第2章 3 一元一次不等式与一次函数（第2课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦一元一次不等式与一次函数的应用，通过旅游公司优惠问题导入，衔接一次函数与一元一次不等式知识，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 以电信业务、旅行社选择等生活实例驱动教学，培养学生用数学眼光观察现实，通过列函数关系式、解不等式发展数学思维，用数学语言表达决策过程。分层练习助力学生掌握，为教师提供完整方案，提升课堂效率。

3 一元一次不等式与一次函数 第 2 课时 一元一次不等式与一次函数的应用 教学目标 1.利用一次函数、一元一次不等式及一元一次方程这三者之间的关系解决生活中的实际问题. 2.运用数形结合思想方便快捷解决问题. 教学重难点 能利用一次函数、一元一次不等式及一元一次方程这三者之间的关系方便快捷地解决生活中的实际问题. 教学过程 一、导入新知 思考： 几名同学一起去旅游，两家旅游公司为了承揽这笔业务，做了如下承诺， 甲旅游公司：全部七折优惠. 乙旅游公司：若两个人买全票，其余学生则半价优惠. 若全票价为每人100元，请你为这几位同学选择一下，应让哪一家旅游公司承揽这笔业务. 二、课堂新授 知识点 一元一次不等式与一次函数的综合应用 某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1分钟收费0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话1分钟收费0.4 元.你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？ 解：设顾客每月通话时长为x分钟，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2， 根据题意可知y1=10+0.3x，y2=0.4x. 当甲乙两种业务消费额 一样时， 即y1= y2，得10+0.3x=0.4x，解得x=100； 当甲乙两种业务消费额不一样时， ①由y1>y2，得10+0.3x>0.4x，解得x<100； 此时选择乙种业务比较合算. ②由y1<y2，得10+0.3x<0.4x，解得x>100. 此时选择甲种业务比较合算. 所以当顾客每个月的通话时长等于100分钟时，选择甲乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100 分钟，选择甲种业务比较合算；如果通话时长小于100 分钟，选择乙种业务比较合算. 方案选择问题解题思路： (1)根据题意分别写出方案A、B的函数解析式yA、yB； (2)将方案A、B进行比较：①yA>yB , ②yA<yB , ③yA=yB；从而分别得到自变量的取值范围； (3)根据实际情况选择方案. 利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题的步骤. （1）根据题意写出两个_______________.  （2）方法一:画出图象,分析图象,得出结论. （3）方法二:列_________________,解_________________, 得出结论.  一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用 素养考点 一元一次不等式与一次函数的综合应用 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10~25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,其余游客八折优惠.该选择哪一家旅行社呢？ 解:设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需的费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则：y1 = 200×0.75x, 即y1 = 150x；y2 = 200×0.8(x-1), 即y2= 160x-160. 由y1 = y2, 得150x=160x-160，解得x=16； 由y1＞y2, 得150x＞160x-160，解得x＜16； 由y1 ＜ y2, 得150x＜160x-160，解得x＞16 . 因为参加旅游的人数为10~25人,所以： 当x=16时，y1=y2甲、乙两家旅行社的收费相同； 当16<x≤25时，y1<y2 ，选择甲旅行社费用较少； 当10≤x<16时，y1>y2，选择乙旅行社费用较少. 变式训练 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠. 甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%.那么商场的收费y1(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：y1=6000+6000（1-25%）（x-1） 乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.那么乙商场的收费y2 (元)与所买电脑台数x之间的关系式是：y2=6000（1-20%）x (1) 什么情况下到甲商场购买更优惠? 令y1<y2，得x＞5. 所以，当购买电脑台数超过5时，到甲商场购买更优惠. (2) 什么情况下到乙商场购买更优惠? 令y1＞y2，得x<5. 所以，当购买电脑台数小于5时，到乙商场购买更优惠. (3) 什么情况下两家商场的收费相同? 令y1=y2，得x=5. 所以，当购买电脑台数等于5时，两商场收费相同. 方法总结 解决实际问题步骤: （1）理清题目中的数量关系，把这些数量关系分解为几个函数关系； （2）列出这些函数关系式； （3）根据题意，将列出的函数关系式转化为不等式； （4）解不等式； （5）选择符合题意的不等式的解集. 如图所示,是某电信公司甲、乙两种业务:每月通话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的函数关系.某企业的周经理想从两种业务中选择一种,如果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上,那么选择_______种业务合算.  解析： 设乙种业务对应的函数解析式为y=kx，则50k=10，得k=0.2， 即乙种业务对应的函数解析式为y=0.2x. 设甲种业务对应的函数解析式为y=ax+b，代入（0,10）（50,15），得a=0.1，b=10，即甲种业务对应的函数解析式为y=0.1x+10. ∴令0.2x=0.1x+10，得x=100，即当通话时间为100分钟时两种业务花费一样多， 由图像可知，当通话时间在100分钟以上，甲种业务比较合算. 故答案为：甲. 方法总结 解答决策性问题的一般步骤： (1)列出相关的一次函数解析式y1=k1x+b1(k1≠0)和y2=k2x+b2(k2≠0). (2)根据y1和y2之间的大小关系分情况求得相应的x的值. (3)比较所得的结果,根据问题要求进行判断或决策. 变式训练 如图所示,某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同,设汽车每月行驶x 千米,个体车主收费y1元,国营出租车公司收费为y2元,观察图象可知,当　　　　时,选用个体车较合算(　 　)  A.x<1 500 B.x=1 500 C.x>1 200 D.x>1 500 三、巩固练习 基础巩固题 1.如图，直线y=kx+b(k、b是常数，k≠0)与直线y=2交于点A（4,2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为 . 2.直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=x+a在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于kx+b>x+a的不等式的解为( ) A. x＞3 B. x＜3 C. x=3 D. 无法确定 3.某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一： (A)计时制：0.05元/分； (B) 包月制：50元/月（限一部个人住宅电网）． 此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分． （1）请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y（元）与上网时间x（小时）之间的函数关系式； （2）若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？ 解: （1）依题意得，计时制： y=60×（0.05+0.02）x ,即y=4.2x. 包月制：y=60×0.02x+50，即y=1.2x+50. （2）当x=20时 计时制：y=4.2×20=84（元）. 包月制：y=1.2×20+50=74（元）. 所以，若某用户估计一个月上网20小时，采用包月制较为合算. 能力提升题 某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折.这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠.请你帮助他们选择购票方案. 解：设该公司参观者中有女士x人，票价为1，选择购买女士五折票时所需费用为y1元，选择购买团体票时所需费用为y2元，则y1=0.5x+（40-x）,y2=40×0.8. 由y1 = y2，得0.5x+40-x=40×0.8，解得x=16; 由y1 ＞ y2，得由y1 ＜ y2，得0.5x+40-x＜40×0.8 ，解得x＞16 . 0.5x+40-x＞40×0.8 ，解得x＜16; 答：当女士不足16人时，购买团体票合算；当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士多于16人时，购买女士五折票合算. 拓广探索题 某校“棋乐无穷”社团前两次购买的两种材质的象棋采购如表(近期两种材质象棋的售价一直不变); 塑料象棋 玻璃象棋 总价（元） 第一次（盒） 1 3 26 第二（盒） 3 2 29 (1)若该社团计划再采购这两种材质的象棋各5盒,则需要多少元? (2)若该社团准备购买这两种材质的象棋共50盒,且要求塑料象棋的数量不多于玻璃象棋数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由. 解:(1)设一盒塑料象棋的售价是x元,一盒玻璃象棋的售价是y元, 依题意，得解得 (5+7)×5=60(元), 所以再采购这两种材质的象棋各5盒需要60元. (2)设购进玻璃象棋m盒,总费用为w元, 依题意得w=5×(50-m)+7m=2m+250. 所以当m取最小值时,w有最小值, 因为50-m≤3m,解得m≥12.5,而m为正整数, 所以当m=13时,w有最小值,为2×13+250=276, 此时50-13=37.所以最省钱的购买方案是购进塑料象棋37盒,玻璃象棋13盒. 四、课堂小结 一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用 学科网（北京）股份有限公司 $