必刷小卷11 小题标准练(11) 8+3+3 73分练 -2026届高三数学三轮冲刺

必刷小卷11 小题标准练[11] 8+3+3 73分练 (时间:40分钟　分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则实数a的值为（     ） A． B． C．1 D． 3.已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，这是某城市在2025年12月－2026年2月的二手房销量数据折线图．下列说法正确的是（  ） A．这组数据的极差为470 B．这组数据的众数为365 C．这组数据的中位数为387 D．这组数据的平均数约为360 5．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（   ） A． B． C． D． 6.葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（  ） （参考数据：） A． B． C． D． 7．如图,在正八边形中,点O为正八边形的中心,点分别是边的中点,且,点P是正八边形内一个动点（含边界）,已知,则的最大值是( ) A. B. C. D. 8. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） A．筒车转动的角速度 B．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 10．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为两点，直线与椭圆相交于两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．为定值 C．当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，四边形的面积为 D．直线和的斜率的乘积为 11．已知函数，则（    ） A．当时，函数的减区间为 B．当时，函数的图象是中心对称图形 C．若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D．若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．设随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，且． 0 1 2 P 则 ；符合条件的的一个值为 ． 13. 过圆外一点P引该圆的两条切线PA、PB，经过两个切点A、B的直线经过定点，且的面积为，则点P的坐标为____ ______. 14．某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的正弦值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 必刷小卷11 小题标准练[11] 8+3+3 73分练 (时间:40分钟　分值:73分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解可得，所以，所以. 故选：D． 2．若复数为纯虚数，则实数a的值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由， 又由z为纯虚数，有，可得． 故选：C． 3.已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为等比数列的前项和为，设其公比为， 由已知，故，所以，，则， 故，所以，，故. 故选：A. 4．如图，这是某城市在2025年12月－2026年2月的二手房销量数据折线图．下列说法正确的是（  ） A．这组数据的极差为470 B．这组数据的众数为365 C．这组数据的中位数为387 D．这组数据的平均数约为360 【答案】C 【解析】将这13个数据从小到大排列：． 这组数据的极差为，众数为420，第7个数387为中位数， 平均数为． 故选:C． 5．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，由，，得，即， 则有，解得，，所以带宽为. 故选：D 6.葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（  ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设下面球的半径为，因为上，中，下三个几何体的高度之比为， 则上面球的半径为，圆柱的高为，由已知，所以， 故下面球的半径为，上面球的半径为，所以下面球的体积为，上面球的体积为，又，所以下面球的体积与上面球的体积之差约为， 故选：A. 7．如图,在正八边形中,点O为正八边形的中心,点分别是边的中点,且,点P是正八边形内一个动点（含边界）,已知,则的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由正八边形的性质可知Q为的中点, 所以, 当P在上的投影点与N重合时,在上的投影向量为, 所以的最大值为. 故选：D. 8. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆（）的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在x轴上，A、B是椭圆E上的任意两点，动点P在直线上.若存在为钝角.则椭圆E离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可知，圆即为椭圆的蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，存在满足为钝角， 即存在点在圆内， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相交， 所以，解得，则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：B. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） A．筒车转动的角速度 B．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 【答案】ABD 【解析】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒， 所以，因此A正确； B：因为当时，盛水筒位于点，所以， 所以有，因为，所以， 即， 所以，因此B正确； C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为， 所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此C错误； D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中， 盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此D正确. 故选：ABD 10．已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为两点，直线与椭圆相交于两点，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．为定值 C．当以四个点为顶点的四边形为平行四边形时，四边形的面积为 D．直线和的斜率的乘积为 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得到， 可得椭圆C的短轴长为，故A正确； 对于B，如图，设椭圆C的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于C，由题意得，且，又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到，解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故C错误； 对于D，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故D正确． 故选：ABD． 11．已知函数，则（    ） A．当时，函数的减区间为 B．当时，函数的图象是中心对称图形 C．若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D．若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 【答案】AB 【解析】由， 对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确；对于B选项，当时，， 又由， 可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点； 当时，令，可得或， 若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误； 对于D选项，设切点为（其中）， 由切线过原点，有，整理为， 令，有， 可得函数的减区间为，增区间为， 又由时，；时，；及， 可知当时，关于m的方程有且仅有3个根， 可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误，故选：AB． 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．设随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，且． 0 1 2 P 则 ；符合条件的的一个值为 ． 【答案】；1（答案不唯一） 【解析】由题意可知，，所以，，，所以，符合条件的的一个值为1. 故答案为：；1. 13. 过圆外一点P引该圆的两条切线PA、PB，经过两个切点A、B的直线经过定点，且的面积为，则点P的坐标为__________. 【答案】 【解析】圆，∴圆心为，半径， 设点P的坐标为，则以为直径的圆的方程为， 将该方程和相减得，即直线的方程为， 由题意知直线过点，故，即 即直线的方程为， 点到直线的距离为， 则， 又点P到直线的距离为， 由于的面积为，故， 即， 设，则可得，即， 即，即， 即得或， 对于，，即该方程无解， 故，即，即， 所以点P的坐标为. 故答案为：. 14．某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的正弦值为 . 【答案】 【解析】连接，依题意，，则， ，的长度为， 则桥面修建总费用， 而，求导得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值，即桥面修建总费用最低. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $