第1章 5 角平分线（第2课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦“三角形三条角平分线相交于一点且到三边距离相等”，通过“三角形居住区修学校”的实际问题导入，连接角平分线性质，引导学生画图、折叠探究，再进行证明，构建从具体到抽象的学习支架。 亮点在于动手操作与逻辑推理结合，“画一画”“折叠纸片”培养几何直观（数学眼光），证明过程分步引导推理（数学思维），表格对比和变式训练用数学语言清晰表达，提升学生推理能力和应用意识，助力教师高效教学，夯实几何基础。

5 角平分线 第 2 课时 角平分线（2） 教学目标 1.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”. 2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力. 教学重难点 证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”. 教学过程 一、导入新知 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB，BC，CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？ 二、课堂新授 知识点 三角形的内角平分线 画一画： （1）分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. （2）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 做一做： 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流． 结论：三角形的三条角平分线相交于一点. 结论证明： 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你能写出证明过程吗？ 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM、角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D,E,F. 求证：∠ A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF. 证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E， ∴PD=PE(____________________________________________).  同理:PE=PF.∴PD=PE=PF. ∴点P在∠A的平分线上(________________________________ __________________)， 即 ∠A的平分线经过点P. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 做一做 在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪三边的距离相等,凉亭的位置应选在(　 　) A.三角形的三条中线的交点处 B.三角形的三边的垂直平分线的交点处 C.三角形的三条角平分线的交点处　　 D.三角形的三条高所在直线的交点处 总结：三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形_______一点 交于三角形_______一点  钝角三角形 交于三角形_______一点 直角三角形 交于斜边的_________  交点性质 到三角形_____________的距离相等  到三角形_________的距离相等  素养考点 三角形的内角平分线 如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. （1）解：∵AD是△ABC的角平分线, DC⊥AC， DE⊥AB,垂足为E， ∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中，BD==4cm. ∴AC=BC=CD+BD=（4+4）cm. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 变式训练 1.如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4. (1)求点O到△ABC三边的距离和. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 解：（1）点O到△ABC三边的距离和为12. （2）连接OC， S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB =AB·OE+BC·ON+AB·OM =OM·（AB+BC+OM） =×4×32=64. 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度. 解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F, ∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC, ∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R, 在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8, 由勾股定理得AC=6. ∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO, ∴AC·BC=AB·OE+AC·OD+BC·OF， ∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2. ∴OD的长为2. 方法总结： 1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离. 2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解. 变式训练 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25. （1）△ABC内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作出这一点，并说明理由； （2）求这点到各边的距离. 解：（1）如图，作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P即为符合要求的点. 作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC， 垂足分别为E、F、G. ∵AP是∠BAC的平分线，∴PE＝PG. ∵CP是∠ACB的平分线，∴PF＝PG. ∴PE＝PF＝PG. （2）连接BP.设PE＝PF＝PG＝x. ∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△APC， ∴0.5AB·BC＝0.5AB·x＋0.5BC·x＋0.5AC·x. ∴7×24＝（7＋24＋25）x. 解得x＝3.即这点到各边的距离为3. 三、巩固练习 基础巩固题 1. △ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是 (　 　) A.点O一定在△ABC的内部 B.∠C的平分线一定经过点O C.点O到△ABC三边的距离一定相等　 D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等 2.如图,在Rt△ABC中,点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° 3.如图,已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ） A.P为∠A，∠B两角平分线的交点 B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点 C.P为AC，AB两边上的高的交点 D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点 4. 如图, O是△ABC的角平分线的交点,△ABC的面积为2,周长为4,则点O到BC的距离为(　 　) A.1 B.2 C.3 D.无法确定 能力提升题 1.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF. 求证：CF=EB. 证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90°（已知）, ∴CD＝DE (角平分线的性质). 在Rt△CDF和Rt△EDB中,CD=ED（已证）,DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. 2.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 解：如图所示. 拓广探索题 如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于 (　 　) A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $