第1章 5 角平分线（第2课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

5 角平分线

第 2 课时 角平分线（2）

教学目标

1.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.

2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.

教学重难点

证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.

教学过程

一、导入新知

 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB，BC，CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？

二、课堂新授

知识点 三角形的内角平分线

 画一画：

（1）分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？

发现：三角形的三条角平分线相交于一点.

（2）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？

发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.

做一做：

    剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．

结论：三角形的三条角平分线相交于一点.

结论证明：

点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：

试试看，你能写出证明过程吗？

求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

已知：如图，在△ABC中，角平分线BM、角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D,E,F.

求证：∠ A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.

证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，

∴PD=PE(____________________________________________). 

同理:PE=PF.∴PD=PE=PF.

∴点P在∠A的平分线上(________________________________ __________________)，

即 ∠A的平分线经过点P.

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.

做一做

在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪三边的距离相等,凉亭的位置应选在(　  　)

A.三角形的三条中线的交点处

B.三角形的三边的垂直平分线的交点处

C.三角形的三条角平分线的交点处　　

D.三角形的三条高所在直线的交点处

总结：三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别

		三边垂直平分线	三条角平分线
三角形	锐角三角形	交于三角形_______一点	交于三角形_______一点
	钝角三角形	交于三角形_______一点
	直角三角形	交于斜边的_________
交点性质		到三角形_____________的距离相等	到三角形_________的距离相等

素养考点 三角形的内角平分线

如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.