微专题04 一元一次不等式与一次函数的综合应用（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

微专题04 一元一次不等式与一次函数的综合应用 题型1 利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集 给出一次函数的图象（或与坐标轴的交点），要求解关于x的不等式（如、）： 1. 从图象中读取函数与x轴的交点横坐标（记为）； 2. 根据函数的增减性（时递增，时递减），确定解集： (1) 若，则的解集为，的解集为； (2) 若，则的解集为，的解集为。 1．（25-26八年级下·全国·期末）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质应用．根据一次函数，得到图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象和一元一次不等式的解集，根据图象直接解答即可． 【详解】解：根据函数图象可知：当时，， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求m的值； (2)在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围； (3)若，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，根据一次函数增减性求参数，由直线与坐标轴的交点求不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据函数图象经过原点，得到关于m的方程求解； （2）根据在该函数中，y随x的增大而增大，得到关于m的不等式求解； （3）先求出一次函数解析式，再根据函数值的范围，得到关于x的不等式组求解即可。 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴， ∴； （2）解：∵该一次函数的函数值y随x的增大而增大 ∴， ∴； （3）解：当时，此时． 当时， ， 解得：， 此时x的取值范围为． 6．（24-25八年级上·山东济南·期中）（1）画出一次函数的图像； （2）根据图像回答下列问题： ①写出图象与x轴的交点坐标为_______，与y轴的交点坐标为_______； ②根据图像回答：当x_______时，． ③与直线平行，且过的直线解析式______． x y 【答案】（1）见解析；（2）①，；②；③ 【分析】本题主要考查了画函数图像、函数图像与坐标轴的交点、函数与不等式、求函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先列表、再描点，然后连线即可完成作图； （2）①分别求出当、时的自变量和函数值，即可确定其与x、y轴的交点；②根据函数图像写出x的取值范围即可；③利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：（1）列表如下： x 0 1 y 3 1 描点、连线如下： （2）①当时，有，解得：；当时，； 所以图像与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为． 故答案为，． ②由函数图像可知：当时，． 故答案为：． ③设该直线的解析式为， 将代入可得：，解得：． 所以． 题型2 由两直线的交点求不等式的解集 给出两条直线的交点坐标，要求解关于x的不等式： 1. 两直线的交点坐标是方程组的解； 2. 不等式的解集是直线在直线上方的部分对应的x取值范围； 3. 不等式的解集是直线在直线下方的部分对应的x取值范围。 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（   ） ①；②函数的图象经过一、三、四象限；③；④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解，根据图象判断一次函数系数符号及交点信息，逐一验证各结论． 【详解】解：∵图象显示经过第一、二、四象限，经过第一、三、四象限， ∴，，，． ① ∵，，∴，正确． ② 函数，∵，，∴ 图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，错误． ③ ∵两直线交于点，∴，即，正确． ④ ∵交点，且，，∴当 时 ，故时 ，正确． ∴正确结论有3个， 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，和的图象相交于，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先求出交点的坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：将代入得，， ∴，即， ∴由函数图象可知，不等式的解集为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图一次函数经过点，与轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．P为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可． 【详解】解：A、根据图象可知，， ∴，原选项不符合题意； B、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴为的中点，原选项符合题意； C、方程的解是，原选项不符合题意； D、当时，，原选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）一次函数（为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上，求的值； (2)当时，函数有最大值6，求出此时一次函数的表达式； (3)对于一次函数，若存在常数对任意实数都成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式与点的关系，分类法确定一次函数的最值，一次函数解析式的确定，一次函数与不等式解集关系，熟练掌握一次函数的性质，灵活运用分类思想，数形结合思想，不等式思想是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数的解析式，转化为关于a的一元一次方程求解即可； （2）分和两种情形，结合一次函数的性质，确定最值点，分别代入解析式求解即可； （3）根据题意，得出进行计算，且结合进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：当时， ∵y随x的增大而增大，且， ∴当时，函数有最大值6， 把代入解析式，得， 解得， ∴ ∴一次函数的表达式为； 当时， ∵y随x的增大而减小，且， ∴当时，函数有最大值6， 把代入解析式，得， 解得， ∴， ∴一次函数的表达式为； 综上所述，一次函数的解析式为或； （3）解：由 对任意实数 恒成立，即 恒成立， 可得 恒成立， 因此必有 ， 把代入第二式子，得， ∴； ∵ ∴k的取值范围为或． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可； （3）先求出，根据的面积是面积的，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C在一次函数的图象上， ∴， 解得； ∴， ∵点、在直线上， ∴， 解得：； （2）解：由图像可得，不等式的解集为； （3）解：对于，当时，， 解得，， ∴, 由（1）知，，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 假设存在点P，使的面积是面积的， ∴, 设点的坐标为， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4． (1)若，则的取值范围为_； (2)求的面积； (3)已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在点，使的两条直角边之比为；满足条件的所有点的坐标为或 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答． （1）根据交点结合图象即可求解； （2）根据题意确定，，利用待定系数法确定，得出，结合图象求面积即可； （3）设点，则，，，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由图象得：当时，的图象在的图象的下方， ∴当，的取值范围为． 故答案为：． （2）解：的横坐标为4，且在上， 代入得：； 当时，得， ∴，． 在上， ∴，解得． ∴． 当时，得， ∴． ． ． （3）解：存在点，使的两条直角边之比为． 如图， 根据题意设点，则，． ∴，． 分两种情况： ①当时， 依题意得：，解得． ∴点． ②当时， 依题意得：，解得． ∴点． 综上所述，存在点，使的两条直角边之比为；满足条件的所有点的坐标为或． 题型3 根据不等式的解集求交点 给出关于x的不等式的解集，要求求两条直线的交点坐标或直线与坐标轴的交点： 1. 将不等式解集转化为方程； 2. 代入方程求出参数； 3. 根据其他条件（如函数过某点）求出剩余参数，进而得到交点坐标。 1．（23-24八年级下·广东佛山·月考）已知关于的不等式的解集是，则直线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集求参数，求一次函数与x轴的交点坐标，先根据不等式的解集求出，进而求出一次函数解析式，再求出当时x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的解集是， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴直线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，直线与直线交于点，B为直线与x轴的交点，关于x的不等式的解集为． (1)______，点B的坐标为_____； (2)求直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、一次函数的图象与坐标轴的交点等知识： （1）把点A坐标代入，求出的值；由关于x的不等式的解集为可得点B的横坐标为3，得点B的坐标为； （2）把点A，B的坐标代入，求出的值即可； 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴把点A坐标代入，得：； ∵关于x的不等式的解集为， ∴点的横坐标为3， 又点在轴上， ∴； （2）解：将分别代入，得                解得                  所以，直线的函数表达式为． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点C，且点，点．不等式的解集是． (1)求点C的坐标； (2)求与x轴的交点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解集，是解题的关键： （1）把代入，求出，根据不等式的解集得到点的横坐标，代入解析式，求出点坐标即可； （2）待定系数法求出的解析式，进而求出点B的坐标即可． 【详解】（1）把点代入， 得，解得． ． ∵不等式的解集是， ∴点C的横坐标为． 把代入， 得． ∴点C的坐标为． （2）将代入， 得 解得 ． 当时，， 解得． 与x轴的交点B的坐标为． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）的图象如图，利用图象回答下列问题： (1)求不等式的解集； (2)已知点，点在直线上，直线与轴的交点为．若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的图像、不等式的解集： （1）先得到的解，再求解集即可； （2）根据三角形面积求出点的坐标． 【详解】（1）令，则， 解得， 所以直线与轴的交点为， 由图可知，不等式的解集为； （2）因为直线与轴的交点为， 所以， 因为， 所以， 因为点在直线上， 设， 所以， 所以， 当时，， 所以； 当时，， 所以； 综上，若三角形的面积为，则点的坐标为或． 5．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是_________；不等式的解是__________． 【拓展延伸】 （3）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②若点是直线上轴右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；；；（3）①；；②或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①联立两个函数关系式，解方程组，求出点A的坐标即可；把代入函数解析式，求出点C的坐标即可； ②分两种情况：当点M在点A左侧，当点M在点A右侧，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：；；； （3）①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当点M在点A左侧，即时，如图所示： 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴此时； 当点M在点A右侧，即时，如图所示： 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与二元一次方程组的关系，解不等式，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合，并注意进行分类讨论是解题的关键． 题型4 一元一次不等式组与一次函数的综合 给出一个一元一次不等式组，要求结合一次函数的图象求解集或整数解： 1. 分别解出每个不等式的解集（或根据图象确定解集）； 2. 在数轴上表示两个解集，找出它们的公共部分（交集）； 3. 若要求整数解，在交集中找出所有整数。 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）一次函数与一次函数的图象如图，两函数图象的交点的横坐标为，且直线与轴交点的横坐标为，则不等式组的解集是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所对应点的横坐标的取值范围．根据函数图象，写出一次函数在一次函数下方，且x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得，当时，则， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式组的解集为_________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．先求出直线与x轴的交点坐标，然后根据函数特征，写出在x轴上方，直线在直线上方所对应的自变量的范围，即可得不等式组的解集． 【详解】解：令，则，解得， ∴直线与x轴的交点坐标为， ∵直线与直线交点为， ∴关于x的不等式组的解集为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合成为解题的关键． 先求出一次函数与x轴交点的横坐标为4，再利用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方且在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数，且图象经过， ∴，解得， ∴， 由得， ∴一次函数与x轴交点的横坐标为4， 根据图象得，当时，， ∴关于x的不等式组的解集是． 故选D． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）由新定义求出直线的表达式，代入即可求解； （2）根据题意可得点D是两个函数的交点，联立解析式，可得点D的坐标，再观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为； ∵点在“逆反函数”的函数图象上， ∴，解得：； 故答案为：，； （2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式：， 解得：， 即点， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 5．（23-24八年级下·广东揭阳·月考）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)根据图象，填空： ① k=______； ② 不等式的解集为______； ③ 不等式组的解集为______； (2)当时，求一次函数函数值y的取值范围． 【答案】(1)①②；③ (2) 【分析】本题考查的是一次函数与不等式的解集，求一次函数解析式，掌握利用函数图象求不等式解集的方法是解题的关键． （1）①把代入求得a的值，再把将代入即可求得k的值； ②观察函数图象分别求出不等式和不等式组的解集即可； ③求出一次函数与x轴的交点坐标为，一次函数与x轴的交点坐标为，根据图象可知不等式的解集为，不等式的解集为，即可解答． （2）当时，，当时，，观察图象，时，图象在的左侧，的右侧，即可解答． 【详解】（1）①把代入得， ∴A点坐标为， 将代入得， 解得； ②根据图象可知：不等式的解集为； ③由①可知，，， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， 根据图象可知：不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴不等式组的解集为： ． （2）把代入得， 把代入得， ∴根据图象可知：当时，一次函数函数值y的取值范围为：． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答下列问题： 【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________． 【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数与正比例函数的交点坐标为___________，不等式的解集是___________． 【问题拓展】（3）如图3，一次函数与一次函数的图象相交于点，分别与轴相交于点和点，点是轴上一动点．当点横坐标取值范围为不等式组的解集时，连接，求长度的取值范围． 【答案】（1）；（2），；（3）长度的取值范围为． 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题，求不等式组的解集等，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象求解即可； （2）先求出交点坐标，然后根据函数图象求不等式解集即可； （3）先求出交点坐标，确定，然后求不等式组的解集得出不等式组的解集为：，即点横坐标取值范围为，再由垂线段最短结合图象求取值范围即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过点， ∴由图象得不等式的解集是， 故答案为：； （2）联立两个函数： 解得：， ∴交点坐标为， 由函数图象得：当时，图象在图象的上方， ∴ ∴不等式的解集是， 故答案为：，； （3）联立两个函数：， 解得：， ∴， 当时，，， ∴， 解不等式：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：，即点横坐标取值范围为， 过点E作轴，如图所示：此时EP取得最小值为， 当横坐标取4时，， ∴长度的取值范围为． 题型5 根据函数图象求最值 给出多个一次函数的图象，要求求“y取各函数最小值”或“y取各函数最大值”时的最大值或最小值。 1. 求出任意两条直线的交点坐标； 2. 根据交点坐标划分区间，确定每个区间内的最小值或最大值函数； 3. 计算每个区间内的最值，比较得到全局最值。 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（   ） A．有最大值，最大值为6 B．有最小值，最小值为6 C．有最大值，最大值为 D．有最小值，最小值为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线过点且不经过第四象限，可得，且．将用m表示，根据m的取值范围确定S的最值． 【详解】∵ 直线过点， ∴，即． ∵ 直线不经过第四象限， ∴， ∴，解得， ∴． ． ∵， ∴ S随m增大而减小． ∴ 当时，S取最小值，； 当时，，但无法取到6，故S无最大值． ∴ S有最小值，最小值为． 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（　　） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，不等式的性质，先根据及得出b的取值范围，进一步得出a的取值范围，再将转化为，据此可解决问题． 【详解】解：因为，， 所以， 解得， 则， 解得， 又因为，且， 所以， 所以有最大值，且最大值为． 故选：A． 3．（24-25八年级下·福建福州·月考）已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（    ） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 【答案】A 【分析】本题考查不等式的知识，解题的关键是掌握不等式的性质，根据题意，可得，求出的取值范围，推出的取值范围，再根据，得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴有最大值，且最大值为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）如果两个正数a，b，即，则有： ① 而② ③ 所以 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号． 我们把叫做正数a，b的算术平均数；把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：因为，所以，所以，当，即时，的最小值为4． 利用这个结论解决下列适合八年级学生的问题： (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； (2)已知x＞0，求的最小值，以及此时x的值； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)完全平方公式 (2)最小值为，此时 (3)当长和宽各为时，面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了完全平方公式、基本不等式的应用等知识点，解题两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数是解题的关键． （1）识别运算步骤②对应的公式即可； （2）利用基本不等式，结合正数条件求最小值及对应x的值即可； （3）设矩形的长为，则宽为，然后变形代数式、构造符合基本不等式的形式，进而求出最大值即可． 【详解】（1）解：步骤②符合的形式，运用的公式为完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． （2）解：∵， ∴， ∴， 当，即时，的最小值为． （3）解：设矩形的长为，则宽为， ∴， 由， 当，即时，的最大值为5 ∴得最大值为25， ∴当长和宽各为时，面积最大，最大面积为． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值____________； (2)若代数式有最小值是6，求k的值____________； (3)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值； (4)已知a、b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)； (3)有最大值，最大值为12； (4)，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，不等式的性质．掌握完全平方式恒大于等于0是解题的关键． （1）仿照例题，将代数式化为完全平方式求解即可； （2）仿照例题，将代数式化为完全平方式，再根据最小值，得到，求出的值即可 （3））仿照例题，将代数式化为完全平方式，再结合不等式的性质求解即可； （4）将两个代数式作差，再结合完全平方式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是2； （2）解：， ， ， 有最小值是6， ， ， （3）解：， ， ， ， 有最大值，最大值为12； （4）解：，理由如下： ， ，， ， ， ． 6．（24-25七年级上·福建漳州·期中）【阅读材料】课堂学习中，小明通过大量求绝对值实例： ，，，，，，，……，通过归纳总结，猜想当取值不同时，其绝对值满足下列规律：当时，；当时，；当时，，再根据绝对值的意义验证该结论． 【理解应用】请你应用小明的思维方法和学过的数学知识，写出下列各小题的正确结论． (1)的最小值为_；当可取任意有理数时，的值不可能为_；（只需写出一个符合条件的值） (2)当_时，可取最_值，最值为_； (3)若为正数，当_时，可取最_值，最值为_； (4)有理数中，若，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论是_（ 填写正确结论的序号）． (5)当的取值范围不同时（），代数式，，的大小情况也不同，请直接写出所有，，的大小情况和的对应取值范围（用“”从小到大排列，不要求写理由）． 【答案】(1)0，2 (2)，大，9 (3)2，小，8 (4)③ ④ (5)当时，；当或时，；当或时， 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数比较大小，完全平方公式的应用． （1）根据求解即可； （2）由得到，据此求解即可； （3）由求解即可； （4）由，得到，，再代入，得到，，再逐个判断即可； （5）根据与和的关系分情况讨论，分别判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴的最小值为0，的值不可能2（答案不唯一，小于3就可以）； 故答案为：0，2（答案不唯一，小于3就可以）； （2）解：∵， ∴， ∴， 当，可取最大值，最值为9， 故答案为：，大，9； （3）解：∵， ∴当时，可取最小值8， 由解得， ∵为正数， ∴， 故答案为：2，小，8； （4）解：∵， ∴，， 故①错误； ∵， ∴，， ∴，， 故②错误；③④正确； 故答案为：③④； （5）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述：当时，；当或时，；当或时，． 题型6 一元一次不等式（组）与函数的多结论问题 给出多个关于一次函数的结论，要求判断哪些结论正确。 1. 根据函数解析式判断增减性（时递增，时递减）； 2. 根据截距判断图象与y轴的交点（交于正半轴，交于负半轴）； 3. 结合图象验证不等式的解集是否正确； 4. 总结正确结论的数量。 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③，是直线上不重合的两点，则； ④． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系．由图象得出，，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴，故①错误； 将分别代入和得：，， 观察图象可得点在点的上方， ∴，故②错误； ∵，是直线上不重合的两点， ∴由图象可得：当时，，则，当时，，则，故③错误； 由图象可得，与交点的横坐标为， ∴当时，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④， 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴正半轴于点A，下列结论：①且；②一次函数经过点；③方程（其中）的解为；④若时，，则．其中正确的有______（填写序号即可）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数与方程与不等式的关系，理解题意是解本题的关键；由一次函数的图象交y轴正半轴于点A，可得，且，即可判断①；当时，，可判断②，再结合方程与不等式的性质可判定③④； 【详解】解：∵一次函数的图象交y轴正半轴于点A， ∴，且， 解得：且；故①符合题意； 当时，， ∴一次函数经过点；故②符合题意； ∵， ∴， ∵，即， 解得：， ∵， 整理得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴且，故④不符合题意； 故答案为：①②③ 3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次函数图象，先根据直线与y轴的交点位置可对①选项进行判断；根据一次函数的性质对②选项进行判断；根据交点坐标的意义可对③进行判断；结合函数图象写出一次函数的图象在的图象上方的取值范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数与的图象分别交y轴于点，， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第二、四象限， ， 一次函数的图象经过第一、三象限， ， ，所以②错误； 一次函数与的图象的交点P的横坐标为1， ，所以③正确； 当时，，所以④选项符合题意． 故答案为：①③④． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）一次函数与的图象如图所示，则以下结论：①；②；③当时，；④关于x的方程的解是．其中正确的有______． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，比较简单，熟悉交点横坐标就是方程的解是解题的关键．本题的难点在于根据函数图象的走势和与轴的交点来判断各个函数，的值．根据与的图象可知：，，所以当时，相应的的值，图象均高于的图象．根据交点横坐标的值也就是满足函数解析式组成方程的解，所以方程的解也就是交点的横坐标． 【详解】解：∵的函数图象与y轴负半轴有交点， ∴，故①正确； ∵的图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴，故②错误； 当时，相应的的值，图象均低于的图象， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵一次函数与的图象交点横坐标为， ∴方程的解是， 即的解是，故④正确． 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 5．（25-26八年级下·全国·周测）一次函数（，，是常数）与（，是常数）的图象交于点．下列结论正确的有（   ） ①关于，的方程组的解是②一次函数（）的图象上任意不同两点和满足；③若（），则；④若，且，则当时，． A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与方程组的关系、一次函数的增减性、绝对值方程的求解，掌握函数交点与方程组解的对应关系、一次函数增减性对函数值的影响是解题的关键． 根据交点坐标可求的值，判断函数单调性；通过方程组解和函数差值分析结论． 【详解】解：∵两图象交于点 ∴代入，得， ∴ ∴． ①方程组等价于，解为交点， ∴，正确； ②∵，斜率， ∴y随x增大而减小， ∴对于任意两点，若则， ∴，正确； ③， 若且， 则， ∴， 即或， ∴或（）， ∴不一定为，错误； ④∵且，代入点到，得， ∴， ∵， ∴， ， 当时，， ∵， ∴当时，，即，正确． 故选：B． 6．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)计算四边形的面积． (3)下列说法正确的有______（填序号）； ①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是； ③关于x的不等式的解集是． 【答案】(1) (2) (3)②③ 【分析】本题考查了一次函数综合，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，三角形面积公式，是解题的关键． （1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）设交y轴于点D，求出，得，由求出，得，根据，，得； （3）观察图象，利用数形结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数； （2）解：设交y轴于点D， 当时，， ∴， ∴， ∵中，时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：观察图象， ①关于x的不等式的解集是， 说法不正确； ②关于x的方程的解是， 说法正确； ③关于x的不等式的解集是， 说法正确． 综上，正确的说法是②③； 故答案为：②③ 题型7 不等式（组）、方程（组）与函数的综合探究 结合不等式、方程（组）与一次函数，要求探究函数图象的性质（如对称性、单调性）或解决实际问题（如求点的坐标、面积）： 1. 求出函数的解析式（如通过交点坐标用待定系数法）； 2. 画出函数的图象（标注关键点：与坐标轴的交点、两直线的交点）； 3. 结合图象探究性质（如对称性）； 4. 解决实际问题（如求三角形面积）。 1．（24-25九年级下·北京海淀·月考）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式， 当时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值， ∴． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______； (2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）找到函数的图象在函数的图象的上方，自变量x的取值范围即可； （2）先求得，再利用待定系数法即可求得；设点C的坐标为，得到点D的坐标为，根据题意列得求解即可． 【详解】（1）解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． （2）解：∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得∶， ∴一次函数的表达式为； 设点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴，解得或， ∴点C的坐标为或． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；②或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②由①得，则，再分和两种情况讨论，求出的最小值，再结合“当时，都成立”，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入得： ， 解得，     ∴的表达式为； （2）解：①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴； ②由①得，， ∴， ∴， 当时，则， ∴随着的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∵当时，都成立， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，a的取值范围为或． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）约定：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点(1，2)，所以正比例函数就是“族函数”．已知一次函数（为常数，） (1)已知一次函数是族函数，求之间的关系． (2)当时，无论取何值，一次函数必为族函数．若直线平分的面积，其中点的坐标分别为，，，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)已知一次函数和都是“族函数”．当时，一次函数的函数值满足，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据定义将点代入即可求解； （2）由题意可得，因为无论k取何值，一次函数必为族函数，可求，，则，因此可知直线经过的中点，求出k的值即可； （3）根据题意可求，，则，当时，y随x值的增大而增大，，得到，当时，y随x的增大而减小，，得到，，求出k的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数是族函数， ∴； （2）解：k是定值，理由如下： ∵， ∴， ∵一次函数必为族函数， ∴， ∴， ∵无论k取何值，一次函数必为族函数， ∴，， ∴， ∴直线必经过A点， ∵直线平分的面积， ∴直线经过的中点， ∴， 解得； （3）解：∵一次函数和都是“族函数”， ∴， ， 解得，， ∴经过点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y随x值的增大而增大，， ∵， ∴， ∴（舍）； 当时，y随x的增大而减小，， ∵， ∴，， ∴（舍）或， ∴． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂定义，根据所给的取值范围确定不等关系是解题的关键． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】(1)图象见解析； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意作出相应函数图象， （2）由一次函数解析式确定点A的坐标即可,然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）对的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 该“V”形图象的函数表达式为 （2），当时，， ∴点的坐标为 由图可得：线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴的面积； （3）∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时，当，则对称轴为直线， ∵， 由图象可知， 解得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． _______ 2 0 ________ ．．． ①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象： ②已知直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为10时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围：___________． 【答案】（1）；（2）①表格见解析，图见解析；②或；（3）或者 【分析】此题是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式． （1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据图象即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点， ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或； （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 轴右侧部分与有交点时：当经过时，，此时有一个交点； 当经过时，，此时有两个交点； 即； 当伴随函数顶点经过时，； 综上所述，伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 一元一次不等式与一次函数的综合应用 题型1 利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集 给出一次函数的图象（或与坐标轴的交点），要求解关于x的不等式（如、）： 1. 从图象中读取函数与x轴的交点横坐标（记为）； 2. 根据函数的增减性（时递增，时递减），确定解集： (1) 若，则的解集为，的解集为； (2) 若，则的解集为，的解集为。 1．（25-26八年级下·全国·期末）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知一次函数． (1)若该函数图象经过原点，求m的值； (2)在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围； (3)若，当时，直接写出x的取值范围． 6．（24-25八年级上·山东济南·期中）（1）画出一次函数的图像； （2）根据图像回答下列问题： ①写出图象与x轴的交点坐标为_______，与y轴的交点坐标为_______； ②根据图像回答：当x_______时，． ③与直线平行，且过的直线解析式______． x y x 0 1 y 3 1 题型2 由两直线的交点求不等式的解集 给出两条直线的交点坐标，要求解关于x的不等式： 1. 两直线的交点坐标是方程组的解； 2. 不等式的解集是直线在直线上方的部分对应的x取值范围； 3. 不等式的解集是直线在直线下方的部分对应的x取值范围。 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（   ） ①；②函数的图象经过一、三、四象限；③；④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，和的图象相交于，则不等式的解集为______． 3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图一次函数经过点，与轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．P为的中点 C．方程的解是 D．当时， 4．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）一次函数（为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上，求的值； (2)当时，函数有最大值6，求出此时一次函数的表达式； (3)对于一次函数，若存在常数对任意实数都成立，求的取值范围． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4． (1)若，则的取值范围为_； (2)求的面积； (3)已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型3 根据不等式的解集求交点 给出关于x的不等式的解集，要求求两条直线的交点坐标或直线与坐标轴的交点： 1. 将不等式解集转化为方程； 2. 代入方程求出参数； 3. 根据其他条件（如函数过某点）求出剩余参数，进而得到交点坐标。 1．（23-24八年级下·广东佛山·月考）已知关于的不等式的解集是，则直线与轴的交点坐标是___________． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，直线与直线交于点，B为直线与x轴的交点，关于x的不等式的解集为． (1)______，点B的坐标为_____； (2)求直线的函数表达式． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点C，且点，点．不等式的解集是． (1)求点C的坐标； (2)求与x轴的交点B的坐标． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）的图象如图，利用图象回答下列问题： (1)求不等式的解集； (2)已知点，点在直线上，直线与轴的交点为．若的面积为，求点的坐标． 5．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 6．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是_________；不等式的解是__________． 【拓展延伸】 （3）如图3，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②若点是直线上轴右侧一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，若，请求出的取值范围． 题型4 一元一次不等式组与一次函数的综合 给出一个一元一次不等式组，要求结合一次函数的图象求解集或整数解： 1. 分别解出每个不等式的解集（或根据图象确定解集）； 2. 在数轴上表示两个解集，找出它们的公共部分（交集）； 3. 若要求整数解，在交集中找出所有整数。 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）一次函数与一次函数的图象如图，两函数图象的交点的横坐标为，且直线与轴交点的横坐标为，则不等式组的解集是________． 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式组的解集为_________________． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 5．（23-24八年级下·广东揭阳·月考）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)根据图象，填空： ① k=______； ② 不等式的解集为______； ③ 不等式组的解集为______； (2)当时，求一次函数函数值y的取值范围． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）【问题情境】某数学课上，老师带领学生探究“一次函数的图象上点的坐标的特征”，在“数”与“形”两个方面感受一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．学生得出结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答下列问题： 【问题初探】（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是___________． 【变式探究】（2）如图2，观察图象，一次函数与正比例函数的交点坐标为___________，不等式的解集是___________． 【问题拓展】（3）如图3，一次函数与一次函数的图象相交于点，分别与轴相交于点和点，点是轴上一动点．当点横坐标取值范围为不等式组的解集时，连接，求长度的取值范围． 题型5 根据函数图象求最值 给出多个一次函数的图象，要求求“y取各函数最小值”或“y取各函数最大值”时的最大值或最小值。 1. 求出任意两条直线的交点坐标； 2. 根据交点坐标划分区间，确定每个区间内的最小值或最大值函数； 3. 计算每个区间内的最值，比较得到全局最值。 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（   ） A．有最大值，最大值为6 B．有最小值，最小值为6 C．有最大值，最大值为 D．有最小值，最小值为 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（　　） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 3．（24-25八年级下·福建福州·月考）已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（    ） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）如果两个正数a，b，即，则有： ① 而② ③ 所以 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号． 我们把叫做正数a，b的算术平均数；把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：因为，所以，所以，当，即时，的最小值为4． 利用这个结论解决下列适合八年级学生的问题： (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； (2)已知x＞0，求的最小值，以及此时x的值； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值____________； (2)若代数式有最小值是6，求k的值____________； (3)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值； (4)已知a、b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 6．（24-25七年级上·福建漳州·期中）【阅读材料】课堂学习中，小明通过大量求绝对值实例： ，，，，，，，……，通过归纳总结，猜想当取值不同时，其绝对值满足下列规律：当时，；当时，；当时，，再根据绝对值的意义验证该结论． 【理解应用】请你应用小明的思维方法和学过的数学知识，写出下列各小题的正确结论． (1)的最小值为_；当可取任意有理数时，的值不可能为_；（只需写出一个符合条件的值） (2)当_时，可取最_值，最值为_； (3)若为正数，当_时，可取最_值，最值为_； (4)有理数中，若，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论是_（ 填写正确结论的序号）． (5)当的取值范围不同时（），代数式，，的大小情况也不同，请直接写出所有，，的大小情况和的对应取值范围（用“”从小到大排列，不要求写理由）． 题型6 一元一次不等式（组）与函数的多结论问题 给出多个关于一次函数的结论，要求判断哪些结论正确。 1. 根据函数解析式判断增减性（时递增，时递减）； 2. 根据截距判断图象与y轴的交点（交于正半轴，交于负半轴）； 3. 结合图象验证不等式的解集是否正确； 4. 总结正确结论的数量。 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③，是直线上不重合的两点，则； ④． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交y轴正半轴于点A，下列结论：①且；②一次函数经过点；③方程（其中）的解为；④若时，，则．其中正确的有______（填写序号即可）． 3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有________． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）一次函数与的图象如图所示，则以下结论：①；②；③当时，；④关于x的方程的解是．其中正确的有______． 5．（25-26八年级下·全国·周测）一次函数（，，是常数）与（，是常数）的图象交于点．下列结论正确的有（   ） ①关于，的方程组的解是②一次函数（）的图象上任意不同两点和满足；③若（），则；④若，且，则当时，． A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 6．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)计算四边形的面积． (3)下列说法正确的有______（填序号）； ①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是； ③关于x的不等式的解集是． 题型7 不等式（组）、方程（组）与函数的综合探究 结合不等式、方程（组）与一次函数，要求探究函数图象的性质（如对称性、单调性）或解决实际问题（如求点的坐标、面积）： 1. 求出函数的解析式（如通过交点坐标用待定系数法）； 2. 画出函数的图象（标注关键点：与坐标轴的交点、两直线的交点）； 3. 结合图象探究性质（如对称性）； 4. 解决实际问题（如求三角形面积）。 1．（24-25九年级下·北京海淀·月考）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求m的取值范围． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______； (2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②当时，都成立，求a的取值范围． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）约定：如果函数的图象经过点，我们就把此函数称作“族函数”．比如：正比例函数的图象经过点(1，2)，所以正比例函数就是“族函数”．已知一次函数（为常数，） (1)已知一次函数是族函数，求之间的关系． (2)当时，无论取何值，一次函数必为族函数．若直线平分的面积，其中点的坐标分别为，，，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)已知一次函数和都是“族函数”．当时，一次函数的函数值满足，求的取值范围． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 6．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为． 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． _______ 2 0 ________ ．．． ①补全表格中横线部分的数据，并根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象： ②已知直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为10时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有1个时，直接写出的取值范围：___________． / 学科网（北京）股份有限公司 $