专题 1.4 线段的垂直平分线（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.4 线段的垂直平分线（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 基础篇 1 【知识点一】线段的垂直平分线性质定理 1 ★【题型 1】利用线段垂直平分线性质定理求值 1 ★【题型 2】利用线段垂直平分线性质定理证明 4 ★【题型 3】利用线段垂直平分线性质定理与作图题综合 7 【知识点二】线段的垂直平分线判定定理 10 ★【题型 4】利用线段垂直平分线判定定理求值 10 ★【题型 5】利用线段垂直平分线判定定理证明 14 ★【题型 6】利用线段垂直平分线判定定理与尺规定作图综合 17 培优篇 21 ★★【题型 7】线段垂直平分线性质与判定综合求值证明 21 ★★【题型 8】线段垂直平分线性质与判定与尺规定作图综合 26 二.中考真题 31 （一）单选题（6题） 31 （二）填空题（6题） 36 （二）解答题（3题） 41 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 基础篇 【知识点一】线段的垂直平分线性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. ★【题型 1】利用线段垂直平分线性质定理求值 【例题1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的和差求解即可得． 解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接．若，的周长为13，则的长是（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质，得到，结合，的周长为13，即可求出的长度． 解：根据题意， ∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为13， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，垂直平分线段，连接，若，则四边形的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了四边形周长的定义．根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据周长的定义计算即可． 解：∵垂直平分线段，， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，据此可得答案； （2）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． （1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． ★【题型 2】利用线段垂直平分线性质定理证明 【例题2】（25-26八年级上·江苏·月考）如图，在中，，平分，是的垂直平分线，交于点，连接．求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． 连接，由等腰三角形的性质，可得，，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，即可证得结论． 证明：连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质和等边对等角，由作图方法可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得答案． 解：由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴， 根据现有条件无法得到，，， 故选：D． 【变式2】如图，四边形的对角线相交于点O，．下列结论：①；②；③；④；⑤四边形是轴对称图形．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据全等三角形的性质可得，根据平角的定义可得，即可判断①，根据全等三角形的性质得出，，结合①可得是的垂直平分线，即可判断②，根据 即可证明③进而证明⑤，不能得出结论④． 解：∵， ∴，，， ∴，即，故①正确； ∴是的垂直平分线， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∴四边形是轴对称图形，故⑤正确； 根据现有条件无法证明，故④错误； 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明垂直平分，则可证明是的中点． （1）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）证明：如图所示， ，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴是的中点． ★【题型 3】利用线段垂直平分线性质定理与作图题综合 【例题3】（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，属于基础题． （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质以及等边对等角可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而利用三角形内角和定理求解即可． （1）解：如图所示，直线垂直平分，交于点， （2）解：由（1）得垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）下列选项中，根据作图痕迹可以得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线，熟练掌握作图技巧是解决问题的关键． 根据各选项作图痕迹注意判断即可． 解：A、由作图痕迹可知，不符合题意； B、作的是的垂直平分线，得不到，不符合题意； C、作的是的垂直平分线，得不到，不符合题意； D、作的是的垂直平分线，可以得到，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到为的垂直平分线． 根据作法可得，再由垂直平分线的画法可得为的垂直平分线，由此可得，再根据三角形的周长求解即可． 解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D， ∴， ∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：28 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知点P为中边上一点，连接． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作一条线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）根据作一条线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，根据勾股定理求出结果即可． （1）解：如图，点D即为所求． （2）解：如图，连接． ，垂直平分， ， ∵， ∴， ， ， 是直角三角形． ． 【知识点二】线段的垂直平分线判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. ★【题型 4】利用线段垂直平分线判定定理求值 【例题4】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，已知，，，求对角线和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定定理．在中，根据勾股定理可求出的长，再由线段垂直平分线的判定定理可得垂直平分，然后根据，求出的长，即可求解． 解：在中，，，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河北承德·期末）已知中，于点D，．若，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，三角形内角和性质，等边对等角．由，得是的垂直平分线，从而，为等腰三角形，再结合，利用三角形内角和定理可求． 解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得到，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换、线段垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识．如图，连接交于O，作于H．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出，在中，利用勾股定理即可解决问题． 解：如图，连接交于O，作于H． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，点D是等边外部的一点，且，连接交于点E．当时，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及线段垂直平分线的判定，正确运用相关定理是解题关键． 先证明线段所在直线是线段的垂直平分线，再根据等边三角形的性质得出，最后利用平行线的性质即可求解． 解：是等边三角形， ，， 点B在线段的垂直平分线上， ， 点D在线段的垂直平分线上， 线段所在直线是线段的垂直平分线． ， 平分， ， ， ． ★【题型 5】利用线段垂直平分线判定定理证明 【例题5】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及线段垂直平分线的判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可进行求证． （1）证明：∵， ∴， ∵，的角平分线，相交于点O． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：如图， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，均为等边三角形，平分交于点D，交于点F．下列结论：①；②；③；④；⑤垂直平分．其中正确的有 ． （填序号）    【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质的应用．结合等边三角形的性质推出，，结合全等三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的判定推出垂直平分，根据平行线的判定定理求出． 解：∵是等边三角形，是的平分线， ∴，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即①②③④都正确，符合题意；⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②③④． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)直线是的垂直平分线，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． （1）由已知条件利用证明即可； （2）由等腰三角形的性质和垂线定义可得，再由等腰三角形的判定即可得出，即可得出结论． （1）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：直线是的垂直平分线，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线是的垂直平分线． ★【题型 6】利用线段垂直平分线判定定理与尺规定作图综合 【例题6】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线的步骤． 由点E到点B，C的距离相等可得点是线段的垂直平分线与的交点，然后作出线段的垂直平分线即可． 解：如图，点即为所求． 【变式1】（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 解：连接，如图所示： 依题意，， 即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 【变式2】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合作图过程得是的垂直平分线，故，即，因为，得，即可作答． 解：连接， ∵，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点， ∴，， 则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，A，B是两个村庄，是一条暗河露出地面的部分．两村村民想要建一个蓄水池，使它到A，B两个村庄的距离相等，并且到暗河两端C，D的距离也相等．请帮助他们找到符合这个要求的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查垂直平分线的判定，垂直平分线的尺规作图，掌握垂直平分线的判定及尺规作图方法是解题的关键． 根据蓄水池到A，B两个村庄的距离相等，可得蓄水池在线段的垂直平分线上，又蓄水池到暗河两端C，D的距离相等，可得蓄水池在线段的垂直平分线上，则蓄水池是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点．利用尺规作图法分别作出和的垂直平分线，其交点即为所求蓄水池位置． 解：如图，点P为蓄水池的位置． 培优篇 ★★【题型 7】线段垂直平分线性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形，点为对角线上的一动点． (1)延长交边于点，当时，求证：； (2)连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，再根据等边对等角求得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可证得结论； （2）过P作于E，连接，，设与相交于点，先证明为等边三角形，利用等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质得到；再利用含30度角的直角三角形的性质得到，则利用垂线段最短得：当A，P，E三点共线即时，取得最小值，为的长；在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得即可． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴； （2）解：过P作于E，连接，，设与相交于点， ，， ∴为等边三角形，又， ∴，，即垂直平分， ∴； 在中，，， ∴； ∴，当A，P，E三点共线时，取等号，此时，取得最小值，为的长； 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，中，的垂直平分线分别交边于E，F点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（   ） A．27 B．29 C．30 D．76 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点为的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，求出的长，最后运用三角形的面积公式求解即可． 解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴C关于直线的对称点为点A，， ∴的长为的最小值， ∵周长的最小值， ， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，已知平面直角坐标系中点坐标是，点在轴上，是的垂直平分线上一点，是轴上一点，若时， ． 【答案】11 【分析】延长交y轴于点C，过点A作于D，根据垂直平分线的性质、勾股定理、三线合一和点的坐标即可求出、、、的长度，然后利用三角形外角的性质和等角对等边可得，从而求出，根据勾股定理即可求出，再利用三角形外角的性质和等角对等边可得，从而得出结论． 解：延长交y轴于点C，过点A作于D， ∵点坐标是，是的垂直平分线上一点， ∴，，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：11． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理和等腰三角形的判定及性质，掌握垂直平分线的性质、勾股定理、等边对等角、等角对等边和三线合一是解决此题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·河北保定·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若为等边三角形． ①说明点在线段的垂直平分线上； ②已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】(1) (2)①见解析，②米 【分析】（1）利用角平分线及三角形内角和定理即可求得； （2）①通过论证即可论证结论； ②利用直角三角形性质即可求得． （1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：①∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； ②在中，， ∴米，由①知， ∴（米）． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，关键是知识点的灵活应用． ★★【题型 8】线段垂直平分线性质与判定与尺规定作图综合 【例题8】（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，平分． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，，于点，，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若，证明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图（作线段的垂直平分线）、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是（1）掌握线段垂直平分线的尺规作图方法；（2）利用垂直平分线的性质得到，结合角的等量代换证明，再利用角平分线和全等三角形证明． （1）以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为的垂直平分线，分别交、、于点、、，保留作图痕迹； （2）由是的垂直平分线，得，故；结合，得，进而推出，即；再利用平分，结合、，证明，得，从而证明垂直平分． （1）解：作的垂直平分线如图所示 分别交，，于点，，． （2）证明：是的垂直平分线， ，． ． ， ． ， ． ． 平分， ． 在和中， （） ． 垂直平分 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别以点C，A为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交，于点E，F，则线段与线段的数量关系是（）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等以及含角的直角三角形的边角关系是解题的关键． 先由作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，从而得到，再结合等腰三角形与角度条件，利用直角三角形的性质推导线段与的数量关系． 解：连接， ∵，， ∴， ∵由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以、为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交、于点、，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了作垂直平分线，勾股定理，根据题意得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解， 解：由作图可知：，， 在中，， ∴， , 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点．作直线分别交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若的长为2，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，三角形内角和性质，垂直平分线的性质． （1）先运用三角形内角和性质算出，因为是的垂直平分线，所以，则，故，再结合在中，，是边上的中线，即可作答； （2）因为是的垂直平分线，则，结合，，得，因为，得，因为是等边三角形，得，，即可作答． （1）解：是等边三角形． 理由是：在中，，， ， 以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，， 是的垂直平分线， ， ， ． 在中，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形； （2）解：由（1）知，是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 3．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 4．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． （二）填空题（6题） 7．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 8．（2023·西藏·中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为 ．    【答案】 【分析】根据作图可知：是线段的垂直平分线，即有，再在中，，问题得解． 连接，如图，    根据作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，得出是线段的垂直平分线，是解答本题的关键． 9．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 10．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 11．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 12．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得． ，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． （二）解答题（3题） 13．（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上．    【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点． 解：如图，点P为所作．    【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 14．（2024·陕西·中考真题）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形． 解：等腰直角如图所示： 15．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且____________，____________，则____________． 给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．    【答案】②③，①或①②，③；证明见详解 【分析】情况一：根据题意补全图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质可得出，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答； 情况二：根据题意补全部图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质可得出，再利用全等三角形的判定与性质可知，最后利用角平分线的定义及全等三角形的判定与性质即可解答． 情况一：，， 证明：根据题意补全图形如图所示：   ∵垂直平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分； 故答案为：． 情况二：，， 证明：根据题意补全图形如图所示： ∵垂直平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：②③，①或①②，③ 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 线段的垂直平分线（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 基础篇 1 【知识点一】线段的垂直平分线性质定理 1 ★【题型 1】利用线段垂直平分线性质定理求值 2 ★【题型 2】利用线段垂直平分线性质定理证明 2 ★【题型 3】利用线段垂直平分线性质定理与作图题综合 4 【知识点二】线段的垂直平分线判定定理 5 ★【题型 4】利用线段垂直平分线判定定理求值 5 ★【题型 5】利用线段垂直平分线判定定理证明 5 ★【题型 6】利用线段垂直平分线判定定理与尺规定作图综合 7 培优篇 8 ★★【题型 7】线段垂直平分线性质与判定综合求值证明 8 ★★【题型 8】线段垂直平分线性质与判定与尺规定作图综合 9 二.中考真题 10 （一）单选题（6题） 10 （二）填空题（6题） 12 （二）解答题（3题） 14 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 基础篇 【知识点一】线段的垂直平分线性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. ★【题型 1】利用线段垂直平分线性质定理求值 【例题1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E．已知，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接．若，的周长为13，则的长是（    ） A．5 B．7 C．8 D．13 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，垂直平分线段，连接，若，则四边形的周长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． ★【题型 2】利用线段垂直平分线性质定理证明 【例题2】（25-26八年级上·江苏·月考）如图，在中，，平分，是的垂直平分线，交于点，连接．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形的对角线相交于点O，．下列结论：①；②；③；④；⑤四边形是轴对称图形．其中所有正确结论的序号是 ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． ★【题型 3】利用线段垂直平分线性质定理与作图题综合 【例题3】（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）下列选项中，根据作图痕迹可以得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知点P为中边上一点，连接． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接．若，，，求的长． 【知识点二】线段的垂直平分线判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. ★【题型 4】利用线段垂直平分线判定定理求值 【例题4】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，已知，，，求对角线和的长． 【变式1】（25-26八年级上·河北承德·期末）已知中，于点D，．若，则的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得到，连接，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·山西太原·期中）如图，点D是等边外部的一点，且，连接交于点E．当时，求的度数． ★【题型 5】利用线段垂直平分线判定定理证明 【例题5】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，的角平分线，相交于点O． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，求证：垂直平分． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【变式2】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，均为等边三角形，平分交于点D，交于点F．下列结论：①；②；③；④；⑤垂直平分．其中正确的有 ． （填序号）    【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于点D，于点E，相交于F． (1)求证：； (2)试判断所在直线与的位置关系，并证明． ★【题型 6】利用线段垂直平分线判定定理与尺规定作图综合 【例题6】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【变式2】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，A，B是两个村庄，是一条暗河露出地面的部分．两村村民想要建一个蓄水池，使它到A，B两个村庄的距离相等，并且到暗河两端C，D的距离也相等．请帮助他们找到符合这个要求的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 培优篇 ★★【题型 7】线段垂直平分线性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形，点为对角线上的一动点． (1)延长交边于点，当时，求证：； (2)连接，求的最小值． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，中，的垂直平分线分别交边于E，F点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（   ） A．27 B．29 C．30 D．76 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，已知平面直角坐标系中点坐标是，点在轴上，是的垂直平分线上一点，是轴上一点，若时， ． 【变式3】（25-26八年级上·河北保定·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若为等边三角形． ①说明点在线段的垂直平分线上； ②已知日影的长为米，求日影的长． ★★【题型 8】线段垂直平分线性质与判定与尺规定作图综合 【例题8】（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，平分． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，，于点，，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若，证明：垂直平分． 【变式1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别以点C，A为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交，于点E，F，则线段与线段的数量关系是（）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以、为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交、于点、，则线段的长为 ． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点．作直线分别交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若的长为2，求的长． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 4．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 8．（2023·西藏·中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线交于点E．若线段，，则长为 ．    9．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 10．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 11．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 12．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为 °． （二）解答题（3题） 13．（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上．    14．（2024·陕西·中考真题）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 15．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且____________，____________，则____________． 给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $