第1章 4 线段的垂直平分线（1）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步教案（北师大版·新教材）

该教案聚焦线段垂直平分线的概念、性质定理及逆定理，通过码头选址、购物中心位置等生活情境问题导入，关联等腰三角形性质作为学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知。 此资料亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过观察猜想、逻辑证明发展推理意识，分层练习（基础、能力提升、拓广探索）强化应用意识，助力学生构建知识体系，提升教师教学效率与学生解题能力。

4 线段的垂直平分线 第 1 课时 线段的垂直平分线（1） 教学目标 1.理解线段垂直平分线的概念. 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理. 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算. 教学重难点 运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算. 教学过程 一、导入新知 1.如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 2.某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ 二、课堂新授 知识点1 线段垂直平分线的性质 思考：等腰三角形顶角平分线有哪些性质？ 垂直底边，并且平分底边． 垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线. AD所在的直线即线段BC的垂直平分线 ． 观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′. 由上可知： 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 探究发现： 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 猜想证明： 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 证明：∵　l⊥AB，∴ ∠PCA =∠PCB． 又AC =CB，PC =PC，　∴△PCA ≌△PCB（SAS）．∴PA =PB． 线段垂直平分线的性质定理 文字语言： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 几何语言： ∵P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB. 素养考点 如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 (　 　) A.AB=AD　　　 B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC 变式训练 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,将AB边沿AD折叠,发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上,则∠C=_________.  知识点2 线段垂直平分线的判定 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 逆命题：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 它是真命题吗？你能证明吗？ 想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 结论：线段垂直平分线的判定定理 文字语言： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 素养考点 线段垂直平分线的判定定理 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. 证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE. 在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE ∴Rt△EDO≌Rt△ECO（HL）. ∴OD＝OC. ∴O，E都在CD的垂直平分线上， ∴ OE是CD的垂直平分线. 三、巩固练习 基础巩固题 1. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是 (　 　) A.8 B.9 C.10 D.11 2.如图,在四边形ABCD中,E为AB的中点,DE⊥AB于点E,∠A=66°,∠ABC=90°,BC=AD,则∠C的大小为 .  3. 如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . 4.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. 5.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC与BD相交于点O,下列判断正确的有　　　(填序号). ①AC⊥BD;②AC,BD互相平分;③CA平分∠BCD. 能力提升题 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°, (1)作边AB的垂直平分线MN.(保留作图痕迹,不写作法) 解:如图: (2)在已知的图中,若MN交AC于点D,连接BD,求∠DBC的度数. 解: ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴AD=BD, ∵∠A=40°,∴∠ABD=∠A=40°, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)=70°, ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°. 2.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直平分BD. 求证:AB∥DF. 证明:∵EF垂直平分BD, ∴FB=FD,∴∠FBD=∠BDF, ∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠FBD, ∴∠ABD=∠BDF,∴AB∥DF. 拓广探索题 在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,则∠B等于　　　　. 解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角,分为两种情况: ①当∠A为锐角时, ∵AB的垂直平分线与AC所在的直线 相交所得到锐角为50°,∴∠A=40°, ∴∠B===70°. ②当∠A为钝角时, ∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°, ∴∠1=40°,∴∠BAC=140°, ∴∠B=∠C==20°. 综上所述，∴∠B等于70°或20°. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $