精品解析：江苏淮安市2025-2026学年度第一学期学业监测九年级数学试题

2025～2026学年度第一学期学业监测 九年级数学试题 注意事项： 1．全卷共6页，满分150分；测试时长为120分钟． 2．请将姓名、考号等认真填涂在答题卡的相应位置上． 3．选择题答案，请使用2B铅笔填涂；非选择题答案，请用0.5毫米黑色钢笔或墨水笔直接写在答题卡上，答案写在本试卷上或答题卡规定区域以外均无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分．请将答案涂到答题卡上，每个题目只有一个正确选项．） 1. 方程的解是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： ∴， 即，． 故选：B． 2. 已知的半径为4，当时，点P与的位置关系为（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心的距离与半径的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点P在外． 故选：B． 3. 在一个不透明的布袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外都相同，其中白球4只，红球5只，黑球3只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，直接应用概率计算公式即可求解． 【详解】解：袋中球的总个数为（只）， 随机从袋中取出1只球，共有12种等可能的结果，取出黑球的情况有3种， ∴取出黑球的概率是． 故选：C． 4. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：A． 5. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出的值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴． 故选：C． 6. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 7. 如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为，将以点为位似中心放大后得到，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，根据网格可知与的位似比是，再根据位似三角形的面积比等于位似比的平方可得结果． 【详解】解：由网格图可知，将以点为位似中心放大后得到，， ， ， 与的面积之比是． 故选：D． 8. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在中高光照强度范围内，y与x近似成二次函数关系，其部分图象如图所示．根据图象判断，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y有最小值 C. 当时， D. 当时，y有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，随的增大先增大、后减小，故此选项结论错误，不符合题意； B、当时，，此时不是的最小值，故此选项结论错误，不符合题意； C、当时，，故此选项结论错误，不符合题意； D、由图象可得，图象开口向下，且对称轴为，故当时，y有最大值，故此选项结论正确，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共126分） 二、填空题（本大题共8小题，每题3分．请将答案写在答题卡上） 9. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由可得，将其代入所求表达式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 函数的图象向下平移2个单位长度后，所得图象相应的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，熟练掌握函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 根据二次函数图象平移规律即可求解． 【详解】解：∵函数的图象向下平移2个单位长度， ∴所得图象相应的函数表达式为． 故答案为：． 11. 某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准、音色、表现力的分数分别是8分，10分，5分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是______分． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据给定的分数和比例，使用加权平均数公式求解即可． 【详解】解：（分）， 则小雨的最终成绩是8分． 故答案为：8． 12. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据公式计算即可求解 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为， 故答案为：． 14. 若m是一元二次方程的一个根，则多项式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根、求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义可得，则，再整体代入到多项式求值即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 16. 如图，在菱形中，，点E在边上，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、翻折的性质、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 在的延长线上取一点，使得，则，根据菱形的性质得到，，，进而得到，设，则，根据翻折的性质得到，，，通过证明，得到，列出关于的方程，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，在的延长线上取一点，使得， 则， ∵菱形， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则， 由翻折的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和完全平方公式是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用完全平方式将变形为：，再开方解出即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 或． 【小问2详解】 ， ， ， 或， 解得：或． 18. 为了弘扬优秀传统文化，某校增设三类兴趣班：A京剧班、B剪纸班、C泥塑班． （1）小明任选一个兴趣班，恰为泥塑班的概率是______； （2）小明同学从这三类兴趣班中随机选择两类，用画树状图或列表的方法，求恰好选中A、B两类兴趣班的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【小问1详解】 解：共有3种等可能的情况，其中恰好选中泥塑班的情况有1种， ∴恰为泥塑班的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可得，共有6种等可能的结果，其中恰好选中A、B两类兴趣班的情况有2种， ∴恰好选中A、B两类兴趣班的情况的概率． 答：恰好选中A、B两类兴趣班的情况的概率为． 19. 为加强安全教育、培养安全意识，某校从七、八年级各随机抽取50名学生参加安全知识竞赛，测试成绩整理如下： 频数统计表 分值/分 6 7 8 9 10 七年级人数 2 18 5 17 8 八年级人数 10 3 17 6 14 数据分析表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 8.22 8.22 中位数 a 8 众数 7 b 方差 1.45 2.05 满分率 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：______，______，______； （2）你认为哪个年级的学生对安全知识的掌握情况更好？请至少用2个统计量说明理由． 【答案】（1）；8； （2） 七年级学生对安全知识的掌握情况更好， 理由：①七年级成绩的中位数高于八年级的，说明七年级中间水平学生的成绩更优； ②七年级成绩的方差小于八年级的，说明七年级成绩更稳定（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可； （2）可以根据中位数和方差做决策． 【小问1详解】 解：抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数， 频数统计表可得七年级得分的中位数； 八年级得分为8分的人数最多为17人， ∴众数； 八年级的得分满分率为：， 故答案为：；8；； 【小问2详解】 略 20. 如图，，． （1）与相似吗？为什么？ （2）如果，，那么的长为多少？ 【答案】（1） 解：与相似， 理由：， ， ， 在和中， ， ； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题的关键． （1）根据得出，进而得出； （2）由，得到比例式，代入数值即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∵，， ， ． 21. 如图，内接于，仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在上找一点P，使得； （2）如图2，在上找一点Q，使得． 【答案】（1） 如图1，点即为所求作： （2） 如图2，点即为所求作： 【解析】 【分析】本题考查了作图——复杂作图，圆周角，掌握圆周角定理是解题关键． （1）连接并延长交于点，连接，由是直径，则，即可得解； （2）连接并延长交于点，连接，则是直径，由同弧所对的圆周角相等可得，由直径所对的圆周角是直角可得，则，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知二次函数（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 【答案】（1） 证明：令，则， ， ∵， ∴， 即， ∴无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2），另一个交点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根的判别式； （1）通过计算判别式的值，再根据判别式的符号即可证明； （2）代入到，求出k的值，进而求出另一个交点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：代入得，， 解得， 当时，， 令，则， 解得，， ∴另一个交点的坐标为． 23. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式； （1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积． 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 25. 已知函数，，函数与组成一个新函数，图像记为． （1）若点在图像上，求的值； （2）当时，求函数最大值与最小值的差； （3）点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图像有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是______． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像的性质，二次函数的图像与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据点的横坐标判断其对应函数的分段解析式，代入计算即可； （）分和两段分别分析函数的最值情况，确定整个函数在给定区间内的最大值与最小值，再计算差值即可； （）先确定直线与图像有三个交点时的纵坐标范围，利用二次函数对称性求两根之和，结合一次函数交点横坐标，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点在图像上，且， ∴将代入得； 【小问2详解】 解：当时，，该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值，； 当时，； 当时，； ∴在时，的取值范围是； 当时，，该一次函数，随的增大而减小， 当时，取得最小值，； 当趋近于时，趋近于， ∴在时，的取值范围是， 综上，函数在时的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∵直线与图象有三个不同的交点， ∴直线与有两个交点，与有一个交点， 由，其开口向上，顶点坐标为，当时，， ∴当时，与有两个交点， 设这两个交点的横坐标为，， ∵二次函数的对称轴为， ∴根据二次函数的对称性，， 对于，令，得，即， ∵， ∴，解得， 又∵，该条件成立， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 26. 圭表测影． 圭表，是华夏先民叩问天地节律的古老标尺，以表立极，以圭量影．它借正午日影的消长盈缩，标定四时更迭、推演岁时轮回，是中国古代观象授时智慧的不朽见证．图1是古代圭表实物图，圭是水平放置的标尺，通常刻有刻度，用于测量影子的长度；表垂直立于圭面的南端，用于产生影子、通过观察正午时表影的长短变化，可以确定季节的变化． （1）图2是圭表示意图，从夏至到冬至的淮安正午太阳高度角（正午太阳光线与地平面的夹角，即）逐渐减小，则圭表中刻度①、②、③表示的节气可能依次为下列选项中的______（填序号）． ①夏至、秋分、冬至 ②夏至、冬至、秋分 ③秋分、夏至、冬至 （2）探索小组利用圭表测量淮安的纬度．图3表示淮安当日正午的太阳光照示意图，此时太阳直射点所在纬度为南纬，并测得正午太阳高度角为．求淮安（即观测点B）的纬度（注：纬度＝某点与地心O的连线和地球赤道面所夹锐角（如）；太阳直射点所在纬度＝太阳光线与赤道面所夹锐角（如）；地平线近似为过该点与球面相切的直线（如直线）；太阳光线为平行光线． （3）探索小组探究点光源下圭表成影规律，如图4，在水平地面上建立平面直角坐标系，在O点处竖直放置一个高为4的点光源A，将表高为1的圭表顶点C放置在抛物线上，并保持圭表沿射线方向摆放，俯视图如图5所示．小组成员发现：表的影子随着圭表位置的变化而变化，求圭表在运动过程中，影长的最小值． 【答案】（1）① （2）北纬 （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，勾股定理； （1）由太阳高度角的定义和变化规律即可求解； （2）由题意得：，，，，据此求出的度数即可，结合地理位置即可得出结果； （3）先证明得出，求的最小值即是求的最小值，点C在抛物线上，设，，利用勾股定理可表示出，即可求出的最小值，进而求出的最小值． 【小问1详解】 解：∵从夏至到冬至的淮安正午太阳高度角逐渐减小， 又∵圭表中刻度①的正午太阳高度角最大，③的正午太阳高度角最小， ∴圭表中刻度①表示的节气为夏至，③表示的节气为冬至， ∴②表示的节气应在夏至之后，冬至之前的， ∴②表示的节气为秋分． 故选：①． 【小问2详解】 解：由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故淮安的纬度为北纬． 【小问3详解】 解：如图4所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵点C在抛物线上， 设，， ∴， ∴当，即时，，即，此时的值最小， ∴， 故影长的最小值为． 27. 在几何学习中，“式结构”联想到“形结构”是发现结论和探索方法的重要路径．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） 【阅读理解】 （1）对于、两个角，满足一定的数量关系时，可以从“形结构”上去理解，下表是小明同学总结出来的部分内容，请完成填空： 式结构 形结构 __________ 【初步应用】 （2）如图1，在中，，，，，求的长； 【灵活应用】 （3）如图2，在中，点D在边上，连接，若，，求的值； 【学以致用】 （4）如图3，在中，，边的垂直平分线分别交、于点D、E，点M在边上，与交于点N，若，，，则的面积为______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据“形结构”即可得出“式结构”； （2）先证明，得到，则有，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可求解； （3）延长至点，使得，连接，根据以及平角的定义得出，进而证明，则，再根据三角形面积之间的比例关系即可求解； （4）作的垂直平分线分别交、于点、，作于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，，，先证明，得到，设，再证明，得到，列出关于的方程，求得，；通过证明可求得，再分别证明，，得到，，利用线段的和差求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，； 故答案为：； （2）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴； （3）如图2，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）如图3，作的垂直平分线分别交、于点、，作于点，连接， 则，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、勾股定理、全等三角形的性质与判定、垂直平分线的性质、三角形面积公式、一元二次方程的应用，添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期学业监测 九年级数学试题 注意事项： 1．全卷共6页，满分150分；测试时长为120分钟． 2．请将姓名、考号等认真填涂在答题卡的相应位置上． 3．选择题答案，请使用2B铅笔填涂；非选择题答案，请用0.5毫米黑色钢笔或墨水笔直接写在答题卡上，答案写在本试卷上或答题卡规定区域以外均无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分．请将答案涂到答题卡上，每个题目只有一个正确选项．） 1. 方程的解是（ ） A. B. ， C. D. 2. 已知的半径为4，当时，点P与的位置关系为（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 不能确定 3. 在一个不透明的布袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外都相同，其中白球4只，红球5只，黑球3只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为，将以点为位似中心放大后得到，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 8. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在中高光照强度范围内，y与x近似成二次函数关系，其部分图象如图所示．根据图象判断，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y有最小值 C. 当时， D. 当时，y有最大值 第Ⅱ卷（非选择题，共126分） 二、填空题（本大题共8小题，每题3分．请将答案写在答题卡上） 9. 若，则的值为______． 10. 函数的图象向下平移2个单位长度后，所得图象相应的函数表达式为______． 11. 某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准、音色、表现力的分数分别是8分，10分，5分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是______分． 12. 二次函数的顶点坐标为______． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 14. 若m是一元二次方程的一个根，则多项式的值为______． 15. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 16. 如图，在菱形中，，点E在边上，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处，若，则的长度为______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 为了弘扬优秀传统文化，某校增设三类兴趣班：A京剧班、B剪纸班、C泥塑班． （1）小明任选一个兴趣班，恰为泥塑班的概率是______； （2）小明同学从这三类兴趣班中随机选择两类，用画树状图或列表的方法，求恰好选中A、B两类兴趣班的概率． 19. 为加强安全教育、培养安全意识，某校从七、八年级各随机抽取50名学生参加安全知识竞赛，测试成绩整理如下： 频数统计表 分值/分 6 7 8 9 10 七年级人数 2 18 5 17 8 八年级人数 10 3 17 6 14 数据分析表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 8.22 8.22 中位数 a 8 众数 7 b 方差 1.45 2.05 满分率 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：______，______，______； （2）你认为哪个年级的学生对安全知识的掌握情况更好？请至少用2个统计量说明理由． 20. 如图，，． （1）与相似吗？为什么？ （2）如果，，那么的长为多少？ 21. 如图，内接于，仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在上找一点P，使得； （2）如图2，在上找一点Q，使得． 22. 已知二次函数（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 23. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 25. 已知函数，，函数与组成一个新函数，图像记为． （1）若点在图像上，求的值； （2）当时，求函数最大值与最小值的差； （3）点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图像有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是______． 26. 圭表测影． 圭表，是华夏先民叩问天地节律的古老标尺，以表立极，以圭量影．它借正午日影的消长盈缩，标定四时更迭、推演岁时轮回，是中国古代观象授时智慧的不朽见证．图1是古代圭表实物图，圭是水平放置的标尺，通常刻有刻度，用于测量影子的长度；表垂直立于圭面的南端，用于产生影子、通过观察正午时表影的长短变化，可以确定季节的变化． （1）图2是圭表示意图，从夏至到冬至的淮安正午太阳高度角（正午太阳光线与地平面的夹角，即）逐渐减小，则圭表中刻度①、②、③表示的节气可能依次为下列选项中的______（填序号）． ①夏至、秋分、冬至 ②夏至、冬至、秋分 ③秋分、夏至、冬至 （2）探索小组利用圭表测量淮安的纬度．图3表示淮安当日正午的太阳光照示意图，此时太阳直射点所在纬度为南纬，并测得正午太阳高度角为．求淮安（即观测点B）的纬度（注：纬度＝某点与地心O的连线和地球赤道面所夹锐角（如）；太阳直射点所在纬度＝太阳光线与赤道面所夹锐角（如）；地平线近似为过该点与球面相切的直线（如直线）；太阳光线为平行光线． （3）探索小组探究点光源下圭表成影规律，如图4，在水平地面上建立平面直角坐标系，在O点处竖直放置一个高为4的点光源A，将表高为1的圭表顶点C放置在抛物线上，并保持圭表沿射线方向摆放，俯视图如图5所示．小组成员发现：表的影子随着圭表位置的变化而变化，求圭表在运动过程中，影长的最小值． 27. 在几何学习中，“式结构”联想到“形结构”是发现结论和探索方法的重要路径．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） 【阅读理解】 （1）对于、两个角，满足一定的数量关系时，可以从“形结构”上去理解，下表是小明同学总结出来的部分内容，请完成填空： 式结构 形结构 __________ 【初步应用】 （2）如图1，在中，，，，，求的长； 【灵活应用】 （3）如图2，在中，点D在边上，连接，若，，求的值； 【学以致用】 （4）如图3，在中，，边的垂直平分线分别交、于点D、E，点M在边上，与交于点N，若，，，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $