专题 1.11 角平分线（专项练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.11 角平分线（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线定理，根据已知条件结合角平分线定理可得出，从而求得的值． 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，作于点，根据角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 解：作于点， ∵平分交于点D，，即， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∴； 故选C． 3．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得平分，进而得到即可． 解：∵，， ∴平分， ∴； 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）人字梁架是中国传统木构建筑中常见的屋顶支撑结构，被广泛应用于民居和古建中，它不仅具有良好的力学稳定性，还便于排水和承载屋顶重量．如图，在房屋人字梁架中，，点D在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及角平分线定义，利用等腰三角形三线合一的性质及角平分线定义分析各选项即可． 解：A、∵， ∴是等腰三角形， 当时，是等腰底边上的中线， 根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线三线合一， ∴也是底边上的高， 即，故A项不符合题意； B、当平分时，是等腰顶角的平分线， 根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线三线合一， ∴也是底边上的高， 即，故B项不符合题意； C、∵， 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等， ∴是必然成立的， 仅由，不能直接得出，故C项符合题意； D、∵， 又∵， ∴， 即，故D项不符合题意， 故选：C． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度即可． 解：∵，，， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：D． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形的内角和，掌握以上知识是解答本题的关键；根据角平分线的判定求得是的角平分线，然后根据三角形的内角和知识求得，然后即可求解． 解：连接，如图： ∵于点，于点，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 7．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 8．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知射线在内部，点P在射线上，于点E．尺规作图痕迹如图所示．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图、角平分线的判定定理、三角形外角的性质等知识点，掌握角平分线的判定定理是解题的关键． 由题意可得，结合已知条件可得的是的角平分线，易得，最后根据三角形外角的性质列式计算即可． 解：由作图过程可得：， ∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，三条角平分线将分为三个三角形，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质与三角形面积公式，掌握同高等底的三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 点是的内心，到三边的距离相等，三个小三角形的高相等，面积比等于对应底边的长度比． 解：∵是和角平分线的交点 ∴点到的距离相等 ∴三个小三角形的高相等 ∵，， ∴面积比等于底边比 ∵已知 ∴． 故选：C． 10．（25-26八年级上·四川眉山·期末）如图，中，，三角形两内角的角平分线交于点，交于，下列结论：①；②；③若，则；其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】依题意，如图，延长交于，于．根据三角形内角和性质以及直角三角形的两个锐角互余，得，利用角平分线的性质定理，证明，整理得，结合三角形的面积公式以及进行分析，得出，即可作答． 解：如图延长交于，于． ， ∴， ∵三角形两内角的角平分线交于点， ， ， ， ， ， ∵ ，故①正确， ，，， ， ，，， ， ， ，故②正确， ，平分， ， ， 即 ， ， ， ， ， 故③正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，三角形内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据题意可得，由角平分线的性质可得，即可得解． 解：如图，过点作于点， ，， ， 平分，，， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上这一判定定理是解题的关键． 先根据角平分线的判定定理，由且、，得出平分，再在中利用直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的平分线相交于点，连接并延长交于点，过点作于点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内心的性质，含角的直角三角形的性质，掌握三角形内心的性质是解题的关键． 先过点作的垂线，利用角平分线性质得垂线段相等，再由三角形内心性质得平分，求出的度数，最后在直角三角形中用 的性质求的长． 解：如图，过点作于点． 平分，，， ． 又平分， ∴点O为三角形内心， 平分， ， 在中，． 故答案为：6． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为 　． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，，证明，由勾股定理求出，证得，得到，同理，得到，即可求出的长． 解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 根据平行线间的距离处处相等的性质可得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 16．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是和的平分线，交于点，于点．若，，则的面积是 ． 【答案】15 【分析】过点作于点，根据角平分线的定义结合平行线的性质可得到，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理得出关于的方程，求出的值，再根据面积公式求出的面积即可． 解：如图，过点作于点． 平分， ． ， ， ， ． ，平分，， ． 又， ， ． 设． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， 解得，即， ， 的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，为角平分线上一点，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形的性质．过点作的延长线于点，由角平分线的性质可得，由平行线的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解． 解：过点作的延长线于点，则， ∵为角平分线上一点，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点．作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，由一次函数解析式可得，，即得，，得到，再根据角平分线的性质可得，即得到，，再分且点在轴的正半轴上，且点在轴的负半轴上和三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：把代入一次函数，得， ∴， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，， 当且点在轴的正半轴上时，如图，过点作轴于，则， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入一次函数，得， 解得， ∴； 当且点在轴的负半轴上时，如图，过点作轴于，则， 同理可证， ∴， 把代入一次函数，得， 解得， ∴； 当时，如图，过点作轴于，轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，把代入一次函数，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知为斜边上的高，的角平分线分别交，于点E，F，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质得出，，根据余角性质得出，根据，，得出，根据平行线的性质得出，最后根据等腰三角形的判定得出； （2）根据角平分线定义得出，根据直角三角形的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据即可得出答案． （1）证明：∵平分，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·周测）如图，，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分．(2)若，求点到的距离． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质的内容是解题的关键； （1）过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，，根据角平分线的性质得到线段相等，再根据线段相等得到角平分线； （2）利用第一问的结论得到角度，得出三角形的形状为等腰直角三角形推导出边相等，利用勾股定理得到点到的距离． （1）解：证明：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，． 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又，， 平分． （2）解：由（1）可知，平分， ， 为等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， ， ， ∴点到的距离为． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江西赣州·月考）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理： （1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解． （1）解：如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即点G到三边的距离相等； （2）解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F， ∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形内角和定理， 对于（1），根据“边角边”即可证明； 对于（2），由，可得，进而求得答案； 对于（3），作，，根据，可得，进而得，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案. （1）证明：∵， ∴， 即， 在中， ， ∴； （2）解：设交于点O， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：过点C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，． (1)在图1中作的平分线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． (3)如图2，平分，是线段上一点，延长交线段于点，，求证：． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作于点，由角平分线的性质得到，再结合三角形面积公式求解即可． （3）过点分别作于，于，根据角平分线的性质可得，再证明，即可得证． （1）解：即为的平分线，如图所示 （2）解：如图，过点作于点． 因为平分，，， 所以， 所以 （3）证明：过点分别作于，于． 平分 同理 在和中： 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·江西宜春·期末）【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （3）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可． （1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）解：根据折叠可知：，，， ； （3）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.11 角平分线（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）人字梁架是中国传统木构建筑中常见的屋顶支撑结构，被广泛应用于民居和古建中，它不仅具有良好的力学稳定性，还便于排水和承载屋顶重量．如图，在房屋人字梁架中，，点D在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B．平分 C． D． 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，点在边上，且于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 8．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知射线在内部，点P在射线上，于点E．尺规作图痕迹如图所示．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，三条角平分线将分为三个三角形，且，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·四川眉山·期末）如图，中，，三角形两内角的角平分线交于点，交于，下列结论：①；②；③若，则；其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为 ． 13．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是 ． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的平分线相交于点，连接并延长交于点，过点作于点．若，，则的长为 ． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点D，于点E，于点F，则CE的长为 　． 16．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是和的平分线，交于点，于点．若，，则的面积是 ． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，为角平分线上一点，，若，，则 ． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点．作的平分线交轴于点，点在轴上，点在射线上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知为斜边上的高，的角平分线分别交，于点E，F，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·周测）如图，，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分．(2)若，求点到的距离． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江西赣州·月考）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，． (1)在图1中作的平分线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． (3)如图2，平分，是线段上一点，延长交线段于点，，求证：． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·江西宜春·期末）【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $