数学一模提分卷（山东专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列数学经典图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 1.【答案】C 【详解】解：A．选项中的图形是中心对称图形而不是轴对称图形，故不符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； C．选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D．选项中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A．1234 B．310 C．300 D．290 2．【答案】B 【详解】解：1×63+2×62+3×61+4＝216+72+18+4＝310（天）， ∴由图可知，孩子自出生后的天数是310天， 故选：B． 3．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 3.【答案】C． 【详解】解：“斗”的俯视图的是： ． 故选：C． 4．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（　　） A．0.33×10﹣6 B．3.3×10﹣6 C．0.33×10﹣7 D．3.3×10﹣7 4．【答案】D． 【详解】解：0.00000033＝3.3×10﹣7． 故选：D． 5．下列运算中不正确的是（　　） A．2a2•3a3＝6a5 B．（﹣4a2b）2＝16a4b2 C．3a﹣a＝2a D．（﹣2a）3÷a＝8a2 5．【答案】D 【详解】解：A．2a2•3a3＝6a5，不符合题意； B．（﹣4a2b）2＝16a4b2，不符合题意； C．3a﹣a＝2a，不符合题意； D．（﹣2a）3÷a＝﹣8a3÷a＝﹣8a2，符合题意； 故选：D． 6．小西和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，爸爸选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小西和爸爸相邻而坐的概率是（　　） A． B． C． D． 6．【答案】A． 【详解】解：列表如下： A B D F A （A，B） （A，D） （A，F） B （B，A） （B，D） （B，F） D （D，A） （D，B） （D，F） F （F，A） （F，B） （F，D） 共有12种等可能的结果，其中小西和爸爸相邻而坐的结果有：（A，B），（B，A），（D，F），（F，D），共4种， 则小西和爸爸相邻而坐的概率是． 故选：A． 7．如图，AB是正六边形、正八边形的公共边，C是正八边形的顶点，连接AC，交正六边形的边上一点D，若AB＝1，则线段AD的长度为（　　） A． B． C． D． 7．【答案】D． 【详解】解：如图，AB是正六边形、正八边形的公共边，AB＝1，延长AB和CF交于点G，连接AE，作BH⊥AE于点H， ∴∠ABF=∠BFC=，∠ABE=∠BED=，AB＝BE＝1， ∴AH＝EH，∠BAH=∠BEH=，∠GBF＝∠GFB＝45°， ∴∠G＝90°，BG＝FG， ∴AG＝CG， ∴∠GAC＝∠GCA＝45°， ∴∠EAD＝45°﹣30°＝15°， 在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，AB＝1， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在线段AE上取点M，使DM＝AM， ∴∠MAD＝∠MDA＝15°， ∴∠DME＝30°， ∴DM＝2DE＝AM， 在直角三角形DEM中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：， 故选：D． 8．如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n＝（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12 8．【答案】B． 【详解】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数图象交于点B， 而m＜0，n＜0， ∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n， ∵AC＝3BC， ∴AB＝2BC， ∴S△ABO＝2S△OBC＝2， 即﹣n＝1，解得n＝﹣2， ∵﹣m＝2+1，解得m＝﹣6， ∴m+n＝﹣6﹣2＝﹣8． 故选：B． 9．如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP=10cm，设工作时毛刷CP绕点P 旋转形成的圆弧交⊙O于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 9．【答案】A． 【详解】解：如图，连接AB，AO，BO， ∵ AP=CP=10cm，∴AB=20cm， 又∵AB=BO=20cm， ∴△AOB是等边三角形 ∴∠AOB=60°， S△AOB = ∴S扇形AOB=， S弓形AB=S扇形AOB－S△AOB =， ∵S半圆P = ， ∴S阴影=S半圆P－S弓形AB= 10．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点P（0，6）出发，沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P1处，再沿平行于OB的直线运动，到达OA上的点P2处，再沿平行于AB的直线运动，到达OB上的点P3处，再沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P4处…如此运动下去，则点P2025的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，2） C． D． 10．【答案】B． 【详解】解：如图： ∵当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝6，∴A（6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8， ∵P（0，6），∴，解得，∴， ∵P1P2∥y轴，∴， ∴， ∵P2P3∥AB，∴∠P2P3O＝∠ABO，∴tan∠P2P3O＝tan∠ABO，∴， ∴OP3＝2，∴P3（0，2）， ∵P3P4∥x轴，点P4在直线上，∴， ∴，∴， ∵P4P5∥y轴，∴， ∴， ∵P5P6∥AB，∴∠P5P6O＝∠ABO， ∴tan∠P5P6O＝tan∠ABO，∴， ∴OP6＝6，∴P6（0，6）， ∴与P（0，6）重复， ∴每6个点是一个循环组，∴2025÷6＝337……3， ∴P2025（0，2）． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解18x2y﹣12xy+2y＝ 　 　 ． 11．【答案】2y（3x﹣1）2 【详解】解：18x2y﹣12xy+2y ＝2y（9x2﹣6x+1） ＝ 2y（3x﹣1）2， 故答案为：2y（3x﹣1）2． 12．设x1、x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则的值为　 　 ． 12．【答案】2031 【详解】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根， ∴，x1+x2＝﹣3， ∴． 所以的值为2031， 故答案为：2031． 13．用四张完全相同的长方形纸片可以摆放成如图所示两种正方形图案，即正方形ABCD与正方形EFGH，已知正方形EFGH与正方形ABCD的周长之差为5，则正方形MNPQ的边长为　 　 ． 13．【答案】． 【详解】解：设长方形纸片的长为x，宽为y， 所以正方形EFGH的周长为：（x+x）×4＝8x， 正方形ABCD的周长为：（x+y）×4＝4x+4y， 8x﹣（4x+4y）＝5，即4x﹣4y＝5，x﹣y＝， 正方形MNPQ的边长为x﹣y＝． 答：正方形MNPQ的边长为． 故答案为：． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（m，0）（m＜0），且4a+2b+c＝0．有F下列四个结论：①c＜0；②3a+b＞0；③若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根，且其中一个根小于m，则m＜﹣3；④若﹣2＜m＜0，且抛物线过点（0，﹣2），则．其中正确的结论是　 　 （填序号）． 14．【答案】①②④． 【详解】解：∵4a+2b+c＝0，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（2，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（m，0）（m＜0）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（m，0）（m＜0）交y轴的负半轴，∴c＜0， 故①正确； 由题意可知x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0， ∵4a+2b+c＝0，∴c＝﹣2b﹣4a，∴a+b﹣2b﹣4a＜0，即b+3a＞0， 故②正确； ∵若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根x1，x2（且x1＜x2）， 若b＞0，﹣，则m＜﹣2； 若b＜0，﹣，则m＞﹣2， 若b＝0，﹣＝0，则m＝﹣2，故③不正确； ∵抛物线过点（0，﹣2），∴c＝﹣2． ∵4a+2b+c＝0，∴b＝1﹣2a， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（m，0）（﹣2＜m＜0），（2，0）， ∴2m＝＝﹣，∴m＝﹣， ∵﹣2＜m＜0，∴﹣2＜＜0，∴a， ∴a+b﹣c＝a+1﹣2a+2＝3﹣a，∴3﹣a＜3﹣＝， 故④正确． 故答案为：①②④． 15．如图，在平面直角坐标系中，P（2，0），正六边形ABCDEF的顶点A，D的坐标分别为（1，0），（﹣1，0），点M是正六边形ABCDEF的边上一动点，连接PM，在PM的右上方作等腰直角三角形PMN，其中∠MPN＝90°．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A…）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为　 　 ． 15．【答案】． 【详解】解：连结OB， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴， 又∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA， 又∵点A，D的坐标分别为（1，0），（﹣1，0），∴AB＝OA＝1， ∴正六边形ABCDEF的周长为6，∴点M运动一周用时（秒）． ∵2025÷12＝168⋯⋯9， ∴第2025秒时点M的位置与第9秒时点M的位置相同，即与EF的中点重合， 如图，连结OE，OF，则OE＝OF， 与上面同理可证：△EOF是等边三角形，∴OE＝OF＝EF＝1， 又∵由正六边形的轴对称性可知EF⊥y轴，∴． 过点N作NH⊥x轴于点H，则∠NPH+∠PNH＝90°，∴MP＝NP，∠MPN＝90°， ∴∠MPO+∠MPN+∠NPH＝180°，∴∠MPO+90°+∠NPH＝180°， ∴∠MPO+∠NPH＝90°，∠APH+∠PNH＝90°，∴∠MPO＝∠PNH， 由条件可知，，∴，NH＝OP＝2， ∴， ∴． 故答案为：. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣6x+4＝0. 16.【答案】（1）+ （2）x1＝3+，x2＝3﹣． 【详解】解：（1）原式＝1+3×﹣（2﹣）+2 ＝1+﹣2++2 ＝+； （2）x2﹣6x+4＝0， x2﹣6x＝﹣4， x2﹣6x+9＝﹣4+9． （x﹣3）2＝5， x﹣3＝±， x1＝3+，x2＝3﹣． 17．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形． 17．【答案】（1）见解析（2见解析 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E是AD的中点，O是BC的中点， ∵AE＝DE＝OC＝OB， ∵AE∥OC， ∴四边形AOCE是平行四边形． 18．（8分）如图，直线l：y＝x+m与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（6，2）． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 18．【答案】（1），y＝； （2） 【详解】解： 解：（1）将点A（6，2）代入一次函数解析式得：，解得：m＝﹣2 将点A（6，2）代入反比例函数解析式得：，解得 k＝12， ∴一次函数和反比例函数解析式分别为y＝x-2，y＝； （2）∵∠1＝∠2，反比例函数的图象关于直线y＝x对称， ∴点A与点C关于直线y＝x对称， ∵A（6，2） ∴C（2，6）， 设直线l平移后的直线对应的表达式为y＝x+n， 将点C（2，6）代入得：， 解得：n＝， ∵， ∴点C的坐标为（2，6），直线l向上平移的距离为． 19．（10分）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 　 　 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 　 　 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 19．【答案】（1）36° 135 补全条形图见解析 （2）估计用私家车接送孩子的家长人数为450人； （3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；时间段12：00﹣12：10 电动车和私家车接送孩子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述． 【详解】解：（1）360°×10%＝36°， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为36°； 300×45%＝135人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段12：00﹣12：10骑电动车的人数为135﹣40﹣32﹣17＝46人， 补全统计图如下所示： 故答案为：36；135； （2）估计用私家车接送孩子的家长人数为1500×30%＝450人； （3）由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为45%+30% ＝75%，容易造成放学后校门口交通拥挤； 由条形统计图可知，在时间段12：00﹣12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00﹣12：10． 20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD． （1）求证：ME是⊙O的切线． （2）若CF＝3，sinB＝，求OM的长． 20.【答案】（1）见解析（2）OM＝． 【详解】（1）证明：连接OE，DF，如图所示： ∵CD为⊙O的直径，点E在⊙O上， ∴OD＝OE＝OC， 在△OME和△OMD中，， ∴△OME≌△OMD（SSS），∴∠OEM＝∠ODM， ∵CD⊥AB，∴∠ODM＝90°，∴∠OEM＝90°， 即OE⊥ME， 又∵OE是⊙O的半径，∴ME是⊙O的切线； （2）解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠DCF＝90°，∴∠B＝∠DCF， ∵sinB＝，∴sin∠DCF＝， ∵CD为⊙O的直径，∴∠DCF＝90°， 在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝， 设DF＝4x，CD＝5x， 由勾股定理得：CF＝＝＝3x， ∵CF＝3，∴3x＝3，解得：x＝1，∴CD＝5x＝5， ∴OD＝CD＝2.5， 由（1）可知：△OME≌△OMD，∴∠EOM＝∠DOM， ∴∠DOE＝∠EOM+∠DOM＝2∠DOM， ∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE， ∵∠DOE是△OCE的外角， ∴∠DOE＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE， ∴2∠DOM＝2∠OCE， ∴∠DOM＝∠OCE， ∴OM∥BC，∴∠OMD＝∠B，∴sin∠OMD＝sin∠B＝， 在Rt△ODM中，sin∠OMD＝， ∴， ∴OM＝． 21．（9分）综合与实践 活动主题 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN，M′N′为法线．入射光线AB，AC和折射光线BD，CE及法线MN，M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为3米 参考数据 ，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4，sin40.5°≈0.65，cos40.5°≈0.76，tan40.5°≈0.85 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）求BC的长；（结果保留根号） （2）若DE＝4.46米，求水池的深（精确到0.01米）． 21．【答案】（1）BC的长为米； （2）水池的深约为2.22米 【详解】解：（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF∥MN∥M′N′， ∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF， 由题意可得： ∠BAF＝∠ABM＝30°，∠CAF＝∠ACM′＝60°， ∵AF＝3米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即BC的长为米； （2）设水池的深为x米，则BN＝CN′＝x米， ∠DBN＝22°，∠ECN′＝40.5°，DE＝4.46米， ∴DN＝BN•tan22°≈0.4x（米），N′E＝CN′•tan40.5°≈0.85x（米）， ∵DN+DE＝BC+N′E， ∴， ∴x≈2.22， 即水池的深约为2.22米． 22．（11分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点B不重合）．【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝ 　 　 度，线段BP与线段AC的位置关系是 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长． 22.【答案】（1）30，BP⊥AC；（2）CE＝2BE，理由见解析（3）AP的长为2或． 【详解】解：（1）在菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∵点P与线段AC的中点O重合，∴， ∴BP⊥AC， 故答案为：30，BP⊥AC； （2）CE＝2BE， 理由：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ， ∴BE＝BQ，∠EBQ＝60°，∠AEB＝∠BQC． ∴△BEQ为等边三角形， ∴∠BEQ＝60°＝∠BQE，BE＝EQ， ∵点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°， ∴∠AEB＝150°，∠BEC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠AEB＝∠BQC＝150°， ∴∠EQC＝150°﹣60°＝90°， ∴∠ECQ＝90°﹣60°＝30°． ∴CE＝2EQ＝2BE； （3）如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H， ∵AH∥BC，∴∠AHB＝∠CBH， ∵∠ABC＝60°，∠BAD＝120°＝∠BEG，∴△HAB∽△BEG，∴， 设FG＝x，则EF＝BE＝2x，∴EG＝3x，∴，∴， ∵AD∥BC，∴△APH∽△CPB，∴，∴， ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝5，， 如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H， 同理可得：∠H＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°， ∴△BAH∽△GEB， 设BE＝EF＝2m，而BE＝2FG，则GF＝EG＝m， ∴，∴AH＝10， 同理：△APH∽△CPB，，， 综上：AP的长为2或． 23．（11分）抛物线y＝﹣x+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g＝，直接写出PQ的长． 23．【答案】（1） （2） （3）① ② 【详解】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣x+c， 得，∴， （2）由（1）可知：，∴T（1，﹣2）， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，∴， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴PH＝1﹣t，，∴； （3）①当x＝0时，，当时，x1＝﹣1，x2＝3， ∴，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，﹣2），，，对称轴为直线x＝1， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵P在第四象限，∴0＜t＜3， 当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，,∴, 当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，，∴， 当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，，∴， 综上：； ②∵PQ∥x轴，∴P，Q关于对称轴对称， ∴，， 当0＜t≤l时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，，∴， ∵f+g＝，∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，, ∴， ∵f+g＝，∴，解得：或， ∴， 当2＜t＜3时，抛物线弧CQ的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t﹣2，,∴， ∵f+g＝，∴，解得：（舍去）或， ∴PQ＝t﹣2+t＝2t﹣2＝﹣2，综上： 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[X][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 日 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D1 9.A1[B][C1[D1 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 11 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(8分) E D ⊙ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(10分) 用电动车或私家车接送孩子的家长人数条形统计图 口电动自行车口私家车 人数人 50 40 40 0200 24 ----17 10 0 11:50-12:0012:00-12:1012-10-12:20其他时段时段 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) F 0 A D M B 21.(9分) M M 空气 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) A D D E O(P) 图① 图② 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) y个 y个 H B B C 图1 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列数学经典图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A．1234 B．310 C．300 D．290 3．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 4．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（　　） A．0.33×10﹣6 B．3.3×10﹣6 C．0.33×10﹣7 D．3.3×10﹣7 5．下列运算中不正确的是（　　） A．2a2•3a3＝6a5 B．（﹣4a2b）2＝16a4b2 C．3a﹣a＝2a D．（﹣2a）3÷a＝8a 6．小西和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，爸爸选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小西和爸爸相邻而坐的概率是（　　） A． B． C． D． 7．如图，AB是正六边形、正八边形的公共边，C是正八边形的顶点，连接AC，交正六边形的边上一点D，若AB＝1，则线段AD的长度为（　　） 8．如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n＝（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12 9．如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP=10cm，设工作时毛刷CP绕点P 旋转形成的圆弧交⊙O于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 10． 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点P（0，6）出发，沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P1处，再沿平行于OB的直线运动，到达OA上的点P2处，再沿平行于AB的直线运动，到达OB上的点P3处，再沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P4处…如此运动下去，则点P2025的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，2） C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解18x2y﹣12xy+2y＝ 　 　 ． 12．设x1、x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则的值为　 　 ． 13． 用四张完全相同的长方形纸片可以摆放成如图所示两种正方形图案，即正方形ABCD与正方形EFGH，已知正方形EFGH与正方形ABCD的周长之差为5，则正方形MNPQ的边长为　 　 ． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（m，0）（m＜0），且4a+2b+c＝0．有F下列四个结论：①c＜0；②3a+b＞0；③若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根，且其中一个根小于m，则m＜﹣3；④若﹣2＜m＜0，且抛物线过点（0，﹣2），则．其中正确的结论是　 　 （填序号）． 15．如图，在平面直角坐标系中，P（2，0），正六边形ABCDEF的顶点A，D的坐标分别为（1，0），（﹣1，0），点M是正六边形ABCDEF的边上一动点，连接PM，在PM的右上方作等腰直角三角形PMN，其中∠MPN＝90°．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A…）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为　 　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算： （2）解方程：x2﹣6x+4＝0． 17．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形． 18．（8分）如图，直线l： y＝x+m与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（6，2）． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 19．（10分）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 　 　 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 　 　 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD． （1）求证：ME是⊙O的切线． （2）若CF＝3，sinB＝，求OM的长． 21．（9分）综合与实践 活动主题 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN，M′N′为法线．入射光线AB，AC和折射光线BD，CE及法线MN，M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为3米。 参考数据 ，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4，sin40.5°≈0.65，cos40.5°≈0.76，tan40.5°≈0.85 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）求BC的长；（结果保留根号） （2）若DE＝4.46米，求水池的深（精确到0.01米）． 22．（11分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点B不重合）．【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝ 　 　 度，线段BP与线段AC的位置关系是 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长． 23．（11分）抛物线与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g＝，直接写出PQ的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C D D A D B A B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．2y（3x﹣1）2 12．2031 13． 14．①②④ 15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分） 【解析】（1）原式＝1+3×﹣（2﹣）+2 (2分) ＝1+﹣2++2 ＝+；（4分） （2）x2﹣6x+4＝0， x2﹣6x＝﹣4， x2﹣6x+9＝﹣4+9． （x﹣3）2＝5，（6分） x﹣3＝±， x1＝3+，x2＝3﹣．（8分）第（2）小题方法不唯一 17．（8分） 【解析】（1）解：如图，点O即为所求； ；（2分） （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，（3分） ∴AD＝BC，AD∥BC，（4分） ∵E是AD的中点，O是BC的中点，（5分） ∵AE＝DE＝OC＝OB，（6分） ∵AE∥OC，（7分） ∴四边形AOCE是平行四边形．（8分） 18．（8分） 【解析】解：（1）将点A（6，2）代入一次函数解析式得：，解得：m＝﹣2（1分） 将点A（6，2）代入反比例函数解析式得：，解得 k＝12，（2分） ∴一次函数和反比例函数解析式分别为y＝x-2，y＝；（3分） （2）∵∠1＝∠2，反比例函数的图象关于直线y＝x对称， ∴点A与点C关于直线y＝x对称，（4分） ∵A（6，2） ∴C（2，6），（5分） 设直线l平移后的直线对应的表达式为y＝x+n， 将点C（2，6）代入得：，（6分） 解得：n＝，（7分） ∵， ∴点C的坐标为（2，6），直线l向上平移的距离为．（8分） 19. （10分） 【解析】解：（1）360°×10%＝36°， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为36°；（2分） 300×45%＝135人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人；（4分） ∴时间段12：00﹣12：10骑电动车的人数为135﹣40﹣32﹣17＝46人， 补全统计图如下所示： ；（6分） （2）估计用私家车接送孩子的家长人数有1500×30%＝450人，（8分） （3）由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为45%+30% ＝75%，容易造成放学后校门口交通拥挤；由条形统计图可知，在时间段12：00﹣12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤；（9分） 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00﹣12：10．（10分） 20.（10分） 【解析】（1）证明：连接OE，DF，如图所示： ∵CD为⊙O的直径，点E在⊙O上， ∴OD＝OE＝OC，（1分） 在△OME和△OMD中， ， ∴△OME≌△OMD（SSS）， ∴∠OEM＝∠ODM，（2分） ∵CD⊥AB， ∴∠ODM＝90°， ∴∠OEM＝90°， 即OE⊥ME，（3分） 又∵OE是⊙O的半径，（4分） ∴ME是⊙O的切线；（5分） （2）解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠DCF＝90°， ∴∠B＝∠DCF，（6分） ∵sinB＝， ∴sin∠DCF＝， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DCF＝90°， 在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝，（7分） 设DF＝4x，CD＝5x， 由勾股定理得：CF＝＝＝3x， ∵CF＝3， ∴3x＝3， 解得：x＝1， ∴CD＝5x＝5， ∴OD＝CD＝2.5，（8分） 由（1）可知：△OME≌△OMD， ∴∠EOM＝∠DOM， ∴∠DOE＝∠EOM+∠DOM＝2∠DOM， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵∠DOE是△OCE的外角， ∴∠DOE＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE， ∴2∠DOM＝2∠OCE， ∴∠DOM＝∠OCE， ∴OM∥BC， ∴∠OMD＝∠B， ∴sin∠OMD＝sin∠B＝，（9分） 在Rt△ODM中，sin∠OMD＝， ∴， ∴OM＝．（10分） 21．（9分） 【解析】解：（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF∥MN∥M′N′， ∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF， 由题意可得：∠BAF＝∠ABM＝30°，∠CAF＝∠ACM′＝60°，（1分） ∵AF＝3米， ∴（米），（2分） （米），（3分） ∴（米），（4分） 即BC的长为米；（5分） （2）设水池的深为x米，则BN＝CN′＝x米， ∠DBN＝22°，∠ECN′＝40.5°，DE＝4.46米， ∴DN＝BN•tan22°≈0.4x（米），N′E＝CN′•tan40.5°≈0.85x（米），（6分） ∵DN+DE＝BC+N′E， ∴，（7分） ∴x≈2.22，（8分） 即水池的深约为2.22米．（9分） 22.（11分） 【解析】解：（1）在菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∵点P与线段AC的中点O重合， ∴∴，（1分） ∴BP⊥AC，（2分） （2）CE＝2BE，（3分） 理由：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ，（4分） ∴BE＝BQ，∠EBQ＝60°，∠AEB＝∠BQC． ∴△BEQ为等边三角形， ∴∠BEQ＝60°＝∠BQE，BE＝EQ，（5分） ∵点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°， ∴∠AEB＝150°，∠BEC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠AEB＝∠BQC＝150°， ∴∠EQC＝150°﹣60°＝90°， ∴∠ECQ＝90°﹣60°＝30°． ∴CE＝2EQ＝2BE；（6分） （3）如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H， ∵AH∥BC， ∴∠AHB＝∠CBH， ∵∠ABC＝60°，∠BAD＝120°＝∠BEG， ∴△HAB∽△BEG， ∴， 设FG＝x，则EF＝BE＝2x， ∴EG＝3x， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴△APH∽△CPB， ∴， ∴， ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝5，，（8分） 如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H， 同理可得：∠H＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°， ∴△BAH∽△GEB， 设BE＝EF＝2m，而BE＝2FG，则GF＝EG＝m， ∴， ∴AH＝10， 同理：△APH∽△CPB，，，（10分） 综上：AP的长为2或．（11分） 23．（11分） 【详解】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣x+c， 得， ∴，（1分） （2）由（1）可知：， ∴T（1，﹣2），（2分） ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴PH＝1﹣t，，（3分） ∴；（4分） （3）①当x＝0时，，当时，x1＝﹣1，x2＝3， ∴，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，﹣2），，，对称轴为直线x＝1， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵P在第四象限， ∴0＜t＜3， 当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，, ∴,（5分） 当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴，（6分） 当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t，， ∴，（7分） 综上：；（8分） ②∵PQ∥x轴， ∴P，Q关于对称轴对称， ∴，， 当0＜t≤l时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，， ∴， ∵f+g＝， ∴， 解得：（舍去）或， ∴，（9分） 当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣t，, ∴， ∵f+g＝， ∴， 解得：或， ∴， （10分） 当2＜t＜3时，抛物线弧CQ的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t﹣2，, ∴， ∵f+g＝， ∴， 解得：（舍去）或， ∴PQ＝t﹣2+t＝2t﹣2＝﹣2， 综上： （11分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(8分) A E D B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(10分) 用电动车或私家车接送孩子的家长人数条形统计图 口电动自行车口私家车 人数/人 50 40 40 32 24 20 上7 10 10 0 11:5012:0012:00-12:1012:10-12:20其他时段前段 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 0 E A DM 21.(9分) 'M' 空气 B C 水 N 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(11分) D D E O(P) 图① 图② 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) y ● H O B O B花 T 图1 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列数学经典图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A．1234 B．310 C．300 D．290 3．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 4．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（　　） A．0.33×10﹣6 B．3.3×10﹣6 C．0.33×10﹣7 D．3.3×10﹣7 5．下列运算中不正确的是（　　） A．2a2•3a3＝6a5 B．（﹣4a2b）2＝16a4b2 C．3a﹣a＝2a D．（﹣2a）3÷a＝8a2 6．小西和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，爸爸选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小西和爸爸相邻而坐的概率是（　　） A． B． C． D． 7．如图，AB是正六边形、正八边形的公共边，C是正八边形的顶点，连接AC，交正六边形的边上一点D，若AB＝1，则线段AD的长度为（　　） A． B． C． D． 8．如图，点A是反比例函数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数图象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n＝（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12 9．如图（1）是一款带毛刷的扫地机器人，图（2）是其示意图，机身⊙O的直径为40cm，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，CP=10cm，设工作时毛刷CP绕点P 旋转形成的圆弧交⊙O于点A、B，且点A、P、B在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 10．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点P（0，6）出发，沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P1处，再沿平行于OB的直线运动，到达OA上的点P2处，再沿平行于AB的直线运动，到达OB上的点P3处，再沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P4处…如此运动下去，则点P2025的坐标为（　　） A．（0，3） B．（0，2） C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解18x2y﹣12xy+2y＝ 　 　 ． 12．设x1、x2是方程x2+3x﹣2025＝0的两个实数根，则的值为　 　 ． 13．用四张完全相同的长方形纸片可以摆放成如图所示两种正方形图案，即正方形ABCD与正方形EFGH，已知正方形EFGH与正方形ABCD的周长之差为5，则正方形MNPQ的边长为　 　 ． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（m，0）（m＜0），且4a+2b+c＝0．有F下列四个结论：①c＜0；②3a+b＞0；③若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根，且其中一个根小于m，则m＜﹣3；④若﹣2＜m＜0，且抛物线过点（0，﹣2），则．其中正确的结论是　 　 （填序号）． 15．如图，在平面直角坐标系中，P（2，0），正六边形ABCDEF的顶点A，D的坐标分别为（1，0），（﹣1，0），点M是正六边形ABCDEF的边上一动点，连接PM，在PM的右上方作等腰直角三角形PMN，其中∠MPN＝90°．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A…）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为　 　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣6x+4＝0． 17．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形． 18．（8分）如图，直线l： y＝x+m与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（6，2）． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 19．（10分）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 　 　 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 　 　 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD． （1）求证：ME是⊙O的切线． （2）若CF＝3，sinB＝，求OM的长． 21．（9分）综合与实践 活动主题 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN，M′N′为法线．入射光线AB，AC和折射光线BD，CE及法线MN，M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为3米 参考数据 ，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4，sin40.5°≈0.65，cos40.5°≈0.76，tan40.5°≈0.85 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）求BC的长；（结果保留根号） （2）若DE＝4.46米，求水池的深（精确到0.01米）． 22．（11分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点B不重合）．【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝ 　 　 度，线段BP与线段AC的位置关系是 　 　 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长． 23．（11分）抛物线与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g＝，直接写出PQ的长． 24 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $