专题 1.10 线段的垂直平分线（专项练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.10 线段的垂直平分线（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．先求出，再由线段垂直平分线的性质推出，即可作答． 解：∵， ∴， ∵D在的垂直平分线上， ∴ 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，已知，垂直平分，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则，据此可得答案． 解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线，根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可． 解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； C、如图， ，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意； D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长． 解：∵，， ∴垂直平分， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·浙江金华·月考）在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点P，连结，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得出，结合图形计算，得到答案． 解：在中，， 则， 由作法得：点P在的垂直平分线上， ∴， ， ， 故选：D． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的长为10，则△的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 解：根据尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ， 的周长， 故选：C． 7．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，．分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若的周长为12，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三线合一的运用，掌握以上知识是关键． 根据作图得到是线段的垂直平分线，结合三线合一得到，由题意得到，由此即可求解． 解：根据作图得到，是线段的垂直平分线， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵的周长为12，即， ∴， ∴， 故选：B ． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接．为延长线上一点，，垂足为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的角度关系．关键是利用垂直平分线得到等腰三角形，再结合外角性质和直角三角形两锐角互余求解． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； 故选：B． 9．（25-26八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题．连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：A． 10．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，，，平分，点D，E关于对称，连接并延长，与的延长线交于点F，连接．以下结论：（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、线段垂直平分线的性质．根据点D，E关于对称，可得垂直平分，即可判断①错误；根据垂直平分，连接，可得，证明，可得，即可判断②；结合①②证明，可得，，得到，进而证明角F的度数，即可判断③；在中，根据勾股定理，得，根据，即可判断④． 解：①∵点D、E关于对称， ∴垂直平分，不是垂直平分，所以①错误； ②∵垂直平分， ∴， ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ③∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，所以③正确； ④在中，根据勾股定理，得： ， ∵， ∴， ∴，所以④正确． 综上所述：正确的是②③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·内蒙古兴安·期末）如图，，，直线为线段 的垂直平分线． 【答案】/ 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，然后问题可求解． 解：∵，， ∴直线垂直平分，即直线为线段的垂直平分线； 故答案为． 12．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．由作图过程可得、垂直平分，进而得到、、，即；由直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得即可解答． 解：由题意得，， ∴， 由作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得到，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换、线段垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识．如图，连接交于O，作于H．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出，在中，利用勾股定理即可解决问题． 解：如图，连接交于O，作于H． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，交于点O，点O在线段的垂直平分线上，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】由可得，，由线段垂直平分线的性质，结合等边对等角，可得，可得，由三角形的内角和定理，即可得的度数． 解：∵， ∴，， ∵点O在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等边对等角． 15．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，为的中点，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点、为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂线的尺规作图和性质，勾股定理，等面积法．熟练掌握等面积法的应用是解题关键． 利用勾股定理求出，则，进而求，再利用的面积求解即可． 解： ， ， 为的中点， ， ， ， 由作图轨迹可知， ， 解得． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，解答即可． 本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握性质是解题的关键． 解：垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N， ∴，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），请求解以下问题： （1）点在运动的过程中， ； （2）当点在的延长线上时，用等式表示、、的关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键．（1）先连接，，再利用线段的垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和角平分线的定义，得出，最后再通过导角，即可得出答案；（2）先在上截取，连接，同理（1）得出，再利用等边三角形的判定与性质，得出，最后利用线段的和差、等量代换，即可得出答案． 解：（1）如图，连接，， 线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合）， ． ，， 平分， ． ， ， ，， ， ． ，， ， ，， 即，， ， ． 设，， 则． 在中，． ， ， 在中，， ． ， ． 故答案为：60； （2）当点在的延长线上时，如图所示，在上截取，连接， 由（1）可知，， 为等边三角形， ， ， ． 线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合）， ． 同理（1）可证得，， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 18．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则 °；若，，则的长为 ． 【答案】 45 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理． 连接并延长，作，交的延长线于点F，则，由，得到，由旋转得出，则，，可证明垂直平分，则，，推导出，进而证明，证明出，得，则，求得，由，，求得，，则，利用勾股定理得到，即可求得的值． 解：如图，连接并延长，作，交的延长线于点F，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵将边绕点C旋转至处， ∴， ∴，， ∵经过的中点E， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45，． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，一元一次方程的应用知识点，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理的应用是解题的关键． （1）先利用垂直平分线性质得到，再将已知等式变形，用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而得到， （2）设，用表示，再由得到，在中用勾股定理列方程求解． （1）证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是直角三角形 ∴， ． （2）解：设 ∵ ∴ ∵ ∴ 在 中， ∵ ∴ ∴ ∴。 ∴ ∴ ∴的长为． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作，使，（点与点在的同侧）； (2)在（1）的基础上，仅用无刻度直尺作出的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质． （1）以点为圆心，为半径作弧，以点为圆心，为半径作弧，两弧相交于点，则即为所求； （2）延长与相交于点，作直线，则直线即为的垂直平分线． （1）解：如图所示，△ABD即为所求； ； （2）解：如图所示，直线即为所求； ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，即可得证； （2）由点F是的中点，，得出为的平分线，从而得出，根据，得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出答案． （1）证明：为线段的垂直平分线， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ， ∴为等腰三角形． （2）解：∵垂直平分于点F， ∴点F是的中点， ∵， 为的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边的中点，交于点，交于点，的平分线在内交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求，满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1） 由垂直平分得，推出，再由平分得，从而，最后在中用内角和计算的度数． （2） 设，则，结合，用三角形内角和建立等式，推导与的关系式． （1）解：是边的中点，， ， ． 平分， ， ． ，， ， 即， ． （2）解：由（1）知． ，， ， 即， ． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，连接． (1)若，则的度数为_____． (2)若，的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线性质得出，从而得到等腰三角形，推导出再利用直角三角形两个锐角互余求出，最后通过角度的加减关系求得． （2）利用垂直平分线性质和角的条件，推导出，在中，利用角直角三角形的性质，设未知数表示三边，根据周长列出方程求解未知数，进而求出的两条直角边的长度，最后计算其面积． （1）解：是线段的垂直平分线 在中， ． （2）解：，， ． 是线段的垂直平分线， ， ， ， ． 设，则， ， ， ， ，，， ， 的面积． 【点睛】本题考查了直角三角形性质、线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、勾股定理和三角形面积公式，掌握利用垂直平分线性质构造等腰三角形并结合特殊角度的直角三角形性质求解边长是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，点为上的动点（与点均不重合），点在射线上，且． 【特例感知】 （1）若，则___________； 【问题探究】 （2）如图2，作线段的垂直平分线交所在的直线于点，连接，请判断线段与的位置关系，并写出推理过程； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，已知线段和的长度均为整数，求线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3）或1 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再根据等腰三角形的性质即可求解． （2）根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，于是得到结论； （3）连接，设，则，设，则，根据勾股定理得出，结合线段和的长度均为整数和点为上的动点（与点均不重合），即可得到结论． 解：（1）在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）， 理由如下：∵， ， ∵作线段的垂直平分线交所在的直线于点， ， ∴， ， ， ， ， ． （3）连接，设，则，设，则， ， ， ， 整理得：， ∵线段和的长度均为整数， ∴或， 即或1． 【点睛】该题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、勾股定理、二元一次方程的解、线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.10 线段的垂直平分线（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，已知，垂直平分，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 5．（25-26八年级上·浙江金华·月考）在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点P，连结，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的长为10，则△的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，．分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若的周长为12，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接．为延长线上一点，，垂足为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，，，平分，点D，E关于对称，连接并延长，与的延长线交于点F，连接．以下结论：（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·内蒙古兴安·期末）如图，，，直线为线段 的垂直平分线． 12．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为 ． 13．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得到，连接，则的长为 ． 14．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，交于点O，点O在线段的垂直平分线上，，则的度数为 ． 15．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，为的中点，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点、为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为 ． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N．若，则的度数为 ． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），请求解以下问题： （1）点在运动的过程中， ； （2）当点在的延长线上时，用等式表示、、的关系为 ． 18．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，等腰直角三角形中，，将边绕点C旋转至处，连接，取的中点E，连接并延长交的延长线于点M，则 °；若，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，已知． (1)求证：． (2)若，，求的长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作，使，（点与点在的同侧）； (2)在（1）的基础上，仅用无刻度直尺作出的垂直平分线． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边的中点，交于点，交于点，的平分线在内交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求，满足的关系式． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，连接． (1)若，则的度数为_____． (2)若，的周长为，求的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，点为上的动点（与点均不重合），点在射线上，且． 【特例感知】 （1）若，则___________； 【问题探究】 （2）如图2，作线段的垂直平分线交所在的直线于点，连接，请判断线段与的位置关系，并写出推理过程； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，已知线段和的长度均为整数，求线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $