精品解析：四川省达州市大竹县2025年秋季义务教育质量监测九年级数学试卷

大竹县2025年秋季义务教育质量监测 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．本大题共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 由景德镇创作的“春碗”亮相2025年春晚，“春碗”不仅是一件精美的陶瓷艺术品，更是春节文化传承与创新的生动见证，其包含的青花瓷元素更是景德镇四大传统名瓷之一．如图为一个青花瓷碗，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的轮廓线都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看可得两个同心圆，看不到的用虚线表示． 故选：C． 2. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解. 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴ 估计袋中红球个数为6， 故选：D 3. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出． 由点在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， A、； B、； C、； D、； 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 4. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：D． 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解题意是解决本题的关键． 由题意可得，则，把，代入求解即可． 【详解】解：∵交点C恰好是线段的黄金分割点， ∴， ， ∵， ， ， 或（舍去）． 故选：A． 6. 如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为，宽为，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是，若设空白边的宽度为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据照片的长、宽及空白边的宽度，可得出图案部分的长为，宽为，结合图案部分的面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设空白边的宽度为，根据题意得：． 故选：D． 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 开口方向向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的图象、对称轴、顶点坐标、增减性逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵抛物线中， ∴抛物线开口方向向下，则此项正确； B、抛物线的对称轴是直线，则此项正确； C、抛物线顶点坐标为，则此项错误； D、∵抛物线的开口方向向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大，则此项正确； 故选：C． 8. 如图，在中，，，分别是边AB、AC上的高线，连接，那么和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高，可得∠ABE=∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，由∠A是公共角，即可证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形周长比等于相似比即可得答案. 【详解】∵∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高， ∴∠ABE=∠ACD=30°， ∴， ∵∠A为△ADE和△ACB的公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴△ADE与△ACB的相似比为， ∴和的周长之比=. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键. 9. 设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 3或 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为(　　)． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，，由勾股定理得，进而得，设，则，根据勾股定理，列出方程，求出x的值，即可得到答案． 【详解】∵四边形为矩形，∴，． ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， ∵在中，， ∴， 设，则， ∵在中， ， ∴，解得：， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查矩形中折叠的性质以及勾股定理和正弦三角函数的定义，掌握勾股定理，列方程，是解题的关键． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若x＝3y（y≠0），则＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用比例的性质变形求出答案． 【详解】解：∵x＝3y（y≠0）， ∴＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 12. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 13. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， 解得， ∴米， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为_______________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求，根据菱形面积对角线积的一半即可． 【详解】解：是菱形， ∴， ， ∴ 为直角三角形 ． ， 故答案为：24． 15. 如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，过点作于点，于点，则有四边形是矩形，所以，根据等腰三角形可得，由，即有，设，，由勾股定理可知，，从而得出，，，，然后用待定系数法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， 由勾股定理可知，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设点，则， ∵反比例函数的图象经过点，交于点， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算有理数的乘方，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∴或 解得，． 17. 2024年巴黎奥运会上，王楚钦、孙颖莎战胜韩国队，夺得中国乒乓球历史上首枚混双金牌；郑钦文战胜克罗地亚选手，夺得我国首枚奥运会网球女单金牌，潘展乐男子100米自由泳游出46秒40，打破世界纪录的同时赢得冠军……他们无一不淋漓尽致地展现了中国体育健儿的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）100；图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识， （1）根据篮球的人数除以所占的百分比得出本次被调查的学生人数，即可解决问题； （2）用乘以选择羽毛球的学生所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可； 熟练掌握用树状图法求概率并能灵活运用扇形统计图和条形统计图的关联信息是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生人数为（人）． 选择“足球”的人数为（人）． 故答案为：100； 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 18. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以原点为位似中心，在第一象限画一个与位似，相似比为2； （2）若点坐标为，点坐标为．则点对应的点的坐标为__________；点对应的点的坐标为__________． 【答案】（1）画图见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是根据位似变换的定义作出变换后的对应点； （1）延长到使得，延长到使得，连接，则即为所求； （2）根据网格图写出、的坐标即可. 【小问1详解】 解：以原点为位似中心，相似比为2， 延长到使得，延长到使得，连接，则即为所求， 【小问2详解】 解：由网格图可知：，. 故答案为：，. 19. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角，解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据教学楼门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）作于，根据矩形的性质得到，，设，则，可证得，则，根据列方程求解得到答案． 【详解】解：教学楼门前台阶斜坡的坡比为，为， ， ， 即台阶的高度为； 如图所示，作于， 由题意得，四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 20. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定、菱形的性质、平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质并能灵活运用． （1）首先证明，证出四边形是平行四边形，然后结合，即可证明四边形是矩形． （2）如图，连接，首先证明，得出四边形是平行四边形，即可解决问题． 【小问1详解】 四边形是菱形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 如图，连接 四边形是菱形 ∴ 四边形是矩形 ∴四边形是平行四边形 与互相平分 ∴． 21. 根据以下素材，探索完成任务： 背景 今年春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】任务1：；任务2：元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（平均增长率问题、利润问题），熟练掌握一元二次方程的列法与解法是解题的关键． 任务1：根据平均增长率的公式，设出日平均增长率，利用正月初一和正月初三的票房收入列出方程求解． 任务2：设下调后的售价，根据利润公式（利润=单个利润×销售量）列出方程，再结合减少库存的要求确定最终售价． 【详解】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为． ， ， ， 解得，（舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率是； 任务2：设下调后每个手办售价为元，则单个利润为元，每天销售量为个． ， ， ， ， ， 解得，． ∵要尽可能减少库存，售价越低销售量越大， ∴选择， 答：每个手办的售价为元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围，即可解决问题； （3）首先求出的面积，从而知道的面积，然后根据，求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ， ∴反比例函数， 把的坐标代入，得到， 解得 ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将代入，得到 解得 观察图象，可知当或，的图象在上方， 那么不等式的解集：或． 【小问3详解】 解：连接，，如图所示： 当代入，得到， ， 的面积等于面积的2倍，点是轴上一点， ∴， ， ∴点坐标为：或． 23. 如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． （1）若，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据可证，，根据比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解； （2）连接，由已知可证四边形为平行四边形，根据平行线分线段成比例定理可知 ，，则，则题目可证． 【小问1详解】 解：， 设，，则， ， ， ， ， 则，且， ， ， ， ，， ， ， 的长为． 【小问2详解】 证明：连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点． （1）求二次函数的解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； （3）抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为； （2）点的坐标为； （3）存在，点坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为； （2）设点，则点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案； （3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；②当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；③当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案． 【小问1详解】 解：将 分别代入， 得，解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图1，设点，则， ． 联立一次函数与二次函数的表达式，得， 解得或， ． ∵，且， ∴当时，取得最大值， 把代入，得， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的顶点为． 由（1）知， 如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时， 设，分三种情况： ①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ∴； ②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ； ③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合， ， 解得， ． 综上，点 的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题． 25. 综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点．证明为等边三角形．得．，进而证明．得．从而即可得解； （2）过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P；由平行线性质得，从而；由正方形性质证明，则有；再证明，则；由已知易得四边形是平行四边形，则有，从而求得；设，则，在中由勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求得． （3）线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．由问题情境可得，则．，证是等腰直角三角形．进而得从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接， 则．设与交于点． ． ． ∵四边形为菱形， ． ， 为等边三角形． ．， ． ． ∵， ． ． ； （2）解：如图，过D作交于Q，连接；过D作交延长线于P； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 中，， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 在中，由勾股定理得； （）解：的最小值为． 如图，线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则． 由问题情境可得， ∴． ， ． 由勾股定理，得 ∵，， 是等腰直角三角形． ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的性质，等边三角形的判定及性质，两点之间线段最短，正方形的判定及性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大竹县2025年秋季义务教育质量监测 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟；满分：150分） 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．本大题共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 由景德镇创作的“春碗”亮相2025年春晚，“春碗”不仅是一件精美的陶瓷艺术品，更是春节文化传承与创新的生动见证，其包含的青花瓷元素更是景德镇四大传统名瓷之一．如图为一个青花瓷碗，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（ ） A B. C. D. 4. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A B. C. D. 6. 如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为，宽为，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是，若设空白边的宽度为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 开口方向向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 8. 如图，在中，，，分别是边AB、AC上的高线，连接，那么和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 9. 设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A 1 B. C. 3或 D. 1或 10. 如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为(　　)． A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若x＝3y（y≠0），则＝_____． 12. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_________． 13. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为_______________． 15. 如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点，若，则的值是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 2024年巴黎奥运会上，王楚钦、孙颖莎战胜韩国队，夺得中国乒乓球历史上首枚混双金牌；郑钦文战胜克罗地亚选手，夺得我国首枚奥运会网球女单金牌，潘展乐男子100米自由泳游出46秒40，打破世界纪录的同时赢得冠军……他们无一不淋漓尽致地展现了中国体育健儿的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙同学同时被选中的概率． 18. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以原点为位似中心，在第一象限画一个与位似，相似比为2； （2）若点坐标为，点坐标为．则点对应的点的坐标为__________；点对应的点的坐标为__________． 19. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 20. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）求证：． 21. 根据以下素材，探索完成任务： 背景 今年春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 23. 如图，在中，，点P是BC边的一点，，且，连接DP并延长，交AC于E，交BA的延长线于F． （1）若，，求的长； （2）求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点． （1）求二次函数的解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； （3）抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 25. 综合与探究 【问题情境】：数学活动课上，小明同学对正方形作如下探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，连接，过点F作的垂线，交边于点G上，他发现之间的存在着一定的数量关系．小明将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到． 【尝试初探】： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】： （2）如图3，在正形中，点E在边上，M，N分别在边上，连接，若，求线段的长． 【拓展探究】： （3）如图4，在正方形中，点E，F分别在边上，过点F作于点H，交边于点G，连接．若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $