第1章 5 角平分线（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦角平分线的性质定理与判定定理，以“S区建贸易市场”实际问题导入，引导学生通过作角平分线解决距离相等问题，进而通过实验测量猜想性质，经全等证明性质定理，交换条件探究判定定理，构建完整知识脉络。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实问题抽象数学对象，如实验测量PD、PE长度培养抽象能力，以“数学思维”进行逻辑推理，如用AAS证性质、HL证判定发展推理意识，以“数学语言”规范几何表达。例题与变式训练结合实际，助学生理解应用，教师可借分层练习提升教学效率。

5 角平分线 第1课时 角平分线（1） 1.4 角平分线/ 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 导入新知 1.4 角平分线/ 1.会叙述角平分线的性质定理及判定定理. 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，并理解和掌握定理及其逆定理. 素养目标 3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问题. 1.4 角平分线/ 课堂新授 知识点1 角平分线的性质定理 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将 三次数据填入下表： 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_____ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE P D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.4 角平分线/ 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. 验证猜想： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE. 课堂新授 1.4 角平分线/ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理 结论 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. B A D O P E C 定理的作用： 证明线段相等. 课堂新授 1.4 角平分线/ 几何语言： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PD⊥OA,PE⊥OB， 课堂新授 B A D O P E C 1.4 角平分线/ 角平分线的性质定理 素养考点 1 课堂新授 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC. 例 A B C D E F 证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 1.4 角平分线/ 课堂新授 变式训练 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm. B A C P M D E 4 1.4 角平分线/ 知识点2 角平分线的判定定理 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：交换角平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论？这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 思考：这个结论正确吗？ 逆 命 题 课堂新授 1.4 角平分线/ 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 验证： B A D O P E 课堂新授 1.4 角平分线/ 证明： ∴OP平分∠AOB. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP B A D O P E 课堂新授 1.4 角平分线/ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 角平分线的判定定理 结论 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. B A D O P E C 定理的作用： 判断点是否在角平分线上. 课堂新授 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 1.4 角平分线/ 课堂新授 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 总结： 1.4 角平分线/ 角平分线的判定定理 素养考点 课堂新授 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 例 A B C D E F 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F， 且DE=DF， ∴ AD平分∠BAC. 又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°， ∴ DE= AD= . 在Rt△ADE 中，∠AED=90°，AD=10， 1.4 角平分线/ 课堂新授 变式训练 如图所示，在△ABC中，AD是BC边的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.求证：DA平分∠EDF. 证明：证法1： ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BD＝CD，BE＝CF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是∠BAC的平分线，即∠EAD＝∠FAD. 又∵∠ADE＝90°-∠EAD，∠ADF＝90°-∠FAD， ∴∠ADE＝∠ADF，即DA平分∠EDF. 1.4 角平分线/ 证法2： 同证法1，可得Rt△BED≌Rt△CFD. ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC. 又∵BE＝CF，∴AE＝AF. 又∵AE⊥DE，AF⊥DF， ∴DA平分∠EDF. 课堂新授 1.4 角平分线/ 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为________.  a-m 巩固练习 基础巩固题 1.4 角平分线/ 2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D，AB=10，S△ABD=15,则CD的长为 (　 　) A A.3 B.4 C.5 D.6 巩固练习 基础巩固题 1.4 角平分线/ 3. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线, ∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD= (　 　) A.75° B.80° C.85° D.90° A 巩固练习 基础巩固题 1.4 角平分线/ 4.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论: ①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是(　 　) A.①和② B.②和③　 C.①和③ D.全对 A 巩固练习 基础巩固题 1.4 角平分线/ 1.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的 面积是30 cm2，AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=______cm. 2 巩固练习 能力提升题 1.4 角平分线/ 2.如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=60°,则下列结论: ①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC, 其中正确的结论个数是 (　 　) A.1　 B.2 C.3　 D.4 D 巩固练习 能力提升题 1.4 角平分线/ 如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. (1)则点P到AB的距离为_______. 4 A B C P D 巩固练习 拓广探索题 1.4 角平分线/ 24 七彩城就梦想 解：由角平分线的性质，可知，PD=PC=4， (2)求△APB的面积. ·AB·PD=28. (3)求∆PDB的周长. A B C P D = 巩固练习 解： 1.4 角平分线/ 25 七彩城就梦想 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 判定定理 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 1.4 角平分线/ $