专题01 勾股定理应用模型之最短路径问题（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级下册

该初中数学讲义通过模型分类框架系统梳理勾股定理最短路径问题，将平面图形、立体图形（圆柱、长方体、台阶）等模型按“引入-提炼-拓展”递进呈现，用解题步骤口诀和思维导图明确化曲为直思想，突出勾股定理与数形转化的核心联系。 讲义亮点在于分层例题设计与化曲为直方法指导，如圆柱表面最短路径通过展开图转化为直角三角形问题，培养几何直观与空间观念。真题与精练题覆盖基础到拓展，基础生掌握步骤，优秀生探究多解，助力教师实施精准分层教学，提升模型意识与推理能力。

专题01 勾股定理应用模型之最短路径问题 勾股定理是初中几何的核心内容，也是连接代数与几何的重要桥梁，其核心价值在于将直角三角形的“形”与边长的“数”紧密结合，实现数形转化。在本章的实际应用中，“最短路径问题”是最基础、最高频的考点之一，它广泛存在于我们的生活场景中——从操场散步的最短路线，到长方体礼盒表面的包装路径，再到工业生产中的线路规划，都离不开勾股定理的支撑。 为了帮助大家快速识别这类问题的共性、掌握解题规律，我们将其归纳为“勾股定理最短路径模型”。本讲将从模型的来源入手，通过严谨的模型证明，明确模型的核心结论，再结合分层例题与精练题，教大家熟练运用模型解决平面、立体图形中的最短路径问题，夯实勾股定理应用基础，培养“化曲为直”的数学思想，为后续复杂几何模型的学习和期中、期末提分奠定坚实基础。 2 模型引入 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型核心总结 6 模型运用 6 16 生活中，我们经常会遇到“找最短路径”的问题：比如，从家里到学校，走直路比走弯路近；在长方形操场的一个顶点，走到对角的另一个顶点，沿操场边缘走和穿操场内部走，哪种路径更短？ 这些问题都可以用勾股定理解决——我们把这类“利用‘两点之间，线段最短’，将路径转化为直角三角形斜边，再用勾股定理求解”的问题，统称为勾股定理最短路径模型。 本专题我们重点学习两类高频模型：平面图形中的最短路径、立体图形表面的最短路径，均是沪科版八下期中、期末的基础必考点。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，由题意得：，， ∵底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 模型一：平面图形中的最短路径 常见平面图形：长方形、正方形、直角三角形、不规则平面图形（可分割为直角三角形）； 条件：两个定点，路径需沿图形边缘或内部走，求两点之间的最短路径； 关键技巧：若路径可直接连接为线段，且线段在图形内/边缘，则线段长度即为最短路径；若路径为折线（如沿长方形边缘走），则转化为直角三角形，用勾股定理求解。 典型图形与解读：如图1，在长方形ABCD中，求点A到点C的最短路径。根据两点之间线段最短得，最短路径直接连接AC，AC为长方形对角线，此时△ABC（或△ACD）为直角三角形，直角边为AB、BC，根据勾股定理可得斜边为； 图1： 模型二：立体图形表面的最短路径 常见立体图形：长方体、立方体、圆柱侧面（沪科版八下重点考查长方体/立方体）； 核心条件：两个定点分别在立体图形的两个表面，求沿立体图形表面走的最短路径； 关键技巧：将立体图形表面展开为平面图形（化曲为直），转化为平面图形中的最短路径问题，再构造直角三角形，用勾股定理求解； 注意：长方体有多种展开方式，需判断哪种展开方式的路径最短。 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 图:2： 条件：如图2，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 图3： 条件：如图3，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 图4： 条件：如图4，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 将军饮马与空间最短路径模型（平面内直线同侧两点到直线上一点的距离和最小） 图5：  条件：如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 1.核心思想：化曲为直（平面→直接构造直角三角形；立体→展开为平面再构造）； 2.解题步骤： 识别模型→转化图形（展开/连接）→构造直角三角形→用勾股定理计算→（立体图形）比较多种情况取最小值； 3.解题口诀： 最短路径找斜边，化曲为直是关键； 平面直接构直角，立体展开再计算； 勾股定理来帮忙，分类讨论防漏解。 模型1.平面图形中的最短路径 例1（25-26八年级下·全国·周测）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从处快速到达图书馆处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若，，则标牌上“■”处的数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握利用勾股定理计算直角三角形的边长，再通过路程差计算少走的距离是解题的关键． 先在直角三角形中用勾股定理求出的长度，再计算绕行路程与直线路程的差，得到少走的距离． 【详解】解：∵草地为长方形， ∴，为直角三角形 ∵在中，斜边，直角边， ∴根据勾股定理，另一条直角边 ∵行人若不穿越草地，需走的路程为 ， ∴比直接穿过草地少走的距离为 ． ∴标牌上“■”处的数字是． 故答案为：． 例2（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，且，，，则，两点间的最短路径是（    ） A． B．20 C． D．24 【答案】B 【分析】过F作，交的延长线于，分别求出两直角边的长，再根据勾股定理解答即可. 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接． 在中， ， ， ． 故，两点间的最短路径是20． 故选：B. 【点睛】本题考查了构造直角三角形运用勾股定理计算线段的长度，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 模型2.在圆柱表面运动中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为 ． 【答案】52 【分析】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出即可得到解答． 【详解】解：将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半， ， 在中，， ， ∴需要丝带的长度最少为． 故答案为：52． 例2（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离为米． 故选：B． 例3（25-26八年级上·四川达州·月考）如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为 ． 【答案】米 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理． 将圆柱体侧面展开，通过勾股定理计算即可得解． 【详解】解：将圆柱体侧面展开如图： 此时米，米， 有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点， 米， 在中，米， 则彩带长至少为米． 故答案为：米． 模型3.在长方体表面运动中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵点P是的中点， ∴， 如图， ∴， ∴； 如图， ∴； 如图， ∴， ∵， ∴所走的最短路程是； 故选C． 例2（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根据题意画出长方体侧面展开图，作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，得到彩条最短长度为．根据勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图， 长方形为长方体侧面展开图，则，， 作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，， ∴彩条最短长度为， 在中，． 故选：C． 模型4.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 例1（25-26七年级上·全国·期中）如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面展开的最短路径问题．先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将台阶展开成平面图形，根据两点之间，线段最短得到最短路线，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示， 在中，，， ， 即一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是． 故选：C． 例2（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴它至少要走的路程， 故答案为：． 模型5.将军饮马与空间最短路径模型 例1（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题、轴对称的性质，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，将圆柱的侧面展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出结果． 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面展开， 则有，，， 作点关于的对称点，作交的延长线于点， 则，， ， ． 故选：A． 例2（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短．在直角中，， ∴∴最短路线长为cm.故答案为：． 1． （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键． 根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体部分展成平面图如图，则的长为蚂蚁爬行的最短距离， 由题意，，， ∴， 故选：B． 2． （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，根据圆柱的侧面展开图为矩形，可知蚂蚁需爬行的最短距离为线段，根据两点之间，线段最短可得解． 【详解】解：如图所示，蚂蚁需爬行的最短距离为线段， 故选：A． 3． （25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在底面周长约为的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A处沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶点C，且B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约，则这串装饰彩灯至少长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈灯的长度，最后乘2即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意把圆柱体的侧面展开， 由条件可知米，米， （米， 则这串装饰彩灯至少长为米． 故选：A． 4． （25-26八年级上·四川乐山·期末）如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路径问题，几何体展开图，勾股定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据长方体展开图，分三种情况进行讨论，利用勾股定理求出每种情况的路程，最后进行比较即可． 【详解】解：①如图所示， 根据勾股定理得； ②如图所示， 根据勾股定理得； ③如图所示， 根据勾股定理得； ∵ ∴最短路程为， 故选：B． 5． （25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的A点沿礼盒的表面爬到盒内的B点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将立体图形展开，作A关于的对称点C，连接，得到如下图形，此时即为所求， 根据题意，得，，， ∴， 故选：D． 6． （25-26八年级上·江西九江·期中）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片． 本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开矩形，则， ∵矩形对边平行相等， ∴ ∴． 故答案为：10． 7． （2025九年级·全国·专题练习）圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从点沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路线长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何体的展开图与最短路径问题，首先根据圆柱的主视图和俯视图的尺寸确定展开矩形的长和宽，利用勾股定理求得对角线的长即可． 【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段的长， ∵，为底面半圆弧长，即， ∴． 故答案为：． 8． （25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，无盖长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短路程为 cm. 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开－最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解决问题．要求长方体中两点之间的最短路径，由于这是无盖长方体盒子，即无长方体的上表面，所以最短路径只能经过右面和前面，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】由于这是无盖长方体盒子，即无长方体的上表面，所以最短路径只能经过右面和前面，两面展开如下图所示： 两点之间线段最短，此时． 故最短路程为． 9． （25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 【答案】130 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高，宽，长， ∴，， ∴在中，． 故答案为：130． 10． （25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 11． （25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，圆柱底面圆的周长为8cm，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，把立体图形展开成平面图形，依题意，从A到C缠绕了一圈半，则，，根据两点之间线段最短求出长即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∵无弹性的丝带从A至C，绕了圈，圆柱底面圆的周长为， ∴展开后，， 由勾股定理得：； 故答案为：． 12． （2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是 ． 【答案】41 【分析】要解决蚂蚁从点爬到点的最短路线长度的平方问题，需将立体组合体的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形问题，再通过勾股定理计算．关键是确定展开后直角三角形两条直角边的长度． 【详解】由20个棱长为1的小正方体搭成组合体，观察结构可知：组合体的长为、宽为、高为．蚂蚁在立体表面爬行的最短路径，需将表面展开为平面．点与点在同一平面内形成直角三角形，其两条直角边分别为： 水平方向：宽与高之和，即； 垂直方向：长，即． 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和．因此，最短路线长度的平方为： 故答案为：41 【点睛】本题的核心是将立体图形表面展开为平面图形，把空间中的最短路径问题转化为平面上的直角三角形问题，再利用勾股定理求解．关键在于准确分析组合体的长、宽、高，并选择合适的展开方式确定直角边长度． 13． （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点是的中点.现有一只蚂蚁从点沿圆柱外表面爬到点处，则蚂蚁所爬行的最短路程为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题．画出展开图，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵圆柱底面周长为20，高为12， ∴，， 根据勾股定理可得． 故答案为：13． 25． 14． （25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键． 将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 故答案为：． 15． （25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路程是 cm． 【答案】 【分析】过B作于，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：将正方体的正面和侧面展开如图，过点作于点，连接． 在中，，， ． 由勾股定理，得． 故从点爬到点的最短路程是． 故答案为： 【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理，解题的关键是正确的识别图形． 16． （25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上，若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，则旋梯的扶手长度l的最小值为 （本题中）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平移的性质，如图1所示，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点B重合，此时点E与点重合，如图2所示，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时l有最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，其中为平台， 将向左平移使得点C与点B重合，此时点E与点重合，如图2所示， 由平移的性质可得，则 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时l有最小值， ∵油罐底面圆直径约为，高为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴旋梯的扶手长度的最小值为， 故答案为：． 17． （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上．若，点到的距离为6m，现要从点处靠墙和地面铺设管道至点处，则管道的长度最短为 m． 【答案】 【分析】可将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将墙面与地面展开如图， 过点作于点，连接，管道沿铺设长度最短． 在中，，， ． 在中，，， ． 故管道的长度最短为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 18． （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图3所示，线段即为所求； （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 19． （25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 20． （25-26八年级上·山东·期末）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【答案】村庄A到村庄B的最短路线为6千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找出最短路径是解决本题的关键． 将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线，先求出到B的垂直距离，再根据勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线， 由题意得，到B的垂直距离为， 由勾股定理得：， ∴总路径为 ， ∴村庄A到村庄B的最短路线为6千米． 21． （25-26七年级上·江苏无锡·月考）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为，，的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【方案设计】 为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线． ①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）； ②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段； （2）比较验证 ③比较，，三种爬行路线的长短后可得，线段，，中最短路线是________； 【问题回归】 定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用进行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题． （3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则最小值为_____． 【答案】（1）①上，后；②见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理； （1）①观察图形即可得到答案； ②补充由前面与右面展开得到的平面图形，即可求解； （2）比较大小，即可求解； （3）根据（1）的方法，画出三种不同的爬行路线，结合定义，分别计算，比较大小，即可求解． 【详解】解：（1）图④是由上面与后面展开得到的平面图形， 故答案为：上，后． ②如图所示，由前面与右面展开得到的平面图形 （2），，， ∵， ∴线段，，中最短路线是， 故答案为：． （3）如图，由左面与后面展开得到的平面图形 根据定义可得； 如图，由上面与后面展开得到的平面图形 根据定义可得； 如图，由上面与右面展开得到的平面图形 根据定义可得； ∵， ∴最小值为． 故答案为：． 22． （2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 23． （25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解． （1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可； （3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 24． （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【答案】任务一：；任务二：小星的猜想对，理由见解析；任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质； 任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； 任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； 任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理应用模型之最短路径问题 勾股定理是初中几何的核心内容，也是连接代数与几何的重要桥梁，其核心价值在于将直角三角形的“形”与边长的“数”紧密结合，实现数形转化。在本章的实际应用中，“最短路径问题”是最基础、最高频的考点之一，它广泛存在于我们的生活场景中——从操场散步的最短路线，到长方体礼盒表面的包装路径，再到工业生产中的线路规划，都离不开勾股定理的支撑。 为了帮助大家快速识别这类问题的共性、掌握解题规律，我们将其归纳为“勾股定理最短路径模型”。本讲将从模型的来源入手，通过严谨的模型证明，明确模型的核心结论，再结合分层例题与精练题，教大家熟练运用模型解决平面、立体图形中的最短路径问题，夯实勾股定理应用基础，培养“化曲为直”的数学思想，为后续复杂几何模型的学习和期中、期末提分奠定坚实基础。 2 模型引入 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型核心总结 6 模型运用 6 9 生活中，我们经常会遇到“找最短路径”的问题：比如，从家里到学校，走直路比走弯路近；在长方形操场的一个顶点，走到对角的另一个顶点，沿操场边缘走和穿操场内部走，哪种路径更短？ 这些问题都可以用勾股定理解决——我们把这类“利用‘两点之间，线段最短’，将路径转化为直角三角形斜边，再用勾股定理求解”的问题，统称为勾股定理最短路径模型。 本专题我们重点学习两类高频模型：平面图形中的最短路径、立体图形表面的最短路径，均是沪科版八下期中、期末的基础必考点。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，由题意得：，， ∵底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 模型一：平面图形中的最短路径 常见平面图形：长方形、正方形、直角三角形、不规则平面图形（可分割为直角三角形）； 条件：两个定点，路径需沿图形边缘或内部走，求两点之间的最短路径； 关键技巧：若路径可直接连接为线段，且线段在图形内/边缘，则线段长度即为最短路径；若路径为折线（如沿长方形边缘走），则转化为直角三角形，用勾股定理求解。 典型图形与解读：如图1，在长方形ABCD中，求点A到点C的最短路径。根据两点之间线段最短得，最短路径直接连接AC，AC为长方形对角线，此时△ABC（或△ACD）为直角三角形，直角边为AB、BC，根据勾股定理可得斜边为； 图1： 模型二：立体图形表面的最短路径 常见立体图形：长方体、立方体、圆柱侧面（沪科版八下重点考查长方体/立方体）； 核心条件：两个定点分别在立体图形的两个表面，求沿立体图形表面走的最短路径； 关键技巧：将立体图形表面展开为平面图形（化曲为直），转化为平面图形中的最短路径问题，再构造直角三角形，用勾股定理求解； 注意：长方体有多种展开方式，需判断哪种展开方式的路径最短。 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 图:2： 条件：如图2，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 图3： 条件：如图3，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 图4： 条件：如图4，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 将军饮马与空间最短路径模型（平面内直线同侧两点到直线上一点的距离和最小） 图5：  条件：如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 1.核心思想：化曲为直（平面→直接构造直角三角形；立体→展开为平面再构造）； 2.解题步骤： 识别模型→转化图形（展开/连接）→构造直角三角形→用勾股定理计算→（立体图形）比较多种情况取最小值； 3.解题口诀： 最短路径找斜边，化曲为直是关键； 平面直接构直角，立体展开再计算； 勾股定理来帮忙，分类讨论防漏解。 模型1.平面图形中的最短路径 例1（25-26八年级下·全国·周测）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从处快速到达图书馆处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若，，则标牌上“■”处的数字是 ． 例2（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，且，，，则，两点间的最短路径是（    ） A． B．20 C． D．24 模型2.在圆柱表面运动中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为 ． 例2（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 例3（25-26八年级上·四川达州·月考）如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为 ． 模型3.在长方体表面运动中的最短路径模型 例1（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 模型4.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 例1（25-26七年级上·全国·期中）如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 模型5.将军饮马与空间最短路径模型 例1（25-26八年级上·广东茂名·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（    ） A． B． C． D． 例2（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 1． （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 2． （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱外的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离外上底面的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（    ） A． B． C． D． 3． （25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在底面周长约为的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A处沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶点C，且B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约，则这串装饰彩灯至少长为（   ） A． B． C． D． 4． （25-26八年级上·四川乐山·期末）如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 5． （25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 6． （25-26八年级上·江西九江·期中）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 7． （2025九年级·全国·专题练习）圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从点沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路线长为 ． 8． （25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，无盖长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短路程为 cm. 9． （25-26九年级上·北京·月考）步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 10． （25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 11． （25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，圆柱底面圆的周长为8cm，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm． 12． （2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是 ． 13． （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点是的中点.现有一只蚂蚁从点沿圆柱外表面爬到点处，则蚂蚁所爬行的最短路程为 ． 14． （25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为 ． 15． （25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路程是 cm． 16． （25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上，若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，则旋梯的扶手长度l的最小值为 （本题中）． 17． （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上．若，点到的距离为6m，现要从点处靠墙和地面铺设管道至点处，则管道的长度最短为 m． 18． （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 19． （25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 20． （25-26八年级上·山东·期末）如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 21． （25-26七年级上·江苏无锡·月考）十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表了“蚂蚁爬行”的问题．问题是：如图①，在一个长、宽、高分别为，，的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙与后墙及地面的墙角处（即M点处），苍蝇正好在左面墙与房顶相交位置（即N点处），并且距离后面墙，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ 【方案设计】 为了研究上面提出的“蚂蚁爬行”的最短路线问题，小明先进行了如下操作；如图②，是由个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，沿什么路线爬行所走路程最短？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线． ①填空：例如：图③是由上面与右面展开得到的平面图形；图④是由_______面与________面展开得到的平面图形（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）； ②画图：3种不同的爬行路线，小明已经画出了其中两种，请你在网格中补充出第三种展开得到的平面图，并画出相应的最短路线，即线段； （2）比较验证 ③比较，，三种爬行路线的长短后可得，线段，，中最短路线是________； 【问题回归】 定义：如图⑤，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．数学语言表达：如图，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可用进行相关计算．请你试着用从上面定义中学到的新知识解决你遇到的问题． （3）最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图①），若那只蚂蚁所走的路程用d表示，则最小值为_____． 22． （2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 23． （25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 24． （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是__________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $