第1章 5 角平分线（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

5 角平分线

第 1 课时 角平分线（1）

教学目标

1.会叙述角平分线的性质定理及判定定理.

2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，并理解和掌握定理及其逆定理.

3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问题.

教学重难点

能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，并理解和掌握定理及其逆定理.

过程

一、导入新知

 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）

解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求.

二、课堂新授

知识点1 角平分线的性质定理

实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.

操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.

将三次数据填入下表：

猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

猜想验证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E.

求证：PD=PE.

证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.

在△PDO和△PEO中，∠PDO= ∠PEO，∠AOC= ∠BOC，OP= OP，

∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).∴PD=PE.

结论：角平分线的性质定理

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

应用所具备的条件：

（1）角的平分线；

（2）点在该平分线上；

（3）垂直距离.

定理的作用： 证明线段相等.

几何语言：∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB，

∴PD = PE.

素养考点 角平分线的性质定理

 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.

求证：EB=FC.

证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB, DF⊥AC，

∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.

在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，

∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ EB=FC.

变式训练

如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.

知识点2  角平分线的判定定理

思考：交换角平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论？这个新结论正确吗？

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

验证：

已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，且PD=PE.

求证：OP平分∠AOB.