微专题08：数列的奇偶项问题讲义-2026届高三数学二轮复习

2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题08：数列的奇偶项问题】 【高考定位】 考查层级：中低档题为主，偶见中高档综合题，是数列模块的高频考点（近5年全国卷出现频率约3-5次/年） 题型分布： 选择题/填空题：占5-10分，侧重奇偶项通项求解、局部和计算、性质判断 解答题：多为第2问，占6-8分，常与函数、不等式、新定义结合综合考查 核心素养：重点考查数学抽象、逻辑推理、数学运算三大核心素养，突出分类讨论与化归转化思想的应用 命题趋势： 强化知识交汇，与函数、概率、导数等模块融合 深化递推关系考查，从单一递推向复合递推、分段递推发展 注重实际情境与新定义问题，考查应用能力与创新思维 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：含的奇偶项问题（符号交替型）】 【核心归纳】 识别特征：通项含或，符号周期为2 核心方法： 1.相邻两项配对法：n为偶数时，将相邻两项合并为一组，每组结果为常数或有规律的表达式 2.分奇偶讨论法：n为奇数时，先求前n-1项和（偶数项），再加第n项 操作要点：注意区分n为奇数/偶数时的项数与分组方式，避免项数计算错误 （25-26高二上·河南郑州·期末）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列．经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． （25-26高三上·江苏盐城·期末）设等差数列的前项和为，已知．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，当时，.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. （2026·贵州贵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，则该数列的前2026项的和 .小试牛刀3 【热点题型2：隔项递推型（奇偶分离型）】 【核心归纳】 识别特征：递推式仅涉及隔项关系（如或），奇数项与偶数项各自成等差/等比数列 核心方法： 1.子数列法：分别构造奇数项子数列和偶数项子数列 2.双通项法：求出两个子数列的通项公式，再合并为原数列的分段通项 操作要点：确定两个子数列的首项和公差/公比，注意项数对应关系（n=2k-1或n=2k） （25-26高三上·天津和平·期末）已知，数列满足，其中为常数，且有，正项等比数列满足.经典例题例题 (1)求数列与的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)在（2）的条件下，若对任意的，均有成立，求整数的取值集合. （2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·四川成都·月考）已知数列的前项和为，，，，则满足 的正整数的所有取值集合为 .小试牛刀2 【热点题型3：连续两项和/积型（奇偶关联型）】 【核心归纳】 识别特征：递推式为或，相邻奇偶项存在明确关联 核心方法： 1.递推相减法（和型）：当为常数或等差数列时，用替换n得新递推式，两式相减消去偶/奇数项 2.递推相除法（积型）：当为等比数列时，两式相除消去偶/奇数项，转化为隔项递推问题 操作要点：注意递推式的适用范围（n≥1或n≥2），避免首项遗漏 （2025·江苏苏州·三模）已知数列的前项和为，，，则 ．经典例题例题 【多选题】（2026·广东·模拟预测）已知数列均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，，则下列结论正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（2026·河南郑州·模拟预测）已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ）小试牛刀2 A． B．数列是等比数列 C． D． 【热点题型4：分段定义型（奇偶独立型）】 【核心归纳】 识别特征：题目明确给出n为奇数/偶数时的不同递推关系或通项公式 核心方法： 1.分类求解法：按n的奇偶性分别求通项与前n项和 2.统一表达式法：用将分段通项合并为一个表达式（可选） 操作要点：求和时需区分n为奇数/偶数时的项数分布（奇数项k项，偶数项m项） 【多选题】（2026·江西·一模）已知数列满足，设，则（    ）经典例题例题 A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 （2025·河北邢台·二模）已知数列满足，记．小试牛刀1 (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：． （2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．小试牛刀2 (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． （2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，，数列满足．小试牛刀3 (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式及前n项和； (3)记，求数列的前n项和． 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建三明·三模）若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林·二模）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 二、多选题 6．（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B． C．若，则的最大值为1214 D．的前36项和为1226 7．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·河北保定·期末）已知数列满足，，，为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·福建漳州·模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 三、解答题 10．（2025·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，满足：，，. (1)求，； (2)求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题08：数列的奇偶项问题】 【高考定位】 考查层级：中低档题为主，偶见中高档综合题，是数列模块的高频考点（近5年全国卷出现频率约3-5次/年） 题型分布： 选择题/填空题：占5-10分，侧重奇偶项通项求解、局部和计算、性质判断 解答题：多为第2问，占6-8分，常与函数、不等式、新定义结合综合考查 核心素养：重点考查数学抽象、逻辑推理、数学运算三大核心素养，突出分类讨论与化归转化思想的应用 命题趋势： 强化知识交汇，与函数、概率、导数等模块融合 深化递推关系考查，从单一递推向复合递推、分段递推发展 注重实际情境与新定义问题，考查应用能力与创新思维 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：含的奇偶项问题（符号交替型）】 【核心归纳】 识别特征：通项含或，符号周期为2 核心方法： 1.相邻两项配对法：n为偶数时，将相邻两项合并为一组，每组结果为常数或有规律的表达式 2.分奇偶讨论法：n为奇数时，先求前n-1项和（偶数项），再加第n项 操作要点：注意区分n为奇数/偶数时的项数与分组方式，避免项数计算错误 （25-26高二上·河南郑州·期末）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列．经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为，利用等比中项概念与等差数列前n项和的基本量运算可求得，从而可写出通项公式； （2）利用裂项相消法与分组求和法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 因为成等比数列，所以， 由于， 所以，化简得. 解得或，又，所以. 故数列的通项公式为； （2）由（1）得，则， 则， 所以， 则 . （25-26高三上·江苏盐城·期末）设等差数列的前项和为，已知．小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出等差数列的首项与公差，根据已知条件列方程组求解即可得通项公式；（2）首先写出数列的通项公式，得到的表达式，分组求和即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由得，解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）知，所以， 因为， 所以数列的前项和 （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，当时，.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可证得数列从第二项开始为常数列，进而求出数列的通项公式； （2）先求出，再由分组求和法求解即可. 【详解】（1）当时，，得，作差可得， ，化简得，即， 所以数列从第二项开始为常数列，且，即 又，所以，不符合上式， 所以； （2）由（1）知，； ， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，. （2026·贵州贵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，则该数列的前2026项的和 .小试牛刀3 【答案】2026 【分析】设,则，利用求解即可. 【详解】设,则，, 所以, 则, 故答案为： 【热点题型2：隔项递推型（奇偶分离型）】 【核心归纳】 识别特征：递推式仅涉及隔项关系（如或），奇数项与偶数项各自成等差/等比数列 核心方法： 1.子数列法：分别构造奇数项子数列和偶数项子数列 2.双通项法：求出两个子数列的通项公式，再合并为原数列的分段通项 操作要点：确定两个子数列的首项和公差/公比，注意项数对应关系（n=2k-1或n=2k） （25-26高三上·天津和平·期末）已知，数列满足，其中为常数，且有，正项等比数列满足.经典例题例题 (1)求数列与的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)在（2）的条件下，若对任意的，均有成立，求整数的取值集合. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的定义与通项关系可得的通项公式，利用等比数列的通项公式计算得公比的值，从而得数列的通项公式； （2）根据错位相减法或结合并项求和与分组求和法得数列的前项和为； （3）将已知不等式转化为，分别设，，利用数列单调性证明方法分别确定的单调性，从而得整数的取值集合. 【详解】（1）由已知，可得，所以，解得， 所以，则数列的奇数项与偶数项分别是公差的等差数列， 则，故， 所以 设等比数列公比为，由得，解得或， 因为正项数列，故，所以. （2），所以， （法一）因为， 故， 则， 所以， 两式相减有 整理得，即； （法二）设， 所以， 两式相减得 则， 设， 所以， 两式相减得， 则， 所以； （3）由可得， 设， 易知，有， 故函数单调递增，又，所以， 设， 易知函数单调递减，，，故， 验证与16均符合题意，所以，整数的取值集合为. （2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得、，再借助等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由，则， 由，则，故， 则、、、， 则. 故选：A. （24-25高二下·四川成都·月考）已知数列的前项和为，，，，则满足 的正整数的所有取值集合为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】按奇偶分析数列的特征，利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前项和公式求出，再借助单调性求得答案. 【详解】当为奇数时，，即数列中的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列； 当为偶数时，，即数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， 显然数列中的每一项均为正整数，则数列为递增数列， 当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 而，， ，， 所以满足的正整数的所有取值集合为. 故答案为： 【热点题型3：连续两项和/积型（奇偶关联型）】 【核心归纳】 识别特征：递推式为或，相邻奇偶项存在明确关联 核心方法： 1.递推相减法（和型）：当为常数或等差数列时，用替换n得新递推式，两式相减消去偶/奇数项 2.递推相除法（积型）：当为等比数列时，两式相除消去偶/奇数项，转化为隔项递推问题 操作要点：注意递推式的适用范围（n≥1或n≥2），避免首项遗漏 （2025·江苏苏州·三模）已知数列的前项和为，，，则 ．经典例题例题 【答案】24 【分析】先依题意计算，判断和均是等差数列，求得通项公式，再利用等差数列的求和公式分类计算即可. 【详解】因为，，所以，即. 又①， 则②， 由②-①，得， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，， 所以，， 所以 . 故答案为：24. 【多选题】（2026·广东·模拟预测）已知数列均为递增数列，它们的前项和分别为，且满足，，则下列结论正确的有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出与的取值范围，再分别求出数列与的前项和的表达式即可判断大小关系． 【详解】由是递增数列，得；又，所以， 所以，所以，故A正确； ，故B不正确； 由是递增数列，得，又， 由可得，即，解得，故C正确； 由，可得，则， 即数列和均为公比为的等比数列， 所以 ， 所以，又，所以， 而， 当时，； 当时，可验证， 所以对于任意的，都有，即，故D正确． 故选：ACD． 【多选题】（2026·河南郑州·模拟预测）已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ）小试牛刀2 A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 【热点题型4：分段定义型（奇偶独立型）】 【核心归纳】 识别特征：题目明确给出n为奇数/偶数时的不同递推关系或通项公式 核心方法： 1.分类求解法：按n的奇偶性分别求通项与前n项和 2.统一表达式法：用将分段通项合并为一个表达式（可选） 操作要点：求和时需区分n为奇数/偶数时的项数分布（奇数项k项，偶数项m项） 【多选题】（2026·江西·一模）已知数列满足，设，则（    ）经典例题例题 A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 【答案】AC 【分析】根据递推公式赋值计算即可判断A，B，推导出，利用等比数列即可判断C，利用分组求和即可判断D. 【详解】因， 对于A，B， ， ，可见，不满足，故B错误，A正确； 对于C，当时，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 其前项和为，故C正确； 对于D，记，同选项C分析方法可得，其前项和为， 所以，故D错误. 故选：AC. （2025·河北邢台·二模）已知数列满足，记．小试牛刀1 (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列定义证明，再分奇数偶数求出通项公式即可； （2）应用错位相减法计算再结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）因为 ， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ． 也符合上式． 综上所述， （2）由（1）得，则， 可得， 两式相碱，可得 ． 则． 因为， 所以为递增数列， 则， 所以． （2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．小试牛刀2 (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)10170. 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用等比数列定义推理得证. （2）由（1）求出通项公式. （3）由（2），利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）由，，得， 则，而， 所以数列是等比数列. （2）由（1）得，，所以数列的通项公式. （3）由（2）得，， . （2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，，数列满足．小试牛刀3 (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式及前n项和； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明； （2）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案； （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）， 所以数列为等差数列，首项为，公差为1. （2），. （3），， ， 两式相减可得 ； 所以. 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 【答案】C 【分析】通过将数列的前2025项和进行分组，根据相邻两项的规律，并项求出和. 【详解】设数列的前项和为，则. 可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组，还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推. 因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为. 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即. 故选：C. 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及递推关系得、，再依次写出，应用等比数列前n项和公式及余弦函数的周期性求值即可. 【详解】由，则，可得，且， 所以，，，，， 所以 . 故选：B 3．（2025·福建三明·三模）若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 【答案】A 【分析】由，可以得到奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，再由，利用合并项求出 【详解】由，则， 故奇数项成等差数列，偶数项成等差数列， 由，则，， 则， 故 . 故选：A 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列求和公式计算，再结合分组求和计算求解. 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 5．（2025·吉林·二模）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】A 【分析】利用给定条件结合分类讨论确定公差，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可. 【详解】设公差为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，， 此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前项和为， ，故A正确. 故选：A 二、多选题 6．（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B． C．若，则的最大值为1214 D．的前36项和为1226 【答案】AC 【分析】根据给定的递推公式，求出的表达式，再结合单调性及并项求和法逐一分析判断. 【详解】对于A，，数列是首项， 公差为5的等差数列，，A正确； 对于B，由选项A得， 数列均为递增数列，数列中除外，其它项均不为1，B错误； 对于C，由选项B得， 当时，，因此的最大值为1214，C正确； 对于D，由选项B得，因此数列的前36项和为 ，D错误. 故选：AC 7．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据递推式及，求得，即可判断A；分为奇数、为偶数，求出通项公式判断B，C；利用分组求和，求出，判断D． 【详解】已知， 因为，即， 所以，， 解得，故A正确； 由此可得，， ，， …… 所以当为奇数时，为偶数，为奇数， 所以 ，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以，所以， 所以，故B错误； 当为偶数时，为奇数，为偶数， 则 ，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 所以， 所以， 所以，故C错误； 对于D， = =，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：利用等比数列的通项公式时，要分为奇数、为偶数分别求解. 8．（24-25高三上·河北保定·期末）已知数列满足，，，为其前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求出的值，由可得，两式作差可得出，逐项计算可判断ABD选项，利用并项求和法可判断C选项. 【详解】在数列中，，， 当时，，则， 对任意的，由可得， 上述两个等式作差可得， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，可得，B错； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，， 因此，D对. 故选：ACD. 9．（2023·福建漳州·模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】直接由递推公式求出即可判断A选项；分为奇数或偶数即可判断B选项；分为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项. 【详解】对于A，，，，故A错误； 对于B，当为奇数时，为偶数，则，， 可得，当为偶数时，为奇数， 则，，可得，故B正确； 对于C，当为奇数且时，，，，，， 累加可得 ，时也符合； 当为偶数且时，，，，，， 累加可得 ，故，故C正确； 对于D，设数列的前项和为，则， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 三、解答题 10．（2025·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，满足：，，. (1)求，； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定的递推公式，按奇偶分类，结合等比数列、等差数列求出通项. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列、等差数列前项和公式求解. 【详解】（1）当为奇数时，，因此数列的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，， 当为偶数时，，因此数列的偶数项是首项为2，公差为2的等差数列，. （2） . 1 学科网（北京）股份有限公司 $