9.3 公式法(2)---完全平方公式学案2025-2026学年苏科版八年级数学下册

盐城市北蒋实验学校八年级数学导学活动单 八年级数学·下册· 第9章 · 因式分解 9.3 公式法(2)---完全平方公式 【学习目标】 1、正确理解完全平方公式的意义，弄清公式的形式和特征，会运用完全平方公式分解因式； 2、能利用完全平方公式解决简单的实际问题. 【学习重点】能利用完全平方公式把多项式分解因式. 【学习难点】灵活运用完全平方公式分解因式. 【学习过程】 一、旧知复习： 1、什么叫作多项式的因式分解？它与整式的乘法有什么区别和联系？ 2、平方差公式的内容是什么？ 3、用平方差公式把下列多项式分解因式： (1)x2144= ； (2)9a225b2= ；(2)x2y2= ； 二、探索活动 1、探索活动一 (1)在括号内填上适当的式子，使等式成立． ①(a＋b)2＝（ ）； ②(a－b)2＝（ ）； ③a2＋（ ）＋1＝(a＋1)2 ④a2－（ ）＋1＝(a－1)2 (2)第(1)、(2)两式从左到右是什么变形？第(3)、(4)两式从左到右是什么变形？ 2、探索活动二 (1)把乘法公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2反过来，就得到: a2＋2ab＋b2＝ ，a2－2ab＋b2＝ . (2)下列各式中，哪些能运用完全平方公式进行分解因式？哪些不能？为什么？ ①m2mn+n2； ②x22xyy2； ③4a220a+25； ④x2+8x+4; ⑤36a212ab+b2． 3、探索活动三 (1)思考：能用完全平方公式分解的多项式都有什么特征？请指出探索活动二(2)中的公式中的a、b分别是什么？分解的结果是什么？ (2)不能用完全平方公式分解的，如何改动一处就能运用完全平方公式进行因式分解？ 4、归纳： 能用完全平方公式分解因式的多项式的特征是： (1)该多项式有三项； (2)有两项可以写成平方的形式，并且符号相同； (3)第三项可以写成这两个数的积的两倍. 5、尝试练习：填空： ①a2+8a+16=a2+2•( )( )+( )2=( )2; ②a2－8a+16=a2－2•( )( )+( )2=( )2; ③a2+( )+4b2=a2+2•( )( )+( )2=( )2; ④a2－4a+( )=a2－2•( )( )+( )2=( )2; 三、例题讲解 1、讲解例4(书本第112页例4)：把下列各式分解因式： (1)x2+10x+25； (2)4a236ab+81b2； (3) –x2－4y2＋4xy； (4) 2、尝试练习(书本第113页练习)： (1)下列多项式能否分解因式？如果能，把它们分解因式： ①a2+8a+16； ②9a23a+1； ③a21； ④a2ab+b2； (2)把下列各式分解因式： ①25 x2＋10xy＋y2 ②a2－12ab＋36b2 ③x2x+ ④16a4+24a2b29b4 3、讲解例5(书本第112页例5)：把下列各式分解因式： (1)25a4+10a2+1； (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4； (3)(x－y)2－6(y－x)+9； (4)(x－1)(x－5)+4 4、尝试练习(书本第113页练习2)：把下列各式分解因式： (1)(x+y)10(x+y)+25； (2)9(p+q)2+12(p+q)+4； (3)(2v－w)2+10(w－2v)+25； (4)(3a+1)(3a-5)+9. 5、探究：有两张边长分别为a，b的正方形纸片，两张长、宽分别为a，b的矩形纸片. 你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗？ 6、尝试练习：已知a≠b，比较a2+b2与2ab的大小，并说明理由. 四、课堂小结： 1、完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 2、运用完全平方公式给多项式分解因式时的注意点. 五、当堂练习： 把下列各式分解因式： (1)a2b2－2ab+1； (2)9－12a+4a2； (3)4x2+4x+1； (4)x2－6xy+9y2; (5)(a+b)2+6(a+b)+9； (6)16－24(x－y)+9(x－y)2； (7)a2－2a(b+c)+(b+c)2； (8)4x2－4x(y－1)+(y－1)2; 9.3 公式法(2)---完全平方公式（答案） 【学习目标】 1、正确理解完全平方公式的意义，弄清公式的形式和特征，会运用完全平方公式分解因式； 2、能利用完全平方公式解决简单的实际问题. 【学习重点】能利用完全平方公式把多项式分解因式. 【学习难点】灵活运用完全平方公式分解因式. 【学习过程】 一、旧知复习： 1、什么叫作多项式的因式分解？它与整式的乘法有什么区别和联系？ 2、平方差公式的内容是什么？ 3、用平方差公式把下列多项式分解因式： (1)x2144= (x+12)(x－12) ； (2)9a225b2= (3a+5b)(3a－5b) ；(2)x2y2= (x+y)(x－y) ； 二、探索活动 1、探索活动一 (1)在括号内填上适当的式子，使等式成立． ①(a＋b)2＝（ a2+2ab+b2 ）； ②(a－b)2＝（ a2－2ab+b2 ）； ③a2＋（ 2a ）＋1＝(a＋1)2 ④a2－（ 2a ）＋1＝(a－1)2 (2)第(1)、(2)两式从左到右是什么变形？第(3)、(4)两式从左到右是什么变形？ 2、探索活动二 (1)把乘法公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2反过来，就得到: a2＋2ab＋b2＝ (a＋b)2 ，a2－2ab＋b2＝ (a－b)2 . (2)下列各式中，哪些能运用完全平方公式进行分解因式？哪些不能？为什么？ ①m2mn+n2； ②x22xyy2； ③4a220a+25； ④x2+8x+4; ⑤36a212ab+b2． 不能 不能 能 不能 能 3、探索活动三 (1)思考：能用完全平方公式分解的多项式都有什么特征？请指出探索活动二(2)中的公式中的a、b分别是什么？分解的结果是什么？ (2)不能用完全平方公式分解的，如何改动一处就能运用完全平方公式进行因式分解？ 4、归纳： 能用完全平方公式分解因式的多项式的特征是： (1)该多项式有三项； (2)有两项可以写成平方的形式，并且符号相同； (3)第三项可以写成这两个数的积的两倍. 5、尝试练习：填空： ①a2+8a+16=a2+2•( a )( 4 )+( 4 )2=( a+4 )2; ②a2－8a+16=a2－2•( a )( 4 )+( 4 )2=( a－4 )2; ③a2+( 4ab )+4b2=a2+2•( a )( 2b )+( 2b )2=( a+ 2b )2; ④a2－4a+( 4 )=a2－2•( a )( 2 )+( 2 )2=( a－2 )2; 三、例题讲解 1、讲解例4(书本第112页例4)：把下列各式分解因式： (1)x2+10x+25； (2)4a236ab+81b2； (3) –x2－4y2＋4xy； (4) (1)原式=(x+5)2 ； (2)原式=(2a-9b)2 ； (3)原式= –(x2+4y2–4xy)= –(x–2y)2； (4)原式=(-)2 2、尝试练习(书本第113页练习)： (1)下列多项式能否分解因式？如果能，把它们分解因式： ①a2+8a+16； ②9a23a+1； ③a21； ④a2ab+b2； (1)原式=(a+4)2 ； (2)原式=(3a-1)2 ； (3)原式=(a+1)(a-1)； (4)原式=(-)2 (2)把下列各式分解因式： ①25 x2＋10xy＋y2 ②a2－12ab＋36b2 ③x2x+ ④16a4+24a2b29b4 (1)原式=(5x+y)2 ； (2)原式=(a-6b)2 ； (3)原式=(-)2； (4)原式= –(16a4-24a2b2+9b4)= –(4a2–3b2)2； 3、讲解例5(书本第112页例5)：把下列各式分解因式： (1)25a4+10a2+1； (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4； (3)(x－y)2－6(y－x)+9； (4)(x－1)(x－5)+4 (1)原式=(25a2+1)2 ； (2)原式=(m+n-2)2 ； (3)原式=(x-y+3)2 (4)原式=x2-6x+9=(x-3)2 4、尝试练习(书本第113页练习2)：把下列各式分解因式： (1)(x+y)210(x+y)+25； (2)9(p+q)2+12(p+q)+4； (3)(2v－w)2+10(w－2v)+25； (4)(3a+1)(3a-5)+9. (1)原式=(x+y-5)2 ； (2)原式=[3(p+q)+2]2 =(3p+3q+2)2； (3)原式=(2v-w-5)2 (4)原式=9a2-15a+3a-5+9=9a2-12a+4=(3a-2)2 5、探究：有两张边长分别为a，b的正方形纸片，两张长、宽分别为a，b的矩形纸片. 你能把这四张纸片拼成一个大矩形吗？ 解：a2+b2+ab+ab=(a+b)2 所以可以拼成一个边长为a+b的正方形 6、尝试练习：已知a≠b，比较a2+b2与2ab的大小，并说明理由. 解：因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 所以a2+b2-2ab≥0 所以a2+b2≥2ab 四、课堂小结： 1、完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 2、运用完全平方公式给多项式分解因式时的注意点. 五、当堂练习： 把下列各式分解因式： (1)a2b2－2ab+1； (2)9－12a+4a2； (3)4x2+4x+1； (1)原式=(ab-1)2 ； (2)原式=(3-2a)2 ； (3)原式=(2x+1)2 (4)x2－6xy+9y2; (5)(a+b)2+6(a+b)+9； (6)16－24(x－y)+9(x－y)2； (4)原式=(x-3y)2 ； (5)原式=(a+b+3)2 ； (6)原式=[4-3(x-y)]2 =(4-3x+3y)2 (7)a2－2a(b+c)+(b+c)2； (8)4x2－4x(y－1)+(y－1)2; (7)原式=(a-b-3)2 ； (8)原式=[2x-(y-1)]2 =(2x-y+1)2 1 学科网（北京）股份有限公司 $