专题 1.5 角平分线（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.5 角平分线（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 基础篇 1 【知识点一】角平分线性质 1 ★【题型 1】利用角平分线的性质求值 2 ★【题型 2】利用角平分线的性质证明 2 ★【题型 3】利用角平分线的性质与角平分线作图求值证明 4 【知识点二】角平分线的判定 5 ★【题型 4】利用角平分线的判定求值 5 ★【题型 5】利用角平分线的判定证明 6 ★【题型 6】利用角平分线的判定与尺规作图求值证明 7 培优篇 9 ★★【题型 7】角平分线的性质与判定综合求值证明 9 ★★【题型 8】角平分线的性质、判定与尺规作图综合求值证明 10 二.中考真题 12 （一）单选题（6题） 12 （二）填空题（6题） 14 （二）解答题（4题） 15 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 基础篇 【知识点一】角平分线性质 定理：定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ★【题型 1】利用角平分线的性质求值 【例题1】（25-26八年级上·福建南平·期末）如图，在中，平分，交于点． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，若，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，．点D在边上，满足，，连接． (1)______； (2)若平分，，求的长． ★【题型 2】利用角平分线的性质证明 【例题2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的平分线上一点，于点．点是射线上任意一点，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·月考）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，由此作法可得 ，其依据是“ ”． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·月考）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． ★【题型 3】利用角平分线的性质与角平分线作图求值证明 【例题3】（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 【变式1】（25-26八年级上·山东·期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【知识点二】角平分线的判定 定理：定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. ★【题型 4】利用角平分线的判定求值 【例题4】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为 ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． ★【题型 5】利用角平分线的判定证明 【例题5】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，锐角的两条高线、相交于点，且． (1)求证：； (2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，于点于点相交于点．有下列结论： ①；②；③点在的平分线上．其中正确的是 （填序号）． 【变式3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，，垂足分别为D、E，、交于点O，． (1)求证：； (2)求证：平分． ★【题型 6】利用角平分线的判定与尺规作图求值证明 【例题6】（25-26八年级上·北京·期末）下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作的射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． (3)如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 【变式1】（24-25七年级下·山东淄博·期末）某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于、两点；分别以点、为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，，，则平行四边形的周长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规来解决不同平面几何作图题的方法，且只准许进行有限次操作．请按照要求，完成如下尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知，请作出的平分线； (2)如图2，已知线段，请作出的垂直平分线； (3)如图3，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 培优篇 ★★【题型 7】角平分线的性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·全国·期中）如下图，已知，，垂直的延长线于点，垂直的延长线于点．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D．1 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为 ． 【变式3】（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． ★★【题型 8】角平分线的性质、判定与尺规作图综合求值证明 【例题8】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形进行了如下尺规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧交于点，交于点； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； ③作射线交于点． 若，点为中点． (1)【问题解决】线段与的位置关系为______． (2)【尝试证明】求证：； (3)【拓展提高】若，，求的长． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，点D，E分别在，上，．分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【变式2】（25-26九年级上·广东·月考）如图，在中，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点A，B，再分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线OP．分别以O，A为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，作直线分别与，，相交于点E，F，G．若，，则的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·广西玉林·期中）综合与实践 【问题背景】小星利用尺规作角的平分线，作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．③画射线，射线即为所求． （1）小星作角的平分线方法的依据是__________； 【操作发现】 （2）如图②，小红将两块相同的三角尺较短的直角边分别与的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点，则射线即为的平分线．请你根据小红的作法，说明为的平分线； 【问题解决】 （3）如图③，在中，平分交于点，于点．若，，，，求的面积． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 4．（2023·四川南充·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题（6题） 6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 7．（2025·山东滨州·中考真题）如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 9．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．    10．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． （二）解答题（4题） 11．（2023·四川达州·中考真题）如图，在中，．      (1)尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，求的面积． 12．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.5 角平分线（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 基础篇 1 【知识点一】角平分线性质 1 ★【题型 1】利用角平分线的性质求值 1 ★【题型 2】利用角平分线的性质证明 6 ★【题型 3】利用角平分线的性质与角平分线作图求值证明 9 【知识点二】角平分线的判定 13 ★【题型 4】利用角平分线的判定求值 13 ★【题型 5】利用角平分线的判定证明 18 ★【题型 6】利用角平分线的判定与尺规作图求值证明 21 培优篇 26 ★★【题型 7】角平分线的性质与判定综合求值证明 26 ★★【题型 8】角平分线的性质、判定与尺规作图综合求值证明 31 二.中考真题 37 （一）单选题（6题） 37 （二）填空题（6题） 42 （二）解答题（4题） 47 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 基础篇 【知识点一】角平分线性质 定理：定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ★【题型 1】利用角平分线的性质求值 【例题1】（25-26八年级上·福建南平·期末）如图，在中，平分，交于点． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）过点作，，如图所示，由角平分线性质得到，由三角形面积公式表示，化简即可得证； （2）过点作于点，如图所示，则，由（1）中，结合题意可得，代值计算即可得到的长． （1）证明：过点作，，如图所示： 在中，平分， ， ， 即； （2）解：过点作于点，如图所示： ， 由（1）知， ， ， 则， ， ，解得． 【变式1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过作垂线构造全等三角形，结合勾股定理建立方程求解． 解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵是的外角平分线，且，， ∴． 设，则． 在和中，，，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． 故点到直线的距离为； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，若，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键．过点D作于点E，作于点F，由是的角平分线得到，由，，求出，根据，求出结果即可． 解：过点D作于点E，作于点F，如图所示：    ∵是的角平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，．点D在边上，满足，，连接． (1)______； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点． （1）可得为等腰直角三角形，则，然后证明，则，即可求解的度数； （2）过点作于点，由角平分线可得，，然后导角证明，由，得到，则，在等腰直角中，再由勾股定理求解，即可求解． （1）解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作于点 ∵平分，，， ∴，，为等腰直角三角形， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在等腰直角中，设， 则， 解得（舍负）， ∴． ★【题型 2】利用角平分线的性质证明 【例题2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理． 由角平分线的性质，可得，可证得，根据三角形全等的性质，即可证得结论． 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，点在上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点是的平分线上一点，于点．点是射线上任意一点，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于点，由角平分线的性质定理可得，再结合，即可得出结果，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 解：如图，作于点， ， ∵点是的平分线上一点，于点， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·月考）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，由此作法可得 ，其依据是“ ”． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 利用证出即可解答． 解：由题意可得：在和中： ， ∴， 故答案为：；． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·月考）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． （1）证明：连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴． ★【题型 3】利用角平分线的性质与角平分线作图求值证明 【例题3】（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 【答案】(1)见详解 (2)①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【分析】本题考查作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质； （1）作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即点G； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质作答即可． （1）解：如图，点G即为所求， （2）解：作图依据①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【变式1】（25-26八年级上·山东·期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 解：如图所示，过点作， 由题意可知：平分，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，作角平分线（尺规作图），角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图法及角平分线的性质定理是解题的关键． 过点作于点，由三角形的面积公式可得，，于是可得，由作图步骤可知是的平分线，由可得，再结合，由角平分线的性质定理可得，由此即可求出的长． 解：如图，过点作于点， ，， ， 由作图步骤可知，是的平分线， ， ， 又， ， 的长为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. （1）解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； 如图，即为所求． （2）解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 【知识点二】角平分线的判定 定理：定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. ★【题型 4】利用角平分线的判定求值 【例题4】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)9 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，垂直的定义，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． （1）解：∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的度数为； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵， ∴由（1）可知，， ∴平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∵， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以的面积为9． 【变式1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，由角平分线的性质得到是的外角的平分线是解题的关键． 由角平分线的性质可得点D到直线，的距离相等，即是的外角的平分线，进而列式得到，则，故． 解∵的平分线与的外角的平分线相交于点D， ∴点D到直线，的距离相等，点D到直线，的距离相等， ∴点D到直线，的距离相等， ∴是的外角的平分线， ∵ ， ， ． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，由题意可得，，从而推出是的平分线，得到，即可求解． 解：如图所示，过点作，交于点， ∵将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． ★【题型 5】利用角平分线的判定证明 【例题5】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，锐角的两条高线、相交于点，且． (1)求证：； (2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点是否在的平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由角平分线的判定定理解答即可． （1）证明：∵， ∴， ∵、是的两条高线， ∴， 在和中，     ∵，，， ∴； （2）解：点是否在的平分线上，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在的平分线上． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，于点于点相交于点．有下列结论： ①；②；③点在的平分线上．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】首先根据条件由AAS就可以得出，就有，进而就有，就可以得出，就有，得出点在的平分线上．从而得出答案． 解：∵于，， ∴． 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∵，， ∴点在的平分线上． 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的判定的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时寻找三角形全等的条件是关键． 【变式3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，，垂足分别为D、E，、交于点O，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定． （1）利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可证明平分． （1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴平分． ★【题型 6】利用角平分线的判定与尺规作图求值证明 【例题6】（25-26八年级上·北京·期末）下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作的射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． (3)如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可得到结论． （1）解：补全的图形如图所示； （2）解：如图2，连接，． 在与中， ， ， ． 即射线平分； 故答案为：，，； （3）解：交于E，交于F，， ∴平分（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 【变式1】（24-25七年级下·山东淄博·期末）某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理．在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，由此即可判断． 解：由题意知平分在上， A、满足休息亭的位置要求，故A符合题意； B、不一定平分，故B不符合题意； C、不在上，故C不符合题意； D、垂直平分的直线交于，故D不符合题意， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于、两点；分别以点、为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，，，则平行四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由作图可知平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，，得出，继而得到，得到，设，则，结合可列方程求出，即可求解． 解：由题意可得：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 平行四边形的周长为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规来解决不同平面几何作图题的方法，且只准许进行有限次操作．请按照要求，完成如下尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知，请作出的平分线； (2)如图2，已知线段，请作出的垂直平分线； (3)如图3，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握角平分线的性质和作法，线段的垂直平分线的性质和作法，是解题的关键． （1）依题意，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等作的角平分线； （2）依题意，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作的垂直平分线， （3）到两个城镇，的距离必须相等，则信号发射塔必须在的垂直平分线上，到两条高速公路的距离相等，则信号发射塔必须在的角平分线上，所以信号发射塔建立在的垂直平分线与的角平分线的交点S处． （1）解：就是的平分线． （2）解：就是线段的垂直平分线． （3）解：分别作的角平分线，线段的垂直平分线，两线的交点S即为所求的点． 培优篇 ★★【题型 7】角平分线的性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·全国·期中）如下图，已知，，垂直的延长线于点，垂直的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握这些性质． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，先利用勾股定理求得，从而利用面积法求出的长，再利用角平分线的性质可得，从而利用面积法求出即可． 解：如图所示，过点作，交于点， ∵，，， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，由题意可得，，从而推出是的平分线，得到，即可求解． 解：如图所示，过点作，交于点， ∵将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 【答案】(1)直角 (2) (3)①，理由见解析；② 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理即可得出结论； （2）根据角平分线的性质定理结合勾股定理进行求解即可； （3）①等边对等角得到，中垂线的性质结合等边对等角得到，进而推出，即可得证；②连接，设，则，利用勾股定理进行求解即可． （1）解：∵点为的中点，， ． ，且， ， 是直角三角形． （2）解：平分， ． 设，则， 在中，， ， ， 即． （3）解：①． 理由如下： 由题意知， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． ． ②如图，连接． 设，则． ， ． 由勾股定理，得， 即， ， 的长为． ★★【题型 8】角平分线的性质、判定与尺规作图综合求值证明 【例题8】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形进行了如下尺规作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧交于点，交于点； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； ③作射线交于点． 若，点为中点． (1)【问题解决】线段与的位置关系为______． (2)【尝试证明】求证：； (3)【拓展提高】若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据得，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得结论； （2）如图，过点E作于点F，根据作图过程可知，平分，根据角平分线的性质得，证明得，即可推出，进而可得结论； （3）如图，延长交于，求解，证明，可得，，进一步可得，可得． （1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点E作于点F， 由作图过程可知：平分， ∴， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，点D，E分别在，上，．分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的性质．根据题意可得，平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解． 解：过点G作于点H， 由题意可得，平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·广东·月考）如图，在中，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点A，B，再分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线OP．分别以O，A为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，作直线分别与，，相交于点E，F，G．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的基本作图及性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 过点作于点，利用垂直平分线和角平分线性质以及角度的和差关系证得、为直角等腰三角形，设，则，再利用等腰直角三角形的性质列方程求解即可． 解：过点作于点， 由作图可知为的垂直平分线，为的角平分线，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角等腰三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·广西玉林·期中）综合与实践 【问题背景】小星利用尺规作角的平分线，作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．③画射线，射线即为所求． （1）小星作角的平分线方法的依据是__________； 【操作发现】 （2）如图②，小红将两块相同的三角尺较短的直角边分别与的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点，则射线即为的平分线．请你根据小红的作法，说明为的平分线； 【问题解决】 （3）如图③，在中，平分交于点，于点．若，，，，求的面积． 【答案】（1）全等三角形的对应角相等；（2）见解析；（3）36 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据作图，推出，得到，作答即可； （2）先证明，得到，再证明，得到即可； （3）过点作于，角平分线的性质得到，三角形的内角和定理结合等角对等边，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 解：（1）由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故依据为：全等三角形的对应角相等； （2）由题意，在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 射线为的平分线； （3）过点作于， 平分交于点， ，， ，， ， ， ， 的面积． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 2．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 3．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 4．（2023·四川南充·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． （二）填空题（6题） 6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 7．（2025·山东滨州·中考真题）如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到点到的距离等于点O到的距离，再利用面积公式进行计算即可． 解：∵的两个外角的平分线，相交于点O， ∴点到的距离等于点O到的距离，且点到的距离等于点O到的距离， ∴点到的距离等于点O到的距离， ∵点O到的距离为， ∴点到的距离为， ∵， ∴的面积为； 故答案为：7． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 9．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．    【答案】/ 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可． 解：∵是的角平分线，，分别是和的高，， ∴， 又， ∴， 设点E到直线的距离为x， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 10．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 【答案】 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． （二）解答题（4题） 11．（2023·四川达州·中考真题）如图，在中，．      (1)尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交于点P，则即为所求； （2）过点P作，根据和题中条件可求出的面积，再结合角平分线的性质即可求解． （1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交于点P，则即为所求． （2）解：过点P作，如图所示，        由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题关键是掌握角平线的尺规作图及角平分线的性质． 12．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $