第2章 3 一元一次不等式与一次函数（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

3 一元一次不等式与一次函数

第 1 课时 一元一次不等式与一次函数

教学目标

1.体会一元一次不等式与一次函数的内在联系.

2.利用不等式与函数的关系解决简单的实际问题.

3.通过作函数图象，观察函数图象初步体验数形结合思想．

教学重难点

利用不等式与函数的关系解决简单的实际问题.

教学过程

一、导入新知

1.解不等式2x－5＞0.

2.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象是__________.它与x轴的交点坐标是                      ，与y轴的交点坐标是                ；要作一次函数的图象，只需_______点即可. 

3. 一次函数 y = 2x – 5它与x轴的交点坐标是                      ，与y轴的交点 坐标是                   .

下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.

二、课堂新授

知识点1 一元一次不等式与一次函数

做一做：

作出一次函数y=2x-5的图象：

x	……	0	2.5	……
y=2x-5	……	-5	0	……

观察图象回答下列问题:

(1)x取何值时, 2x-5=0

(2)x取哪些值时, 2x-5>0

(3)x取哪些值时, 2x-5<0

(4)x取哪些值时, 2x-5>3

由上述讨论易知：

“关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一元一次不等式的问题” ；

反过来，“关于一元一次不等式的问题”可变换成 “关于一次函数的值的问题”.

因此，我们既可以运用函数图象解不等式 ，也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，二者相互渗透 ，互相作用.

不等式与函数 、方程是紧密联系着的一个整体 .

想一想：如果y=-2x-5,那么当x取何值时, y>0?

思路一:

运用函数图象解不等式.作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得当x<-2.5时, y>0.

思路二:

将函数问题转化为不等式问题.即解不等式-2x-5 >0∴当x<-2.5时, y>0.

总结：

一元一次不等式与一次函数之间的关系

 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有紧密联系,当函数值等于0时,即为_____________;当函数值大于或小于0时,即为______________. 

从数的角度看

求ax+b>0（或<0）(a, b是常数，a≠0)的解集——函数y= ax+b的函数值大于0（或小于0）时x的取值范围

从形的角度看

 求ax+b>0（或<0）(a, b是常数，a≠0)的解集——直线y= ax+b在x轴上方（或下方）时自变量的取值范围

知识点2  用一次函数图象解一元一次不等式ax +b> cx +d(或ax +b< cx +d)

 兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自已才开始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m.列出函数关系式,作出函数图象,观察图象回答下列问题:

(1)何时弟弟跑在哥哥前面?

(2)何时哥哥跑在弟弟前面?

(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?

(4)你是怎样求解的?与同伴交流.

解:设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)，弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:

y1=4x.  y2=3x+9

方法一:图象法

(1)_______________时,弟弟跑在哥哥前面.

(2)__________时,哥哥跑在弟弟前面.

(3)______先跑过20m.______先跑过100m.

方法二:代数法

哥哥:y1=4x  弟弟: y2=3x+9

(1)何时弟弟跑在哥哥前面?

(2)何时哥哥跑在弟弟前面?

(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?