23.1 一次函数的概念-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦一次函数概念，涵盖正比例函数与一次函数的定义、解析式及应用。通过京沪高铁行程问题导入，结合圆周长、铁块质量等实例抽象出正比例函数，再以蟋蟀鸣叫、体重计算等问题过渡到一次函数，构建从具体到抽象的知识支架。 以真实情境问题链驱动教学，如高铁行程、汽车耗油等实例培养数学眼光，通过概念辨析与例题推理发展数学思维，用函数解析式表达实际关系提升应用意识。助力学生构建知识体系，帮助教师高效落实核心素养。

第二十三章　一次函数 23.1　一次函数的概念 第 3 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 1.理解正比例函数、一次函数的概念. 2.会求正比例函数、一次函数的解析式，能利用正比例函数、一次函数解决简单的实际问题.（重点、难点） 一、问题导入 京沪高速铁路全长1318千米. 设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题： （1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？ （2）京沪高铁的行程y（km）与时间t（h）之间有何数量关系？ （3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？ 二、课堂新授 知识点1：正比例函数的概念 问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式： （1）圆的周长l 随半径r的变化而变化． （2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化． （3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化． （4）冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化． 问题2 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量． 归纳总结 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 练一练 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？ 例1 已知函数 y=(m+1) 是正比例函数，求m的值. 知识点2：正比例函数的解析式及其简单应用 例2 已知正比例函数当自变量x等于-4时，函数y的值等于2. （1）求正比例函数的解析式；（2）求当x=6时函数y的值. 例3 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油为5元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数； （2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？ 知识点3：一次函数的概念 问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式. （1）有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c 与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是 t 的7 倍与35的差； （2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是G 的值； （3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）； （4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化． 问题3 观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？ 知识要点 一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数. 思考：一次函数与正比例函数有什么关系？ （1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx（k≠0），此时该一次函数是正比例函数. （2）正比例函数是一种特殊的一次函数. 练一练 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1）y=-8x； （2） ； （3）y=5x2+6；（4）y=-0.5x-1；（5） ；（6）y= ；（7）y=2（x-4）；（8） . 例1 已知函数y=（m-1）x+1-m2 （1）当m为何值时，这个函数是一次函数? （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数? 例2 已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k 和 b 的值． 知识点4：一次函数的简单应用 例3 我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元. （1）当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y（元）与收入x（元）之间的函数解析式. （2）某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？ （3）如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？ 例4 如图，△ABC是边长为x的等边三角形. （1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值. （2）当h=时，求x的值. （3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？ 三、巩固练习 1.下列说法正确的是（ ） A.一次函数是正比例函数. B.正比例函数不是一次函数. C.不是正比例函数就不是一次函数. D.正比例函数是一次函数. 2.在函数①y=2-x,②y=8+0.03t,③y=1+x+, ④y=中，是一次函数的有_________. 3.在函数y=（m-2）x+（m2-4）中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y是x的正比例函数. 4.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s． （1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式．它是一次函数吗？ （2）求第2.5 s 时小球的速度； （3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？ 四、课堂小结 1．一次函数的定义：形式：y=kx+b（k≠0）特别地，当b=0时，y=kx（k≠0）是正比例函数 2．列一次函数的解析式 3．利用一次函数解决简单的实际问题 五、布置作业 教材P115练习 名校作业P81 $