上运动，，以为边作正方形，点在第一象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算得到点的轨迹即可求解. 【详解】设，则，，，． 将顺时针旋转，则， 则有即 所以点的轨迹方程为． 由题意， 所以， . 【经典例题五 向量在几何中的其他应用】 【例1】（24-25高一下·河南·月考）在中，若 ，则的形状一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】应用向量数量积的运算律得，即，即可得三角形的形状. 【详解】由题设，则， 而的数量关系无法确定，所以一定是直角三角形，且. 故选：A 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）在等腰中，，点M为边BC的中点，用向量的方法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】设，由向量的运算法则求得和，结合向量的数量积的运算法则，得到，即可证得. 【详解】如图所示，设，则 因为是的中点，可得， 又由， 则， 所以，即. 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 2．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 3．（24-25高三上·北京·开学考试）设D为内一点，且，则与的面积比为 . 【答案】 【分析】先由已知求得，接着以为邻边作平行四边形，连接交于点，于是有，从而推出，再结合和三角形同高即可得解. 【详解】由题得， 所以， 所以即，    如图所示，以为邻边作平行四边形，连接交于点， 则， 所以即，又和高相等， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）在矩形中，，．边上的动点P（包含点D、C）与延长线上的动点Q（包含点B）满足，求的最小值． 【答案】 【分析】以A为坐标原点，分别以、所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，，则由题意可得，表示出化简后利用二次函数的性质可求得结果. 【详解】以A为坐标原点，分别以、所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设，，由题意知，，． 因为，所以，所以． 因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值为． 【经典例题六 解析法在向量中的应用】 【例1】（2025·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断. 【详解】不妨设，，，，， ① ，，若，∴， ∴，满足条件的明显存在，∴①成立； ② F为AB中点，，与交点即重心， ∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立； 故选：B 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 【答案】不存在，理由见解析 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，假设在线段上存在点使得，列出方程组求解即可． 【详解】如图所示，以为原点，建立平面直角坐标系，过点作于点， 由题可知，， 所以，假设在线段上存在点使得，则， 由与共线及得，，解得， 因为，所以线段上不存在点使得． 1．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算求出即可求解. 【详解】解：以BC所在直线为轴，以BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，，所以，，，设，， 则，，， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是， 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．与不可能垂直 D． 【答案】BCD 【分析】因为是平面上夹角为的两个单位向量，所以设，建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算数形结合逐项分析即可. 【详解】因为是平面上夹角为的两个单位向量，所以设，建立如图所示直角坐标系： ，由，即， 所以点在以为直径的圆上， 所以，故A错误； ，故B正确； 由图可知，与的夹角为锐角，所以与不可能垂直，故C正确； 的最大值为：，故D正确， 故选：BCD 3．（2024·贵州·模拟预测）若实数a，b，c，d满足，，则的最大值为 . 【答案】0 【分析】根据题意，令，，结合向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】令，，则 令，，则，，，， ∴， 当时，最大值为0， ∴的最大值为0，当且仅当，且时等号成立. 故答案为：0 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是正方形，M是的中点，将正方形折叠，使点A与M重合，设折痕为，若正方形面积为64，求的面积. 【答案】10. 【分析】建立坐标系，设交于点N，利用得，即， 由可得答案. 【详解】如图，建立坐标系，设交于点N，由正方形面积为64，可得边长为8，由题意可得，N是的中点，故. 所以， 因为，所以，解得，即， 所以. 【经典例题七 力的合成】 【例1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知质点受到三个力、、的作用，若它们的大小分别为，，，且三个力之间的夹角都为120°，求合力的大小和合力与所成角的大小. 【答案】合力的大小为，与所成角的大小为. 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】如图，以质点为坐标原点，向量所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，，， 于是合力，，，， 所以合力的大小为，与所成角的大小为. 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每根绳子上的拉力大小为T，根据平衡条件列式求解即可． 【详解】设每根绳子上的拉力大小为T，则根据平衡条件可得，, 解得． 所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解. 【详解】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 【答案】 【分析】作，，，以、为邻边作平行四边形，则，利用平面向量数量积的运算性质求出，可得出的大小，由此可得出与夹角的大小. 【详解】作，，，以、为邻边作平行四边形， 则，    由题意可得，，， ， ， ， 所以，， 因为，故，则， 因此，与夹角的大小为. 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系． 【答案】答案见解析 【分析】设两人的拉力分别为、，作，，作，以、为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力，分析可得，分析当变大时，的变化，即可得出结论. 【详解】解：设两人的拉力分别为、，作，，作， 以、为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力，    水桶在两人的合力下处于平衡状态，则和互为相反向量， 因为，则四边形为菱形， 连接交于点，则为的中点，且，且，， ，所以，， 所以，， 又因为，所以，随着的增大而增大. 【经典例题八 速度、位移的合成】 【例1】（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 【答案】所用的时间是3.1min 【分析】作出示意图，设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为，由题意可得，进而求得航程最短时，所需时间. 【详解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示， 设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为， 已知，，    则， 所以. 所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min. 1．（24-25高一下·广东广州·月考）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【答案】A 【分析】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)． 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．    设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·山东聊城·期中）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（   ） A．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B．船垂直到达对岸所用时间最少 C．船垂直到达对岸时航行的距离最短 D．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 【答案】AC 【分析】根据速度的合成判断船速的方向与河岸垂直、船垂直到达对岸对应用时、航行距离情况，即可得. 【详解】根据速度的合成知， 当船速的方向与河岸垂直时，垂直河岸方向的速度最大，故用时最少， 当船垂直到达对岸时，航行的距离即为河的宽度，此时航行距离最短. 故选：AC 3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于 .    【答案】 【分析】设船的实际速度为，结合直角三角形，由即可求解. 【详解】 解：设船的实际速度为，   因为与所成的角为，北岸的点B在A的正北方向， 所以游船正好到达B处，则， 所以 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2 h.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求：    (1)； (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，结合已知利用余弦定理可求解； （2）由（1）结合余弦定理可求出. 【详解】（1）∵河的宽度，， ∴，∴. 如图，设合速，，船在静水中的速度，则，    由题意可得，且， 又，∴在中，由余弦定理可得 （2）由（1）知，，， 由余弦定理可得. ∴. 【经典例题九 功、动量的计算】 【例1】（25-26高一·全国·课后作业）共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积的坐标运算可得出共点力对物体做的功. 【详解】根据题意得：共点力的合力是， 对物体做的功为. 故选：D. 【例2】（25-26高一·全国·随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）． 【答案】答案见解析 【分析】首先分析物体的受力，再计算各个力所做的功. 【详解】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力， 且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角， 则重力对物体做的功， 支持力与位移方向垂直，做功为， 摩擦力与位移方向相反，对物体做功 ．    1．（24-25高一下·全国·课后作业）一物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且力所做的功，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的定义即可求解. 【详解】由题意可知：，即， 解得：， 故选：D. 2．（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为 .（）    【答案】， 【分析】结合物理知识，求解力在水平方向及竖直方向的分量，进而得出摩擦力，利用做功公式即可求解. 【详解】由题可知，以木块运动的方向为正方向， 则力在水平方向的分量为：， 在竖直方向的分量为：， 则摩擦力为：， 则力做功为,摩擦力做功. 故答案为：， 4．（2025高一·全国·专题练习）设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示． （1）求的大小； （2）求与的夹角． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，利用平方，再开方的方法，即可求的大小； （2）由，可得，从而可求，的大小． 【详解】解：（1）由题意 ，，且与的夹角为， （2）， ， ， ， ，． 【拓展训练一 平面几何中的向量方法】 【例1】（24-25高一下·宁夏银川·期中）在四边形中，若，则四边形为（    ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】D 【分析】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义去判断四边形的形状. 【详解】由，可得，即，则四边形为平行四边形； 又由，可得，则平行四边形四边形为菱形 故选：D 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最小值，以及y取得最小值时x的值． 【答案】当时，函数取得最小值为． 【分析】对函数变形后，将问题转化为求两个向量模的和的最大值问题，然后利用向量模的性质求解. 【详解】解：由题意得， 可设向量，，则， 故有，当且仅当、同向时，等号成立． 由，解得． 因此，当时，函数取得最小值为． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知在矩形中，，，是边上的动点，记，当取最小值时，的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法1：建立平面直角坐标系，设，，表示出个各点坐标，利用向量模的公式可得当最小时，代入，即可求解. 解法2：设为的中点，延长，使得，可得，通过图形分析可知点在线段上运动，故点的轨迹是与平行的线段，当最小时，，根据相似即可求出答案. 【详解】解法1：如图建立平面直角坐标系，不妨设，则，，，， 所以，，， 则 ． 当时，，最小． 由得，则此时． 解法2：设为的中点， 则 延长，使得，如图． 所以 由于点在线段上运动，故点的轨迹是与平行的线段． 当最小时，， 过作交于，过作交于，则， 此时，得， 由，得. 故选：C． 2．（多选）（24-25高一下·江苏连云港·期末）在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案. 【详解】因为中，， 对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则 所以，故A正确； 对于B，由，设，所以， 因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确； 对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故 由于，，所以， 则， 所以，故C不正确； 对于D, ，故D正确； 故选：ABD 3．（2025·广东广州·三模）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点，所以，. 又因为，所以 , , , 所以. 故答案为： 4．（2025·上海·高考真题）根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r. (1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点； (2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）. 【答案】(1)指令为 (2)机器人最快可在点处截住小球，指令为. 【分析】（1）由题意，，，根据机器人的转动规则进行解答，即可得到结论； （2）根据小球速度是机器人速度的2倍，建立方程，即可求得结论． 【详解】（1）如图，设点，所以， 因为与x轴正方向的夹角为45°， 所以，，故指令为. （2）设，机器人最快在点处截住小球， 由题意知，即， 整理得，即， 所以或（舍去），即机器人最快可在点处截住小球. 设与的夹角为，易知，，， 所以，所以. 因为由的方向旋转到的方向是顺时针旋转，所以指令为. 【拓展训练二 向量在物理中的应用】 【例1】（24-25高一·全国·单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】设两根绳子的拉力分别为，，作，根据题意得到其为矩形求解. 【详解】解：如图所示： 设两根绳子的拉力分别为，. 作，使，. 在中，， 所以， 所以，， 所以， 故两根绳子拉力的大小分别为，. 故选：C. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了.力和摩擦力所做的功分别为多少？（取重力加速度大小为） 【答案】力和摩擦力所做的功分别为和. 【分析】将力分解为水平和竖直方向上的两个力，先计算摩擦力的大小，然后分别计算两个力所做的功. 【详解】如图所示，设木块的位移为，则. 将力分解成竖直向上的分力和水平方向的分力，则. 所以. 因此. 故力和摩擦力所做的功分别为和. 1．（24-25高一下·北京通州·期中）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】作出图形，由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，    由图可知，，所以，故， 所以又因为，所以， 所以（），故. 故选：B 2．（多选）（24-25高一下·河南·期中）三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用表示.若， 的夹角是，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．夹角的余弦值为 D．夹角的余弦值为得 【答案】BC 【分析】根据，然后利用数量积的运算律及模的运算公式求解，再由及数量积的运算公式求解即可. 【详解】由已知可知：， 所以． 设的夹角为，由，得， 所以，得解. 故选：BC 3．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·月考）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 . 【答案】3 【分析】根据向量的加法运算，确定船行驶的方向与水流方向和船实际的方向之间的关系，进而解三角形可得. 【详解】设船在静水中的速度为，船的实际速度为，水流速度为，如图所示，    ∵， ∴，即水流的速度大小为. 故答案为：3. 4．（25-26高一·全国·课堂例题）已知地球半径，地面附近重力加速度．要发射人造卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，卫星速度应达到多少？    【答案】 【分析】设出卫星质量为m，绕地球做匀速圆周运动的速度大小为v，结合实际，利用向量即可求出结果. 【详解】设卫星质量为m，绕地球做匀速圆周运动的速度大小为v． 由于使卫星做圆周运动的向心力ma是由地球引力mg提供的，因此ma＝mg，即a＝g． 如图，由于卫星在地表附近绕地球旋转，因而其运动轨道半径可近似看作是地球的半径，于是卫星旋转一周的路程是，卫星运转一周的时间． 设地球地心为点，卫星运动的方向为以点为圆心，为半径的圆的切线方向，大小为．从地心作，则模，且的方向与相同，均垂直于半径，即． 虽然卫星速度的大小不变，但其方向不断改变，这导致表示速度的有向线段的终点始终在以为圆心，为半径的圆上旋转，且的旋转速度就是卫星速度的变化速度，其大小等于卫星的加速度． 在卫星旋转过程中，，的长度都不变，夹角也不变，因而始终保持全等． 因此卫星旋转一圆，也跟着旋转一圈，点也旋转了一圈，时间仍为． 点在轨道圆上旋转一圈的路程等于圆周长，因而其速度大小为 ， 因此． 所以，卫星速度应达到，即．    1．（24-25高一下·四川·月考）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形. 【详解】，, 所以四边形ABCD为平行四边形， , ， 所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形. 故选：B 2．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 3．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解． 【详解】在中，由，可得， 根据，得，， 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，则， 设为平面内满足的点， 则有，， 则， 由于P在单位圆上，可设，， 则， 故的取值范围为 故选:A 4．（2025高三·全国·专题练习）已知的三个顶点及平面内一点满足，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】根据给定的向量等式，化简得出，可得是的重心. 【详解】在中，因， 设为的中点，而，，所以是靠近的三等分点， 则是的重心； 故选：C.    5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，船的实际速度与水流速度垂直，作出图形，求出的值，即可求得船所需的时间. 【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直， 作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，且，， 由勾股定理可得， 因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间， 则. 故选：B. 6．（多选）（2025·全国·模拟预测）已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为锐角，则且 【答案】AC 【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案. 【详解】因为，，， 所以，， 选项A：，所以A正确； 选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误； 选项C：因为，所以，所以，所以C正确； 选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得 ，所以D错误. 故选：AC 7．（多选）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】BD 【分析】由，可得，即可判断A；得出的关系，即可判断B；将的面积转化为的面积即可判断CD. 【详解】由， 得，故A错误； 对于B，因为分别为中点， 所以， 则， 所以，所以， 又为公共点，所以三点共线，故B正确； 对于C，由，得， 则， ， 所以，故C错误； 对于D，由C得，故D正确. 故选：BD. 8．（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 9．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【分析】设水的阻力为，绳的拉力为，绳与水平方向的夹角为，则，根据变化即可判断. 【详解】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 10．（多选）（24-25高一下·山东枣庄·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【分析】讨论的大小，分别求出过河的时间，从而判断ABC；由平行四边形法则结合勾股定理判断D. 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ，    当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误；    故选：AB 11．（24-25高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 12．（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为 . 【答案】 【分析】如图建立直角坐标系，设AC，BD交点为E，由的面积是的面积的2倍可得E坐标，然后由B，E，D三点共线结合可得B 点坐标，即可得答案. 【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴， 以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系. 又 则. 过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则. 又注意到，则.设，则， 则. 注意到B，E，D三点共线，则，则. 又 则或，又由图可得，则. 则. 故答案为：    13．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，，若的最小值是2，则对于内一点的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意和已知条件列出等式并化简，作出相应的图形，然后结合图形将表示出来，进而求得最小值. 【详解】，其中，由条件知该式的最小值是2． 设，则点在直线上， 又，故当长度最小时，为的中点，，如图，得． 取的中点，连结，取的中点，连结， 则， 当点与点重合时，上式有最小值，此时．    故答案为：. 14．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知是边长为2的正六边形上或其内部的一点，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】在正六边形中，以点为原点，AB、AE所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图，    因为，则， 设，由题意可知，， 所以，则， 故答案为： 15．（24-25高一下·江苏泰州·月考）在静水中船的速度为 ，水流的速度为 ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过 ，该船的实际航程是 . 【答案】/ 【分析】 作出图形，根据勾股定理可求得每分钟船的实际航程，进一步计算即可求解. 【详解】如图所示，是流水的方向， 是垂直于河岸的方向，是船的实际航线， 因此是船在静水中的航行方向， ，， 则， 故经过 的航程为， 即， 故答案为：.    16．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 17．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 18．（24-25高二上·河南郑州·月考）向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程. (1)已知矩形ABCD，M为平面内任意一点，请用向量法证明： (2)如图，已知圆 ，A，B；是圆O上两个动点，点 ，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以A点为原点建立平面直角坐标系，记，，，，设，利用向量的模求解； （2）利用（1）的结论由求解. 【详解】（1）解：以A点为原点建立平面直角坐标系： 记，，，，设， 则有：， ， 故：； （2）设，由（1）可得：， 得：， 化简得M轨迹方程为：. 19．（24-25高一下·江苏南通·月考）记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． (1)已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； (2)记，用向量方法证明：． 【答案】(1)①， ；②，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①利用平面向量的线性运算可得出、关于基底的表达式； ②利用平面向量的数量积的运算性质计算的值，即可得出结论； （2）设单位向量，根据结合平面向量数量积的定义和运算性质可证得结论成立. 【详解】（1）①因为，，记，， 则，. ②，证明如下： 因为，，则， 所以，， 且、均为非零向量，则，即； （2）在中，， 设单位向量，则，（*） 又根据数量积的定义得，， ，， 代入（*）式得，， 所以． 20．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）生活中，我们使用的电悌、旗杆、窗帘等都是滑轮原理的应用.如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为和物体（），另在两滑轮中间的一段绳子的点处悬挂质量为的另一物体. （1）若，试求； （2）若，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）.求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）设两绳子对物体的拉力分别为，物体向下的重力为， 由系统平衡条件知，变形后由向量的平方转化为数量积的运算可得结论； （2）在（1）的基础上设，由力的分解可得，再在中由正弦定理结合已知得，代入上式可得，从而证得结论成立． 【详解】（1）设两绳子对物体的拉力分别为，物体向下的重力为， 由系统平衡条件知，由已知设， ，则， 所以，解得． （2）设两绳子对物体的拉力分别为，物体向下的重力为， 由系统平衡条件知，设，由力的平衡得，， 即，①， ，②， 中由正弦定理得，即，代入①和， 　所以，因为，所以，所以，， ，所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $