专题02 立方根（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

专题02 立方根（五大题型） 【题型1 求一个数的立方根】...................................................1 【题型2 已知一个数的立方根，求这个数】.......................................1 【题型3 与立方根有关的规律探索】.............................................1 【题型4 立方根的实际应用】...................................................2 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】.......................................3 【题型1 求一个数的立方根】 1．64的立方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 2．若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 3．若一个正方体的体积扩大9倍，则它的棱长要扩大的倍数是（   ） A．3 B． C． D． 【题型2 已知一个数的立方根，求这个数】 1．如果x的算术平方根是27，那么x的立方根是（   ） A． B．3 C．9 D． 2．若，则x的值是（   ） A． B．2 C． D． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【题型3 与立方根有关的规律探索】 1．若，，则x为（    ）． A．214 B． C．2140 D． 2．若，则的立方根是 ． 3．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 4．已知，那么（    ） A． B． C． D． 5．若，，则 ． 6．若，， ，则= ． 【题型4 立方根的实际应用】 1．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 2.如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 3．如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．4 B．2 C． D．8 4．如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分别为和，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（    ）． A．161 B．186 C．195 D．204 5．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是 ． 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】 1．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 2．已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 3．已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 4．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 5．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 1．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的平方根是（    ） A．3 B．－3 C．±2 D．±3 3．已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 4．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 5．一个正数的两个平方根分别是和，这个正数的立方根是 ． 6．若，则的立方根为： ． 7．已知a、b满足，则的值是 ． 8．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是 9．定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 立方根（五大题型） 【题型1 求一个数的立方根】...................................................1 【题型2 已知一个数的立方根，求这个数】.......................................2 【题型3 与立方根有关的规律探索】.............................................3 【题型4 立方根的实际应用】...................................................5 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】.......................................8 【题型1 求一个数的立方根】 1．64的立方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的定义，依据立方根的定义，找出立方等于64的数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴64的立方根是4， 故选：A． 2．若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零．根据非负数的性质，求出x和y的值，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为：． 故选：D． 3．若一个正方体的体积扩大9倍，则它的棱长要扩大的倍数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查立方根的运用，掌握体积的计算，立方根的计算是关键． 正方体的体积与棱长的立方成正比，体积扩大9倍，则棱长扩大倍． 【详解】解：设原棱长为a，原体积， ∵体积扩大9倍， ∴新体积， 又∵，其中为新棱长， ∴， ∴， ∴棱长扩大的倍数为， 故选：D． 【题型2 已知一个数的立方根，求这个数】 1．如果x的算术平方根是27，那么x的立方根是（   ） A． B．3 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键．根据算术平方根的定义可得x的值，再根据立方根的定义得出答案． 【详解】解：∵x的算术平方根是27， ∴， ∵， ∴x的立方根是． 故选：C． 2．若，则x的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程，根据立方根的性质求解即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据立方根的定义解方程，先化系数为1，然后根据立方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：B． 4．已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根的定义得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 【题型3 与立方根有关的规律探索】 1．若，，则x为（    ）． A．214 B． C．2140 D． 【答案】A 【分析】将变形为，结合已知等式即可求解． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解． 2．若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 3．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4．已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 5．若，，则 ． 【答案】47.4 【分析】本题考查了立方根的计算，算术平方根的计算等，熟知立方根的性质变形是解题的关键． 根据立方根的运算法则求出，接着求出，再计算的值即可． 【详解】， ， 又， ． 故答案为：47.4． 6．若，， ，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【题型4 立方根的实际应用】 1．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 2.如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根的实际应用，正方体的体积；设原正方体的棱长为，变化后的棱长为，得到原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为，根据题意得到，即可得出结论． 【详解】解：设原正方体的棱长为，变化后的棱长为， ∴原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为， ∵正方体的体积扩大到原来的9倍， ∴，即， ∴它的棱长扩大到原来的倍， 故选：A． 3．如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．4 B．2 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】由题意可得每个方块的体积为， 则其边长为 ， 故选：B． 4．如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分别为和，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（    ）． A．161 B．186 C．195 D．204 【答案】B 【分析】先求出大正方体和小正方体的棱长，再求出零件的表面积即可求解． 【详解】解：∵大正方体的体积为，小正方体的体积为， ∴大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， ∴大正方体的每个表面的面积为，小正方体的每个表面的面积为， ∴这个零件的表面积为：． ∴要给这个零件的表面刷上油漆，则所需刷油漆的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查立方根，表面积．理解题意是解题的关键． 5．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故答案为：． 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】 1．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； （2）解：， ， 的平方根是． 2．已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 3．已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，熟记相关定义即可． （1）平方根是，的立方根是3，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 的立方根是3， ， 将代入，解得； （2）解： ，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是 4．已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为9的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， ∴的平方根是． 5．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 1．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，积的乘方，立方根，根据相关知识判断各选项即可． 【详解】选项A： 表示算术平方根，值为2，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，则，符合题意； 故选D． 2．若，则的平方根是（    ） A．3 B．－3 C．±2 D．±3 【答案】D 【分析】先求方程 的根，得到 ，再计算 ，最后求 9 的平方根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的平方根为 ， 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是立方根和平方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律． 利用立方根的性质，将1510分解为，再分别求立方根后相乘． 【详解】解：∵ ， 又∵ ，， ∴ ． 故选：C． 4．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义． 先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求． 【详解】解：∵， ∴， ∵的算术平方根是， ∴． ∵的立方根是，， ∴． ∴． 故选B． 5．一个正数的两个平方根分别是和，这个正数的立方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根与立方根，熟记平方根与立方根的定义是解题关键． 一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求解a的值，再求正数，最后求立方根． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． 当时，平方根为和， 故正数为，立方根为． 故答案为：4． 6．若，则的立方根为： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值、立方根等知识点，掌握非负数的和为零则每个部分均为零是解题的关键． 先根据非负数的性质求得a和b的值，再求的立方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴且，解得 ，． ∴，即的立方根是2． 故答案为2． 7．已知a、b满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，求一个数的立方根等知识，根据算术平方根的非负性求出a的值，再代入求出b的值，然后计算的立方根． 【详解】解：由题意，和都有意义， 则且， 解得， 代入得 ， 所以 ， 故 ． 故答案为：． 8．已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 9．定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $