第03讲 二元一次方程组的应用（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦二元一次方程组的应用这一核心知识点，系统梳理从审题、设元、列解方程组到检验作答的完整解题步骤，明确找等量关系、统一单位等重点难点，搭建从方程组解法到实际问题解决的学习支架。 该资料以11类情境化题型（如分配问题、古代数学问题等）为载体，通过典例与变式训练，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型观念（数学语言）。例如镜架生产分配问题、《九章算术》购物问题，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

第03讲 二元一次方程组的应用 考点1：二元一次方程组的应用 重点： （1）会找两个等量关系 （2）会设未知数 （3）会列、会解方程组 （4）会写答句 难点★： （1） 找不准两个等量关系 （2）单位不统一 （3）看错 / 漏看条件 （4）不会把文字翻译成式子 知识点： 二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 2、 基本公式 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例1】完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【变式1】某车间为提高生产总量，在原有20名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． (1)求新调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个A零件或400个B零件，1个A零件和5个B零件刚好配套，为使每天生产的A零件和B零件刚好配套，应该安排生产A零件和B零件的工人各多少名？ 【变式2】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【变式3】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)填空：调入______名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产200个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【变式1】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 【变式2】郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 【变式3】水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【变式1】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【变式2】小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【变式3】周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【变式1】甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 【变式2】乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【变式3】某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 【变式1】在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【变式2】小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【变式3】如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车运送蔬菜，两种货车的载货情况如下表所示： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 54t 2辆 5辆 62t (1)求一辆中型车和一辆大型车分别满载时能运输蔬菜的吨数； (2)现计划一次性运送80吨蔬菜，且每辆车都必须满载． ①请你为该基地设计所有可行的租车方案； ②若中型车每辆租金为800元/次，大型车每辆租金为1200元/次，请你为该基地计算最少租车费用，并说明此时的租车方案． 【变式1】综合与实践 问题 如何设计购买奶茶方案？ 背景 为了庆祝“元旦节”，某班级开展知识竞赛活动，对在竞赛活动中取得优异成绩的学生给予奖励，准备去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元． 解决问题 任务1：问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2：如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花100元，请问有哪些购买方案？ 【变式2】商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润12万元．[利润（售价进价）销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进，两种设备，且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 【变式3】按照计划某校八年级360名师生要参加一天的研学活动，客车公司有三种车型可以供选择： 车型 座位数（个） 租金（元） 甲种 30 360 乙种 40 400 丙种 50 480 请帮老师解决下列问题： (1)学校计划租用两种车型，那么从人均成本最低的角度考虑，你认为学校应该选择哪两种车型，请说明理由． (2)现租用（1）中选择的两种车型，且每辆车的座位要求坐满，问是否存在这样的租车方案？若存在，则写出符合条件的租车方案，若不存在，请说明理由 (3)计算研学活动租车的最低费用． 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例7】某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【变式1】两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【变式2】一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【变式3】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数. 【题型8 二元一次方程组的应用-年龄问题】 【典例8】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【变式1】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【变式2】今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【变式3】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【题型9 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例9】某商场分两次购进A、B两种服装进行销售，由于物价上涨，第二次购进A、B两种服装的进价每件比第一次分别上涨了和，两次购进的数量和费用如下表所示． 购进数量（单位：件） 购进所需费用（单位：元） A种 B种 第一次 12 20 8400 第二次 15 10 6900 (1)求第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是多少元． (2)若同种服装的销售单价不变，第一次购进的服装完全卖完后获得利润2960元，第二次购进的服装完全卖完后获得利润1300元，求A、B两种服装每件的售价分别是多少元． 【变式1】某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，随后到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示： 品名 猕猴桃 芒果 批发价（元/千克） 20 40 零售价（元/千克） 26 50 (1)他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？ (2)如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？ 【变式2】魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【变式3】“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 (1)求，的值． (2)若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 【题型10 二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例10】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【变式1】《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【变式2】中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【变式3】我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，其大意是：现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 【题型11 二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例11】哈69中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛共进行10场）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 追光队 10 8 2 26 冲锋队 10 7 3 24 无限队 10 22 勇士队 10 5 5 20 飞虎队 10 4 6 18 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积______分，负一场积______分； (2)求无限队的胜场数和负场数； (3)已知小组赛的前两名追光队与冲锋队进入冠亚军总决赛，两队共比赛5场，且小组赛积分累计计入总决赛，那么冲锋队要在总决赛赢下几场，才能和追光队的积分持平？ 【变式1】（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【变式2】如图，长青化工厂与两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．公路运价为元，铁路运价为元，这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【变式3】综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 1．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买了多少件．设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，所列方程组正确的是（    ） A．B．C．D． 2．古代《张丘建算经》中有一个问题，意思是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多4倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等，甲乙两人各带了多少钱？如果设甲带的钱数为，乙带的钱数为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 4．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 5．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 6．小明新编描述孙悟空追妖精的数学诗考大家：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行八百，飞速多少才称雄？意思为：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃里，逆风返回时4分钟走了里．悟空飞行的速度是多少？若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（   ） A．B．C． D． 7．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为 ． 8．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是 ． 9．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 10．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 11．列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 12．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二元一次方程组的应用 考点1：二元一次方程组的应用 重点： （1）会找两个等量关系 （2）会设未知数 （3）会列、会解方程组 （4）会写答句 难点★： （1） 找不准两个等量关系 （2）单位不统一 （3）看错 / 漏看条件 （4）不会把文字翻译成式子 知识点： 二元一次方程的解题步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 2、 基本公式 【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】 【典例1】完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】【任务一】每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套； 【任务二】每副镜架的出厂价应定为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用和利润率的计算，关键是理解配套关系和利润率的公式． 任务一：根据“每副镜架由1个镜框和2个镜腿配套”，得到镜腿数量是镜框数量的2倍，据此列方程求解； 任务二：根据“利润率=利润÷成本”先算出利润，再由“出厂价成本利润”利用方程计算出厂价． 【详解】任务一： 解：设分配名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． ∵每副镜架需要1个镜框和2个镜腿， ∴镜腿的日产量应是镜框日产量的2倍， 可得方程， 解得， 则生产镜腿的工人数量为(名)． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套． 任务二： 解：设每副镜架的出厂价应定为元． 由题意，得，解得． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 【变式1】某车间为提高生产总量，在原有20名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人． (1)求新调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个A零件或400个B零件，1个A零件和5个B零件刚好配套，为使每天生产的A零件和B零件刚好配套，应该安排生产A零件和B零件的工人各多少名？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应安排7名工人生产A零件，21名工人生产B零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是新调入工人人数的3倍多4人”列方程求解即可； （2）设y名工人生产A零件，则名工人生产B零件，根据每天生产的A零件和B零件刚好配套列方程求解． 【详解】（1）解：设新调入x名工人， 根据题意得：， 解得， 答：新调入8名工人． （2）解：由（1）知，调入8名工人后，车间有工人名， 设y名工人生产A零件，则名工人生产B零件， 因为每天生产的A零件和B零件刚好配套， 所以， 解得， 所以， 答：应安排7名工人生产A零件，21名工人生产B零件． 【变式2】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 【变式3】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)填空：调入______名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产200个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1) (2)安排11名工人生产螺栓，11名工人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，由等量关系列出一元一次方程求解是解决问题的关键． （1）设调入工人名，由题意得求解即可得到答案； （2）由（1）知，车间工人总人数为名，设安排名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设调入工人名， 在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人， ， 解得， 故答案为：； （2）解：由（1）知，车间工人总人数为（名）， 设安排名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，由题意可得 ， 解得， 则（名）， 答：安排11名工人生产螺栓，11名工人生产螺母． 【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】 【典例2】为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 【变式1】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得出关于、的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于三阶幻方中心数的三倍， 则 解得， ，即， 解得， 因此， 故选：D． 【变式2】郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 【答案】(1)这两个旅游团共有112人 (2)甲旅游团有41人，乙旅游团有71人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和方程组，注意分情况讨论． （1）设这两个旅游团共有m人，分和两种情况，列出关于m的一元一次方程，解之取其正整数即可得出结论； （2）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分和两种情况，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个旅游团共有m人， 当时，有， 解得：（不为整数，舍去）； 当时，有， 解得：， 答：这两个旅游团共有112人； （2）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 当时，有， 方程组无解； 当时，有， 解得：． 答：甲旅游团有41人，乙旅游团有71人． 【变式3】水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】 【典例3】一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 【变式1】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 【变式2】小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 【变式3】周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 【答案】小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，根据题意可得，再解方程组即可． 【详解】解：设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，则 ， 解得， 答：小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒． 【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】 【典例4】修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 【变式1】甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 【答案】原计划甲工厂每天加工，乙工厂每天加工． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目已知条件将二元一次方程列出并求解是解决本题的关键． 先设出甲乙加工的千克数，根据甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成可列第一个方程，再由已知条件可列第二个方程，根据二元一次方程组的求法求解即可． 【详解】解：设甲工厂原计划每天加工，乙工厂原计划每天施工， 因为甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成， 所以， 又因为甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了， 所以， 即，解得：， 答：原计划甲工厂每天加工180kg，乙工厂每天加工． 【变式2】乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【答案】甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 【分析】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了y天，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了天， 根据题意得 解得， 答：甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天． 【变式3】某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 【答案】工程队清理了河道，工程队清理了河道 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组． 先设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道，根据题意列出方程组求解，再求，工程队分别清理了的河道长度． 【详解】解：设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道， 则，解得：， ∴工程队清理了（）河道， 工程队清理了（）河道， 答：工程队清理了河道，工程队清理了河道． 【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】 【典例5】如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少?（用方程组的知识解答） 【答案】每个小长方形的是，宽是． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每个小长方形的长为，宽为，根据图形列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 答：每个小长方形的长是，宽是． 【变式1】在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 【变式2】小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（）设每个长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组解答即可求解； （）根据（）解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， 答：每个小长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴图（）正方形的边长为． 【变式3】如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】一个小长方形的长与宽分别是16，5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解决本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，再根据图象列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图象可得，， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为， ∴一个小长方形的长与宽分别是16，5． 【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】 【典例6】某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车运送蔬菜，两种货车的载货情况如下表所示： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 54t 2辆 5辆 62t (1)求一辆中型车和一辆大型车分别满载时能运输蔬菜的吨数； (2)现计划一次性运送80吨蔬菜，且每辆车都必须满载． ①请你为该基地设计所有可行的租车方案； ②若中型车每辆租金为800元/次，大型车每辆租金为1200元/次，请你为该基地计算最少租车费用，并说明此时的租车方案． 【答案】(1)一辆中型车载货6吨，一辆大型车载货10吨 (2)①方案一：租用中型车0辆，大型车8辆；方案二：租用中型车5辆，大型车5辆；方案三：租用中型车10辆，大型车2辆；②最少费用9600元，方案为租中型车0辆，租用大型车8辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一辆中型车载货吨，一辆大型车载货吨，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）①设租用中型车辆，大型车辆，，根据题意，列出方程，结合，为非负整数，即可求解；②求出①中三种方案的租车费用，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆中型车载货吨，一辆大型车载货吨，根据题意得： ， 解得， 答：一辆中型车载货6吨，一辆大型车载货10吨． （2）解：①设租用中型车辆，大型车辆，根据题意得： ， 即， ∵，为非负整数， ∴，，中型车不租，大型车8辆； ，，租用中型车5辆，大型车5辆； ，，租用中型车10辆，大型车2辆； 综上所述，方案一：中型车0辆，租用大型车8辆；方案二：租用中型车5辆，大型车5辆；方案三：租用中型车10辆，大型车2辆； ②根据题意得：租车费用为元 方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：（元）； ∵， ∴最少费用9600元，此时租车方案为租中型车0辆，租用大型车8辆． 【变式1】综合与实践 问题 如何设计购买奶茶方案？ 背景 为了庆祝“元旦节”，某班级开展知识竞赛活动，对在竞赛活动中取得优异成绩的学生给予奖励，准备去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元． 解决问题 任务1：问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2：如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花100元，请问有哪些购买方案？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价为12元，B款奶茶的销售单价为8元；任务2：一共有4种购买方案：方案一，购买A款奶茶1杯，购买B款奶茶11杯；方案二，购买A款奶茶3杯，购买B款奶茶8杯；方案三，购买A款奶茶5杯，购买B款奶茶5杯；方案四，购买A款奶茶7杯，购买B款奶茶2杯． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元，根据买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元建立方程组求解即可； （2）设购买A款奶茶a杯，购买B款奶茶b杯，根据刚好花100元建立方程，解方程求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：任务1：设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元， 由题意得， ， 解得， 答：A款奶茶的销售单价为12元，B款奶茶的销售单价为8元； 任务2：设购买A款奶茶a杯，购买B款奶茶b杯， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴必须是大于0的偶数， ∴a必须是奇数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意； 答：一共有4种购买方案：方案一，购买A款奶茶1杯，购买B款奶茶11杯；方案二，购买A款奶茶3杯，购买B款奶茶8杯；方案三，购买A款奶茶5杯，购买B款奶茶5杯；方案四，购买A款奶茶7杯，购买B款奶茶2杯． 【变式2】商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润12万元．[利润（售价进价）销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进，两种设备，且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 【答案】(1)该商场计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套 (2)①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套；②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套；获利最高的方案是方案② 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． （1）设该商场计划购进种品牌的教学设备套，购进种品牌的教学设备套，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设种品牌的教学设备购进数量套，种品牌的教学设备购进数量套，根据题意可得，由于、都为正整数，则有2种方案，①购进品牌的教学设备2套，购进品牌的教学设备10套或②购进品牌的教学设备6套，购进品牌的教学设备5套，比较哪种方案获利最高即可． 【详解】（1）解：设该商场计划购进种品牌的教学设备套，购进种品牌的教学设备套， 根据题意得： 解得： 答：该商场计划购进种品牌的教学设备20套，购进种品牌的教学设备30套； （2）解：设种品牌的教学设备购进数量套，种品牌的教学设备购进数量套，根据题意得： 、都为正整数， 或 有2种方案 ①购进品牌的教学设备2套，购进品牌的教学设备10套， 获利：万元； ②购进品牌的教学设备6套，购进品牌的教学设备5套， 获利：万元， ， 获利最高的方案是购进品牌6套，品牌5套． 【变式3】按照计划某校八年级360名师生要参加一天的研学活动，客车公司有三种车型可以供选择： 车型 座位数（个） 租金（元） 甲种 30 360 乙种 40 400 丙种 50 480 请帮老师解决下列问题： (1)学校计划租用两种车型，那么从人均成本最低的角度考虑，你认为学校应该选择哪两种车型，请说明理由． (2)现租用（1）中选择的两种车型，且每辆车的座位要求坐满，问是否存在这样的租车方案？若存在，则写出符合条件的租车方案，若不存在，请说明理由 (3)计算研学活动租车的最低费用． 【答案】(1)乙丙 (2)存在，租车方案为租用乙种车4辆，丙种车4辆 (3)3520元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）先计算三种车型的人均成本，人均成本越低，整体租车的人均花费越少，因此选择人均成本较低的两种车型即可； （2）设租用乙种车x辆，丙种车y辆，由题意得：，若方程有正整数解，则存在租车方案，否则不存在； （3）先比较各车型的单位座位成本，优先选择单位座位成本低的车型，列举所有可行的租车方案并计算费用，通过比较得出最低费用． 【详解】（1）解：租用乙丙两种车型； 租用甲种车型，人均需要（元），租用乙种车型，人均需要（元），租用丙种车型，人均需要（元）， 由于，则乙丙两种车型的人均成本最低， 答：从人均成本最低的角度考虑，学校应该选择乙丙两种车型． （2）解：存在； 设租用乙种车x辆，丙种车y辆， 由题意得：， 则， 由于x、y都为正整数， 则只能取4的倍数， 当时，，当时，为负数， 答：租车方案为租用乙种车4辆，丙种车4辆． （3）解：由（1）知，，丙种车的人均成本最低， 优先考虑人均成本低的车型，所租的车尽量坐满： 方案一：由（2）知租用乙种车4辆，丙种车4辆，租车费用为（元）； 方案二：租用9辆乙种车，总费用为（元）； 方案三：租用6辆丙种车，2辆甲种车，总费用为（元）； ∵， ∴租车的最低费用为3520元； 答：研学活动租车的最低费用为3520元． 【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】 【典例7】某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45． (1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数； (2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组． 【答案】(1)原来的两位数为； (2)，检验见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设原来的两位数的十位数字为，个位数字为，根据“把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据“十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于的二元一次方程组，再代入值，验证即可． 【详解】（1）解：设原来的两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得： ， 解得：， ， ∴原来的两位数为； （2）解：依题意，得： ， 由（1）知， ∴， ∴是方程组的解， ∴（1）中求得的结果满足所列的方程组． 【变式1】两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②和的和是5050，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设较大的两位数为，较小的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20． 【变式2】一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位数字比个位数字大2得到方程，根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为． 【变式3】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数. 【答案】这个两位数是为34． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解． 【详解】解：设个位数为x，十位数为y，由题意得： ， 解得：． 所以，原来的两位数是为34． 答：原来的两位数是为34． 【题型8 二元一次方程组的应用-年龄问题】 【典例8】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【变式1】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 【变式2】今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【变式3】5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 【题型9 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 【典例9】某商场分两次购进A、B两种服装进行销售，由于物价上涨，第二次购进A、B两种服装的进价每件比第一次分别上涨了和，两次购进的数量和费用如下表所示． 购进数量（单位：件） 购进所需费用（单位：元） A种 B种 第一次 12 20 8400 第二次 15 10 6900 (1)求第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是多少元． (2)若同种服装的销售单价不变，第一次购进的服装完全卖完后获得利润2960元，第二次购进的服装完全卖完后获得利润1300元，求A、B两种服装每件的售价分别是多少元． 【答案】(1)200元和300元 (2)280元和400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用： （1）设第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是x元 ， y元，根据题意列方程组，即可求解； （2）设A、B两种服装每件的售价分别是a元，b元，根据题意列方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是x元 ， y元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是200元和300元． （2）解：设A、B两种服装每件的售价分别是a元，b元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：A、B两种服装每件的售价分别是280元和400元． 【变式1】某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，随后到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示： 品名 猕猴桃 芒果 批发价（元/千克） 20 40 零售价（元/千克） 26 50 (1)他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？ (2)如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？ 【答案】(1)购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克 (2)能赚420元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设购进猕猴桃x千克，购进芒果y千克，由总价单价数量结合老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据利润销售收入成本，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购进猕猴桃千克，购进芒果千克， 根据题意得：， 解得：， 答：购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克． （2）解：（元）． 答：如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚 420 元钱． 【变式2】魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用1800元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的3倍，魔方、数独棋的进价和标价如表： 魔方 数独棋 进价（元/个） 5 30 标价（元/个） 12 50 (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的八折出售，数独棋按标价的七五折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)该商店购进魔方120个，数独棋40个 (2)852元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）及题意可直接列式进行求解． 【详解】（1）解：设该商店购进魔方x个，数独棋y个，由题意得： 根据题意得， 解得； 答：该商店购进魔方120个，数独棋40个． （2）解：由题意得： （元） 答：该商店共获利852元． 【变式3】“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有，两种规格的自行车，型车的利润为元/辆，型车的利润为元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下： 型车销售量（辆） 型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 (1)求，的值． (2)若第三周某天型车和型车的总利润为680元，请问这天型车和型车各卖出了多少辆． 【答案】(1) (2)这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，读懂题意正确列方程是关键． （1）根据第一周和第二周总利润列方程组并解方程即可； （2）根据总利润为680元列二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）设这天型车和型车分别卖出了辆、辆， 根据题意得， 整理得， 解得或或， 所以这天型车和型车分别卖出了7辆、1辆或4辆、3辆或1辆、5辆． 【题型10 二元一次方程组的应用-古代问题】 【典例10】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？请利用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】有5人，物价为28钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设有x人，物价为y钱，根据“每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱”列出方程组并求解． 【详解】解：设有x人，物价为y钱， 由题意可得，， 解得． 答：有5人，物价为28钱． 【变式1】《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【答案】甲有钱 ，乙有钱25 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出等量关系是解题的关键． 设甲有钱x，乙有钱y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲有钱x，乙有钱y， 由题意得： 解得： 答：甲有钱 乙有钱25． 【变式2】中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【答案】大和尚人，小和尚人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设大和尚人，小和尚人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列方程组求解即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 由题意得：，解得：， 答：大和尚人，小和尚人． 【变式3】我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，其大意是：现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 【答案】鸡有只，兔有只，解答见解析． 【分析】设鸡有只，兔有只，由题意：从上面数共有个头，从下面数共有只脚，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 解得：， 答：鸡有只，兔有只． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型11 二元一次方程组的应用-其他问题】 【典例11】哈69中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛共进行10场）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 追光队 10 8 2 26 冲锋队 10 7 3 24 无限队 10 22 勇士队 10 5 5 20 飞虎队 10 4 6 18 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积______分，负一场积______分； (2)求无限队的胜场数和负场数； (3)已知小组赛的前两名追光队与冲锋队进入冠亚军总决赛，两队共比赛5场，且小组赛积分累计计入总决赛，那么冲锋队要在总决赛赢下几场，才能和追光队的积分持平？ 【答案】(1)，； (2)无限队的胜场数为场，负场数为场； (3)冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设胜一场积分，负一场积分，根据勇士队和超越队的积分列二元一次方程组求解即可； （2）设无限队的胜场数为场，则负场数为场，根据无限队积分为22分列一元一次方程求解即可； （3）设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 由题意得：，解得：， 即胜一场积分，负一场积分， 故答案为：，； （2）解：设无限队的胜场数为场，则负场数为场， 由题意得：， 解得：， ， 答：无限队的胜场数为场，负场数为场； （3）解：设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平， 由题意得：， 解得：， 答：冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平． 【点睛】， 【变式1】（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)2，3 (2)应放入大球6 个，小球4 个 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键． （1）水面升高量除以球的个数即可求解； （2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：， ； 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 解得：， 答：应放入大球6个，小球4个． 【变式2】如图，长青化工厂与两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．公路运价为元，铁路运价为元，这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原料，产品，根据题意列出方程组求出的值，再求出这批产品的销售款和原料费，最后列式计算即可求解，根据题意求出原料和产品的重量是解题的关键． 【详解】解：设原料，产品， 由题意得，， 解得， ∴原料，产品， ∴这批产品的销售款为元，原料费为元， 又∵运输费为元， ∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多元． 【变式3】综合与实践： 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码． 任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． 素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡． 任务2：求这个矿泉水瓶的质量． 素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡． 任务3：请描述右侧支撑点的移动过程． 温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量） 【答案】任务1：；任务2：这个矿泉水瓶的质量是10克；任务3：支撑点向左平移 【分析】二元一次方程组的应用； 任务1：依据题意，由左盘砝码质量右盘物体质量，进而列式计算可以得解； 任务2：依据题意，设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克，根据素材2可列方程组，计算即可得解； 任务3：依据题意，由左盘量码质量右盘物体质量，矿泉水瓶水的质量，可得，进而计算可以得解． 【详解】解：任务1： 左盘砝码质量右盘物体质量， 解得． 所以的长为． 任务2： 设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克；根据素材2可列方程组： ， 解得． 答：这个矿泉水瓶的质量是10克． 任务3： 左盘砝码质量右盘物体质量；矿泉水瓶水的质量， ． 解得：． ，所以支撑点向左平移． 1．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买了多少件．设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，所列方程组正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系建立方程组的方法是解题的关键． 根据“甲、乙奖品总数”和“购买奖品的总花费”这两个等量关系，列出对应的二元一次方程组，再判断选项． 【详解】解：设购买甲种奖品件，乙种奖品件． 由题意可得． 故选：A． 2．古代《张丘建算经》中有一个问题，意思是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多4倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等，甲乙两人各带了多少钱？如果设甲带的钱数为，乙带的钱数为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，根据题意列出方程组是解题关键．设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据题意，甲得到乙的10钱后，甲的钱数是乙剩余钱数的5倍；乙得到甲的10钱后，两人钱数相等，由此列出方程组． 【详解】解：设甲带钱数为，乙带钱数为． ∵甲得到乙的10钱后，甲的钱数为，乙的钱数为，且甲的钱数比乙剩余的钱数多4倍，即甲的钱数是乙剩余钱数的5倍， ∴． ∵乙得到甲的10钱后，乙的钱数为，甲的钱数为，且两人钱数相等， ∴，即． ∴方程组为． 故选：D． 3．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：， 解得：． 故小长方形的长为，宽为， ∴． 故选：D． 4．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 5．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得：， 解得：， ∴10个碗叠成一列高度为， 即将10个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有． 故选：C． 6．小明新编描述孙悟空追妖精的数学诗考大家：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行八百，飞速多少才称雄？意思为：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃里，逆风返回时4分钟走了里．悟空飞行的速度是多少？若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃里，逆风返回时4分钟走了里，列出方程组即可． 【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟， 则可列方程组为：； 故选：D． 7．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了古代问题(二元一次方程组的应用)，根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据题意，总酒量为5斗，总谷子消耗为30斗，清酒每斗值10斗谷子，醑酒每斗值3斗谷子，设醑酒斗，清酒斗，即可列出方程组． 【详解】解：设醑酒斗，清酒斗， ∵总酒量为5斗， ∴， ∵清酒每斗值10斗谷子，醑酒每斗值3斗谷子，总谷子消耗为30斗， ∴， ∴可列出方程组为． 故答案为：． 8．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是 ． 【答案】34 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设十位数字为x，个位数字为y，根据数字之和为7及新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字建立方程组求解即可． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得， 解得， ∴这个两位数是34， 故答案为：34． 9．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 【答案】100元、150元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元，根据第一次和第二次购进的费用列出二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元， 根据题意，得方程组： 解得： 故第一次购进A种茶每盒100元，B种茶每盒150元， 故答案为：元，元． 10．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1) 种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． (2) 共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， ∴种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 11．列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 【答案】(1)胜1场积分2分，负1场积分1分 (2)这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）理解题意，先设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分，再结合表格前进队，光明队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，先设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场，再结合表格雄鹰队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分， 则根据前进队，光明队的比赛积分情况，得， 解得， 即这次比赛中胜1场积分2分，负1场积分1分， （2）解：设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场， 依题意，得， 解得， ∴这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 12．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元 (2)方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆；方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆；方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆 (3)购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据题意列出方程，得出，结合是整数，得出是5的倍数，且，再列举出所有符合题意的值，即可解答； （3）结合（2）中的购买方案，计算每一种方案的获利，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元， 由题意得，， 解得：， 答：A型汽车每辆进价为25万元，B型汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆， 由题意得，， 整理得，， 是整数， 是5的倍数，且， ， 当，， 当，， 当，， 购买方案有3种，分别是： 方案一：购买A型汽车6辆，B型汽车3辆； 方案二：购买A型汽车4辆，B型汽车8辆； 方案三：购买A型汽车2辆，B型汽车13辆； （3）解：方案一获利：（元）， 方案二获利：（元）， 方案三获利：（元）， ， 购买A型汽车2辆，B型汽车13辆的方案获利最大，最大利润是94000元． 学科网（北京）股份有限公司 $