7.2二次根式的性质同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

7.2二次根式的性质同步训练 一、单选题 1．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 2．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知是整数，则满足条件的最大整数为（   ） A． B． C． D．0 5．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若，则（） A． B． C． D． 8．实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 9．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 11．若，则（   ） A． B． C． D． 12．最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 13．化简： ． 14．化简： ． 15．计算： ． 16．当时，化简的结果是 ． 17．将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 则第七行左起第1个数是 ． 18．化简： ． 19．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 三、解答题 20．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．若，化简． 22．化简或计算： (1)； (2)； (3)； 23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中以格点为端点画出，，的线段； (2)求点A到边的距离． 24．观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：．      第2个等式：． 第3个等式：．                   第4个等式：…… (1)请直接写出第5个等式____________． (2)根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质，先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再化简二次根式，结合结果为整数的要求，分析为完全平方数，进而找出最大的整数m． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ， ∵是整数， ∴为整数，即是完全平方数（含0）， 要使m为最大整数，且，当时，，此时是整数，满足条件，且0是满足条件的整数中最大的， ∴ 满足条件的最大整数m为0． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 6．C 【分析】本题考查算术平方根的定义，二次根式的化简，平方与开方的运算，掌握二次根式化简方法是解题关键． 根据算术平方根的定义及二次根式的化简法则，对选项依次进行判断． 【详解】解：∵算术平方根的结果为非负数， ∴选项中，不是，选项错误； ∵， ∴选项错误； ∵， ∴选项正确； ∵， ∴选项错误． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先根据数轴得到，则，然后利用二次根式的性质将原式化简为，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 9．D 【分析】根据二次根式性质，把问题转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ∴， 解得． 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 11．C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，绝对值非负性，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次根式性质转化等式，结合绝对值非负性，通过平方化简推导，判断选项正确性． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵绝对值具有非负性， ∴， 即， 对等式两边平方： ， ∴， ∴， ∴， 验证其他选项： 取，，满足， 此时， 故A错误； 取，，， 故B错误； 取，，， 故D错误， 故选：C． 12．C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 13． 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质化简是解题的关键．根据（，），化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14． / 【分析】利用算术平方根的性质 ，判断 的符号后去绝对值即可． 本题考查二次根式的基本性质，掌握二次根式的概念进行化简是解题关键． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 15． 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 对系数和根号部分分别平方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．1 【分析】根据二次根式的性质， ，再结合条件 ，化简绝对值表达式． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为 ， 所以 ， 因此． 故． 故答案为：1． 17． 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出前六行共有个数，从而可得第七行左起第1个数是第个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：前六行共有（个）数， 可得第七行左起第1个数是第个数， ∵原组数为，，，，，，，，… ∴第个数为， 即第七行左起第1个数是， 故答案为：． 18．2 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【详解】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 19． 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 20．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 21． 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，逐一进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 23．(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是用勾股定理画出符合长度的线段． （1）利用勾股定理和格点画出符合要求的线段即可． （2）利用勾股定理的逆定理判断的形状，再求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，，，，即为所求， （2）解：， 又 ∵， ， ∴是直角三角形，， 设点到的距离是， ， ， ， 即点A到边的距离是． 24．(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数字规律探索，解题关键是根据已知条件中的等式找出规律． （1）观察已知条件中的等式可知：带分数的整数部分为，分数部分的分子与整数部分相同，分数的分母为整数部分的平方，按照此规律进行解答即可； （2）根据（1）中所找规律，然后进行证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， 第5个等式：； （2）第1个等式：，    第2个等式：， 第3个等式：，                    第4个等式：， ， 第n个等式：， 证明：左边 ， 右边 ， ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $