第1章 4 线段的垂直平分线（2）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦三角形三边垂直平分线的性质及尺规作等腰三角形，通过回顾线段垂直平分线的性质、判定定理及作法导入，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 资料亮点在于注重动手操作与逻辑推理结合，通过画、折叠三角形纸片直观感知性质，再经严谨证明深化理解，培养几何直观与推理意识。尺规作图环节从不同条件探究，提升应用意识，助力学生发展数学思维，也为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

4 线段的垂直平分线 第 2 课时 线段的垂直平分线（2） 教学目标 1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质. 2.能够运用三角形三边的垂直平分线的性质解决实际问题. 3.能够利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形. 教学重难点 1.能够运用三角形三边的垂直平分线的性质解决实际问题. 2.能够利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形. 教学过程 一、导入新知 1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.线段的垂直平分线的作法. 二、课堂新授 知识点1 三角形三边的垂直平分线的性质 画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 做一做： 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线． 结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点． 怎样证明这个结论呢？ 结论证明：点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可. 思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点P． 求证：点P也在AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC． 证明：∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC（线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）. 同理，PB=PC，∴ PA=PB=PC， ∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. 即边AC的垂直平分线经过点P. 结论：三角形三边的垂直平分线的性质 文字语言： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 几何语言： ∵点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴PA =PB=PC． 素养考点 三角形三边的垂直平分线的性质 如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部,那么这个三角形是 (　 　) A.直角三角形　 　 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 变式训练 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 知识点2 尺规作图 做一做： （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? 已知：三角形的一条边a和这边上的高h. 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h. 能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? 这样的等腰三角形有无数多个. 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 如图所示，这些三角形不都全等． （3）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形. 已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. 作法： 1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 4．连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形. 素养考点 尺规作图 已知直线l和l上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P. 已知：直线 l 和 l 上一点P． 求作：PC⊥l． 作法： ①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B． ②作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求 l 的垂线． 变式训练 已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P. 作法： ①先以点P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于点A，B. ②分别以A、B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作圆，相交于C、D两点. ③过两交点作直线 l ',此直线为l 过点P的垂线. 三、巩固练习 基础巩固题 1. 如图,等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ） A．80° 　　B．70° C．60° D．50° 2. 已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P.则下列结论一定成立的个数为(　 　) ①PA=PB=PC. ②点P在AC的垂直平分线上. ③∠BPC=90°+ ∠BAC. ④∠BAP=∠CAP. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 如图,有A,B,C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　 　) A.AC，BC两边高线的交点处　 B.AC，BC两边垂直平分线的交点处　 C.AC，BC两边中线的交点处　 D.∠A，∠B两内角平分线的交点处 4.如图,在△ABC中,点D是边AB,BC的垂直平分线交点,连接AD并延长交BC于点E,若∠AEC=3∠BAE=3α,则∠CAE=____________(用含α的式子表示).  5.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为(　 　) A.7 B.14 C.17 D.20 能力提升题 1.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC. 证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, ∴A与E都在线段BC的垂直平分线上,则AD垂直平分BC. 2.如图,在△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF.求证：BE＋CF＞EF. 证明:延长FD到G，使DG＝DF.连接EG、BG. 在△CDF和△BDG中，CD＝BD,∠CDF＝∠BDG,DF＝DG， ∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF. ∵DE⊥DF，DF＝DG， ∴EG＝EF.在△BEG中，BE＋BG＞EG， ∴BE＋CF＞EF. 拓广探索题 如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F . (1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长. (2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数. 解：（1）∵DM是AC边的垂直平分线,∴MA=MC, ∵EN是BC边的垂直平分线,∴NB=NC, AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20 cm. （2）∵MD⊥AC,NE⊥BC,∴∠ACB=180°-∠MFN=110°, ∴∠A+∠B=70°, ∵MA=MC,NB=NC,∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B, ∴∠MCN=40°. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $