专题07二元一次方程组(1)（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题07二元一次方程组(1) 【题型01 二元一次方程的定义】.....................................3 【题型02 二元一次方程的解】.......................................3 【题型03 判断是否是二元一次方程组】...............................4 【题型04 判断是否是二元一次方程组的解】...........................5 【题型05 已知二元一次方程组的解求参数】...........................5 【题型06 代入消元法】.............................................5 【题型07 加减消元法】.............................................6 【题型08 二元一次方程组的特殊解法】...............................6 【题型09 二元一次方程组的错解复原问题】..........................7 【题型10 构造二元一次方程组求解】.................................7 【题型11 已知二元一次方程组的解的情况求参数】.....................8 【题型12 方程组相同解问题】.......................................9 【题型13 三元一次方程组的定义及解】...............................9 【题型14 三元一次方程组的应用】..................................10 【题型15 解答题7题】............................................10 知识梳理 知识点01:二元一次方程 1.定义 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a，b） 2.二元一次方程的解 使方程左右两边相等的一对未知数的值，记作：​ 3.特点 一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组 1.定义 把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。 一般形式：​​ 2.二元一次方程组的解 同时满足两个方程的一组未知数的值。 是两个方程公共解。 3.判断解 把x、y代入两个方程，都成立才是方程组的解 知识点03:解二元一次方程组 核心思想：消元（把二元→一元） 一、代入消元法（代入法） 1.变形：把一个方程写成 y=ax+b 或 x=ay+b 2.代入：代入另一个方程，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求出另一个未知数 5.写解：写成方程组解的形式 二、加减消元法（加减法） 1.变形：使同一个未知数的系数相等或互为相反数 2.加减：两式相加 / 相减，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求另一个未知数 5.写解 知识点04:三元一次方程组 1.定义 含有三个未知数，每个方程含未知数的项次数都是 1，且一共有三个方程。 2.解法思路 三元 → 二元 → 一元 步骤：. (1)先消去一个未知数，变成二元一次方程组 (2)解二元一次方程组 (3)回代求第三个未知数 (4)写出三元解 3.解的形式​ 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若是二元一次方程，则 ， ． 【跟踪专练2】方程是关于、的二元一次方程，则的值为（     ） A． B．3 C． D．9 【跟踪专练3】若为二元一次方程，则 ． 【题型2.二元一次方程组的解】 【典例】已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小美把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数．例如：把放入其中，就会得到．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的正整数对为 ． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如表所示，则p的值是（   ） x m y n t 8 p A．13 B．15 C．16 D．18 【跟踪专练3】体育用品商店打折销售期间，王老师购买了2个足球、若干副羽毛球拍和一些羽毛球，发现比打折前一共便宜了66元，那么王老师购买的羽毛球个数为 ． 【题型3.判断是否是二元一次方程组】 【典例】若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是 ． 【跟踪专练1】在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【跟踪专练3】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【题型4.判断是否是二元一次方程组的解】 【典例】写出一个解为的二元一次方程组为 ． 【跟踪专练1】是下列哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 【跟踪专练3】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【题型5.已知二元一次方程组的解求参数】 【典例】若方程组的解为，则被遮盖的表示的数为 ． 【跟踪专练1】关于的方程组的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则 ． 【跟踪专练3】若方程组的解为，则 ． 【题型6.代入消元法】 【典例】已知方程，用含有的式子表示，则 ． 【跟踪专练1】把方程改写成用含的式子表示的形式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，，则的最小值是 ． 【跟踪专练3】李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型7.加减消元法】 【典例】关于x、y的方程组，则的值为 ． 【跟踪专练1】小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知与互为相反数，则 ． 【跟踪专练3】已知关于x，y的方程组     给出下列结论：①是方程组的解；②无论a 取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y都为自然数的解有4个．其中不正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8.二元一次方程组的特殊解法】 【典例】已知二元一次方程组，则 ． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知方程组，则的值为 ． 【跟踪专练3】方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【题型9.二元一次方程组的错解复原问题】 【典例】解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则 ． 【跟踪专练1】小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（   ） A．3 B．5 C．-3 D．-5 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【跟踪专练3】解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【题型10.构造二元一次方程组求解】 【典例】定义新运算：，其中，为常数．若，，则a，b的值分别为（    ） A．2，3 B．2， C．，3 D．， 【跟踪专练1】若+|a+b-3|=0，那么= 【跟踪专练2】如图，约定：上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 结论Ⅰ：的值是一个定值16； 结论Ⅱ：若m的值为6，则x的值是1； 上述结论正确的是（    ） A．结论Ⅰ B．结论Ⅱ C．两个结论都正确 D．两个结论都不正确 【跟踪专练3】小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差 元． 【题型11.已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【典例】如果方程组的解满足，那么的值为 ． 【跟踪专练1】现代高等代数中将关于x，y的方程组简约地表示为，这种由方程组中未知数的系数与常数项按照一定顺序排列组成的表称为矩阵．若关于x，y的二元一次方程组的矩阵是，且满足，则t与m关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是 ． 【跟踪专练3】已知关于x，y的方程组，其中，下列命题正确的个数为（　　　） ①不论a为何值时，x、y的值不可能互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则；⑤若用x表示y，则． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型12.方程组相同解问题】 【典例】下列方程组中，与方程组的解不同的方程组是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】关于x、y的方程组与有相同的解，则 【跟踪专练2】已知方程组和方程组解相同，则 ． 【跟踪专练3】关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【题型13.三元一次方程组的定义及解】 【典例】解三元一次方程组时，一般应先将其转化为 ． 【跟踪专练1】.方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】已知，则 ． 【跟踪专练3】用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【题型14.三元一次方程组的应用】 【典例】有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【跟踪专练1】甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是 ． 【跟踪专练2】设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练3】幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为 ． 解答题 1．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 2．如果是方程组的解，试求关于的一元一次方程的解． 3．用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 4．若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 5．解方程组： 6．已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 7．已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07二元一次方程组(1) 【题型01 二元一次方程的定义】......................................3 【题型02 二元一次方程的解】........................................4 【题型03 判断是否是二元一次方程组】................................7 【题型04 判断是否是二元一次方程组的解】............................9 【题型05 已知二元一次方程组的解求参数】...........................12 【题型06 代入消元法】.............................................13 【题型07 加减消元法】.............................................15 【题型08 二元一次方程组的特殊解法】...............................18 【题型09 二元一次方程组的错解复原问题】..........................20 【题型10 构造二元一次方程组求解】.................................23 【题型11 已知二元一次方程组的解的情况求参数】.....................25 【题型12 方程组相同解问题】.......................................29 【题型13 三元一次方程组的定义及解】...............................32 【题型14 三元一次方程组的应用】...................................34 【题型15 解答题7题】.............................................36 知识梳理 知识点01:二元一次方程 1.定义 含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a，b） 2.二元一次方程的解 使方程左右两边相等的一对未知数的值，记作：​ 3.特点 一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组 1.定义 把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。 一般形式：​​ 2.二元一次方程组的解 同时满足两个方程的一组未知数的值。 是两个方程公共解。 3.判断解 把x、y代入两个方程，都成立才是方程组的解 知识点03:解二元一次方程组 核心思想：消元（把二元→一元） 一、代入消元法（代入法） 1.变形：把一个方程写成 y=ax+b 或 x=ay+b 2.代入：代入另一个方程，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求出另一个未知数 5.写解：写成方程组解的形式 二、加减消元法（加减法） 1.变形：使同一个未知数的系数相等或互为相反数 2.加减：两式相加 / 相减，消去一个未知数 3.求解：解一元一次方程 4.回代：求另一个未知数 5.写解 知识点04:三元一次方程组 1.定义 含有三个未知数，每个方程含未知数的项次数都是 1，且一共有三个方程。 2.解法思路 三元 → 二元 → 一元 步骤：. (1)先消去一个未知数，变成二元一次方程组 (2)解二元一次方程组 (3)回代求第三个未知数 (4)写出三元解 3.解的形式​ 【题型1.二元一次方程的定义】 【典例】若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 【跟踪专练1】若是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查二元一次方程的定义，核心是明确二元一次方程需满足：含有两个未知数，且每个含未知数的项的次数均为1．先根据的项的次数为1列出关于的方程，求解得到的值；再将的值代入的项的次数为1的方程中，求解得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，即，解得； 且，即，解得； 故答案为：，． 【跟踪专练2】方程是关于、的二元一次方程，则的值为（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，一元一次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义． 根据二元一次方程的定义，方程中不能含有二次项，且未知数的系数不能为零，需满足二次项系数为0，同时一次项系数不为0，解方程并检验即可． 【详解】解：根据题意可得，， 或 ∵，即， ∴ 故选：B． 【跟踪专练3】若为二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程的概念，解题的关键是能够熟练的掌握二元一次的基本概念即可． 根据二元一次方程的概念分析解答即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ， ， 故答案为：2． 【题型2.二元一次方程组的解】 【典例】已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：． 【跟踪专练1】小美把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数．例如：把放入其中，就会得到．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的正整数对为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了方程的正整数解，熟练掌握魔术盒的运算规则并结合正整数的限制条件分析是解题的关键． 根据魔术盒的运算规则，输出值为 ，结合 、 为正整数的条件，列出方程 ，通过枚举 的可能值求解对应的 ，即可得到所有正整数对． 【详解】解：由魔术盒规则，得：，即． 因为、是正整数， 当时，，对应正整数对； 当时，，对应正整数对； 当时，，，不符合正整数条件． 故满足条件的正整数对为或． 故答案为：或 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程，其部分值如表所示，则p的值是（   ） x m y n t 8 p A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据表格中数据可得：，整理②，得，把①代入即可得出答案． 【详解】解：由题意，得， 整理②，得， 把①代入得， ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】体育用品商店打折销售期间，王老师购买了2个足球、若干副羽毛球拍和一些羽毛球，发现比打折前一共便宜了66元，那么王老师购买的羽毛球个数为 ． 【答案】22个 【分析】本题主要考查了折扣问题，准确判断打折前和打折后的等量关系是解题的关键． 先假设购买了个羽毛球，副羽毛球拍，分别表示出打折前和打折后的价格，根据等量关系列出等式，再根据，都是整数，分析判断即可． 【详解】假设购买了个羽毛球，副羽毛球拍， 则根据题意可得：打折前的价格（元）， 打折后的价格（元）， 打折后比打折前一共便宜了66元， ， 化简后得：， ， ，是正整数且不为0， 当时，（个）． 故答案为：22个． 【题型3.判断是否是二元一次方程组】 【典例】若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组求解． 【详解】解：“”可以是：， 故答案为：．（答案不唯一，符合即可） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 【跟踪专练1】在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ． （2）关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． 【跟踪专练3】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】A、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确； B、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误； C、第一个方程式的xy是二次的，故本选项错误； D、x2是二次的，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键. 【题型4.判断是否是二元一次方程组的解】 【典例】写出一个解为的二元一次方程组为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】是下列哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解满足方程是解题的关键． 直接将的值代入四个式子进行验证即可得到答案． 【详解】解：A.将代入方程，方程左右两边不相等，故该选项错误，不符合题意； B. 将代入方程，方程左右两边相等，故该选项正确，符合题意； C. 将代入方程，方程左右两边不相等，故该选项错误，不符合题意； D. 将代入方程，方程左右两边不相等，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 【跟踪专练3】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各个选项依次代入原方程组中，能使两个方程都成立的x、y的值即为方程组的解． 【详解】 A.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式不成立．因此A选项不是方程组的解，不符合题意． B. 将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此A选项不是方程组的解，不符合题意． C. 将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式成立．因此C选项是方程组的解，符合题意． D.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此D选项不是方程组的解，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解应满足各个方程，掌握这一点知识是解题的关键． 【题型5.已知二元一次方程组的解求参数】 【典例】若方程组的解为，则被遮盖的表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先将方程组的解代入第二个方程求出y，从而可得方程组的解，再将方程组的解代入第一个方程计算即可得． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 故答案为：0． 【跟踪专练1】关于的方程组的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的定义，将代入得出关于的二元一次方程组，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程组的解为， ∴，解得： ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 把x与y的值代入方程组求出，即可求得的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】若方程组的解为，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的解，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是：理解二元一次方程组的解的含义． 将代入，解得，代入，即可求解， 【详解】解：将代入，得 ， 解得：， ∴ 故答案为：6． 【题型6.代入消元法】 【典例】已知方程，用含有的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 将看作已知数，求出即可． 【详解】解： 得到 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】把方程改写成用含的式子表示的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出 【跟踪专练2】若，，，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题． 【详解】解：， ， ∴， ， ，即， ∵ ， ∴， 即， 时，的值最小，最小值为6． 故答案为：6． 【跟踪专练3】李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 【题型7.加减消元法】 【典例】关于x、y的方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，结合已知条件得出是解题的关键．将两个方程相加并计算即可． 【详解】解：将两个方程相加得：， 则， 故答案为：． 【跟踪专练1】小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，通过计算后的式子，令y的系数为0，即可得到m和n满足的条件． 【详解】解：， ， ， ， 消去了未知数y， ∴y的系数为0，即， ∴选B． 【跟踪专练2】已知与互为相反数，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查相反数的性质，绝对值与平方的非负性，解二元一次方程组． 根据相反数的性质得到两个式子的和为零，再根据平方和绝对值的非负性，列出方程组，求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． ∴，， 即， 解得， ∴． 故答案为：8． 【跟踪专练3】已知关于x，y的方程组     给出下列结论：①是方程组的解；②无论a 取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④x，y都为自然数的解有4个．其中不正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，以及相反数性质判断即可． 此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解． 【详解】解： 得：， 即， 把代入①得：， 当，即时，， 把代入， 此时， ∴，不是方程组的解；选项①错误； 假设x与y互为相反数，， 无解，选项②正确； 当时，代入，中， 解得， 代入中，成立， ∴也是方程的解，选项③正确； 由x与y都为自然数， ∴，都为自然数， ∴， 解得， ，为整数，故和为偶数， 为奇数， ∴， 自然数解有4对，选项④正确． ∴不正确结论的个数为1个； 故选：A． 【题型8.二元一次方程组的特殊解法】 【典例】已知二元一次方程组，则 ． 【答案】1 【分析】由，即可求解． 【详解】解：， 由得：． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握整体思想的解题方法，两个方程整体相减是解题的关键． 【跟踪专练1】已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数的值，再将解代入各选项验证是否成立． 【详解】解：将解，代入第一个方程， 得：， 解得：， ∴方程组的解为， 将解代入各选项验证： A．，，，不成立，故该选项不符合题意； B．，，，成立，故该选项符合题意； C． ，，，不成立，故该选项不符合题意； D．，，，不成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】已知方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，由此即可得． 【详解】解：， 将两个方程相加得：， 则， 故答案为：． 【跟踪专练3】方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组是解题的关键．根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则，， ， 解得：， ∴，， ∴方程组的解为：． 故选：D． 【题型9.二元一次方程组的错解复原问题】 【典例】解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把与代入得：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（   ） A．3 B．5 C．-3 D．-5 【答案】B 【分析】本题考查已知二元一次方程组的错解求参数，将代入方程②，将代入方程①即可求解； 【详解】解：将代入方程②：； 化简得：； 将代入方程①：； 化简得：； ∴， 故选：B 【跟踪专练2】已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 【跟踪专练3】解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，理解题中方程组的解的含义是解题的关键．将代入方程组可得，即可求出的值，再将代入方程可得，然后解方程组可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组， 得：， 解得：， 将代入方程， 得：， 联立， 解得：， ． 故选：C． 【题型10.构造二元一次方程组求解】 【典例】定义新运算：，其中，为常数．若，，则a，b的值分别为（    ） A．2，3 B．2， C．，3 D．， 【答案】C 【分析】利用新运算列出二元一次方程组，进行解方程即可． 【详解】解：由题意列方程组为：， ①×2+②得：5b=15， 解得：b=3， 将b=3代入①得：a=-2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是利用新运算构造二元一次一次方程组并解方程组，利用合适的方法解方程组即可． 【跟踪专练1】若+|a+b-3|=0，那么= 【答案】 【分析】根据平方数和绝对值都为非负数，得到二元一次方程组，求解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，，+|a+b-3|=0 ∴， 解得， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了绝对值，平方数的性质，涉及了二元一次方程的求解和乘方的运算，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，约定：上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 结论Ⅰ：的值是一个定值16； 结论Ⅱ：若m的值为6，则x的值是1； 上述结论正确的是（    ） A．结论Ⅰ B．结论Ⅱ C．两个结论都正确 D．两个结论都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了了解二元一次方程组，根据题意得出，，，则可求出，即可判定结论Ⅰ，若m的值为6，则，则可得，解方程组即可判定结论Ⅱ． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∴，故结论Ⅰ错误； 若m的值为6，则， ∴， 解得，故结论Ⅱ正确， 故选：B． 【跟踪专练3】小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差 元． 【答案】 ① 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，可设面包贵的定价为元，面包便宜的定价为y元，根据使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差元，列出方程即可求解． 【详解】解：设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，则，依题意有： ， 则使用会员卡花费少 ； 由， 解得． 故参加特惠活动花费较少，两个面包的定价相差元． 故答案为：①，． 【题型11.已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【典例】如果方程组的解满足，那么的值为 ． 【答案】 【分析】利用加减消元法得出，则，再根据已知得出，解之即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 关于，的方程组的解满足， ∴， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是利用加减消元法求出． 【跟踪专练1】现代高等代数中将关于x，y的方程组简约地表示为，这种由方程组中未知数的系数与常数项按照一定顺序排列组成的表称为矩阵．若关于x，y的二元一次方程组的矩阵是，且满足，则t与m关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵表示的方程组，结合解满足的条件，通过消元法求解方程组，代入条件式得到关于t和m的关系式． 【详解】根据题意得， 得， 解得 将代入①得， ∵ ∴ 整理得，． 故选：D． 【跟踪专练2】若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程的解的应用，将方程组的解代入方程是解题的关键． 通过解二元一次方程组，用k表示x和y，再将解代入二元一次方程中求解k的值即可． 【详解】解：解方程组得． 将解代入得，即， ， 解得． 故答案为2． 【跟踪专练3】已知关于x，y的方程组，其中，下列命题正确的个数为（　　　） ①不论a为何值时，x、y的值不可能互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则；⑤若用x表示y，则． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键． ①先求出方程组的解，，据此判断即可； ②代入，求出a的值，再根据判断即可； ③把代入方程组的解解答即可； ④根据和求出，再求出的范围即可； ⑤根据方程组的解解答即可． 【详解】解：， ①②，得， 解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为， ∵， ∴不论a为何值时，x、y的值不可能互为相反数， 故①正确； 把代入，得， 解得：， ∵， ∴此时符合， 故②正确； ③当时，满足 当时，解为，则， 故③正确； ④时，， 即， ∴， ∴， ∴， 故④正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∴若用x表示y，则 故⑤正确； 命题正确的个数为5个． 故选：A． 【题型12.方程组相同解问题】 【典例】下列方程组中，与方程组的解不同的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出方程组的解，然后分别代入四个选项中求解即可． 【详解】解： 得，， ∴解得， ∴将代入①得，， ∴原方程组的解为， ∴将分别代入四个方程组： A、代入后方程成立，故正确； B、代入后方程成立，故正确； C、代入后方程（1）成立，方程（2）不成立，故错误； D、代入后方程成立，故正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，和二元一次方程组的解的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【跟踪专练1】关于x、y的方程组与有相同的解，则 【答案】-8 【分析】先联立仅含有字母的方程，求出方程组的解，将方程组的解代入含有字母的方程组中求解即可． 【详解】解：由题意联立方程组得： ①②得：，即， 把代入①得：， 将x，y值代入 解得：， 则 故答案为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，正确的解方程组是解题的关键． 【跟踪专练2】已知方程组和方程组解相同，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求代数式的值等知识，理解两个方程组的解相同是解题的关键；根据两个方程组的解相同，则的解与两个方程组的解相同，求得方程组的解，再分别代入两个方程组中含有字母a、b的方程中，得到关于a、b的方程组，即可求得a、b的值，从而求得代数式的值． 【详解】解：由于方程组和方程组解相同， 则的解与两个方程组的解相同， 解方程组得：； 把分别代入中，得， 解得：， 则； 故答案为：1． 【跟踪专练3】关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 【题型13.三元一次方程组的定义及解】 【典例】解三元一次方程组时，一般应先将其转化为 ． 【答案】二元一次方程组 【分析】本题考查解三元一次方程组的基本思想——消元的思想．解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的，据此即可求解． 【详解】解：解三元一次方程组时，一般应先将其转化为二元一次方程组， 故答案为：二元一次方程组． 【跟踪专练1】.方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由，得， 解得：． 把代入，得， 解得：． 把，代入，得， 解得：． 故原方程组的解为． 故选：A． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查关于非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键，根据非负数的性质列出方程组，解方程后，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 【题型14.三元一次方程组的应用】 【典例】有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 （    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】A 【分析】设甲件元、乙件元、丙件元，根据数量关系，列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设甲件元、乙件元、丙件元，根据题意得， ，两个式子相加得，， ∴，即甲、乙、丙三种商品各件共需元， 故选：． 【点睛】本题主要考查三元一次方程与实际问题的综合应用，理解题目数量关系，列方程是解题的关键． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是 ． 【答案】1，1，2或0，3，1 【分析】本题考查了三元一次方程的应用，根据甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，进行列式，再结合皆为非负整数，即可作答． 【详解】解：设甲、乙、丙答对的题数分别是， 依题意，得， 整理得， ∵皆为非负整数， ∴或， 故答案为：1，1，2或0，3，1 【跟踪专练2】设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决． 设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题． 【详解】 解：设“”“”“”的质量分别为，，． 由题图可列方程组 解得 ，即“”的个数为． 故选：A． 【跟踪专练3】幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， 即， ， ； 故答案为：4． 解答题 1．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【详解】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 2．如果是方程组的解，试求关于的一元一次方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解一元一次方程，掌握方程的解法是解题关键．将代入原方程组，得到关于、的方程组求解，再代入一元一次方程求解即可． 【详解】解：是方程组的解， ，解得：， ， ， 解得：． 3．用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法，熟练掌握代入消元法的步骤（变形、代入、求解、回代、写解）是解题的关键． （1）直接将方程组中已用含的式子表示的代入另一个方程，消去求出，再回代求出． （2）先将方程组中其中一个方程变形，用含的式子表示，再代入另一个方程消元，依次求出和的值． （3）先将方程组中系数较简单的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消去求出，再回代求出． （4）先将方程组中的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消元求解，再回代得到另一个未知数的值． 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为 （2）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （3）解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （4）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 4．若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】243 【分析】本题主要考查二元一次方程组同解问题． 先联立方程组求出其解，再将解代入另外两个方程得到关于的方程组，解出的值，最后代入所求表达式计算即可． 【详解】解：解方程组，得， 由题意得方程组，解得， 则． 5．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，设，利用换元法解出，再解即可． 【详解】解：设， 则原方程组可化为， 解得， 所以， 解得， 所以原方程组的解是． 6．已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组，熟练掌握是解题关键． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ①②，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）把代入得， 解得， ． 7．已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【详解】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $