第1章 5 角平分线（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦角平分线的性质定理与判定定理，通过“在S区建贸易市场”的实际问题导入，引导学生思考到角两边距离相等的点的位置，搭建从生活情境到数学理论的学习支架，衔接定理探究。 资料以实验探究为核心，通过测量猜想、全等证明培养数学思维中的推理能力，结合实际问题应用体现数学语言的模型意识，如实验操作感知性质，例题与变式训练巩固应用，助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，教师使用能清晰把握教学脉络，提升课堂效率。

5 角平分线 第 1 课时 角平分线（1） 教学目标 1.会叙述角平分线的性质定理及判定定理. 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，并理解和掌握定理及其逆定理. 3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问题. 教学重难点 能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，并理解和掌握定理及其逆定理. 过程 一、导入新知 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000） 解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求. 二、课堂新授 知识点1 角平分线的性质定理 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长. 将三次数据填入下表： 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 猜想验证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中，∠PDO= ∠PEO，∠AOC= ∠BOC，OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).∴PD=PE. 结论：角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 几何语言：∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD = PE. 素养考点 角平分线的性质定理 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. 证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ EB=FC. 变式训练 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm. 知识点2 角平分线的判定定理 思考：交换角平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论？这个新结论正确吗？ 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 验证： 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP（公共边），PD= PE（已知 ）， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）. ∴OP平分∠AOB. 结论： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 总结： 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 已知条件 OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 结论 PD=PE OP平分∠AOB 素养考点 角平分线的判定定理 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF， ∴ AD平分∠BAC. 又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°， 在Rt△ADE 中，∠AED=90°，AD=10， ∴ DE=AD=×10=5. 变式训练 如图所示，在△ABC中，AD是BC边的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.求证：DA平分∠EDF. 证明：证法1： ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BD＝CD，BE＝CF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是∠BAC的平分线，即∠EAD＝∠FAD. 又∵∠ADE＝90°-∠EAD，∠ADF＝90°-∠FAD， ∴∠ADE＝∠ADF，即DA平分∠EDF. 证法2： 同证法1，可得Rt△BED≌Rt△CFD. ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC. 又∵BE＝CF，∴AE＝AF. 又∵AE⊥DE，AF⊥DF， ∴DA平分∠EDF. 三、巩固练习 基础巩固题 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为________.  2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D，AB=10，S△ABD=15,则CD的长为 (　 　) A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线, ∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD= (　 　) A.75° B.80° C.85° D.90° 4.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论: ①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是(　 　) A.①和② B.②和③　 C.①和③ D.全对 能力提升题 1.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30 cm2，AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=______cm. 2.如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=60°,则下列结论: ①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的结论个数是 (　 　) A.1　 B.2 C.3　 D.4 拓广探索题 如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. (1)则点P到AB的距离为_______. (2)求△APB的面积. (3)求∆PDB的周长. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $