第1章 3 直角三角形（第2课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件核心内容为直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，课堂导入通过回顾SSS、SAS等已有判定方法，提出“两边及对角对应相等不一定全等，若为直角呢”的问题，搭建从一般三角形到直角三角形的知识支架，引导学生自然过渡到新知。 其亮点在于通过“做一做”画图操作培养几何直观与空间观念，证明过程结合勾股定理体现推理能力，例题联系滑梯、旗杆等生活情境培养应用意识。学生能提升探究与推理能力，教师可借助系统的例题和变式训练提高教学效率。

3 直角三角形 第2课时 斜边、直角边定理 1.2 直角三角形/ 导入新知 （2）两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三 角形全等吗？ （3）如果其中一组等边所对的角是直角呢？ 不一定全等. 思考：（1）我们学过的判定三角形全等的方法？ SSS、 SAS、 ASA 、AAS. 这节课我们一起来探索并证明直角三角形全等的判定. 1.2 直角三角形/ 1. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”. 2. 会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等. 素养目标 1.2 直角三角形/ 课堂新授 知识点 直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理） 思考： C B A 如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是AC、BC，斜边是AB. 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ 完全适用 1.2 直角三角形/ A B C A′ B′ C′ （1）两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ （2）两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ （3）两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 课堂新授 回答： 全等，AAS 全等，AAS或ASA 全等，SAS 1.2 直角三角形/ （1）如图，已知AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？ A B C D E F 课堂新授 思考： 不全等.证明三角形全等不存在SSA定理. （2）如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ 1.2 直角三角形/ 做一做： 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°. 再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB, 把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ A B C 课堂新授 1.2 直角三角形/ 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90°. A B C M C′ N 课堂新授 1.2 直角三角形/ （2）在射线C′M上截取B′C′=BC. M C′ A B C N B′ M C′ 画图思路 课堂新授 1.2 直角三角形/ 画图思路 （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′ M C′ A B C N B′ A′ 课堂新授 1.2 直角三角形/ 课堂新授 画图思路 （4）连接A′B′. M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 怎样证明你的结论？ 1.2 直角三角形/ 已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. A ' B ' C ' C B A 证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°, ∴AC2=AB2-BC2(______________).  同理,A′C′2=A′B′2-B′C′2(_____________).  ∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC=A′C′.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(_____).  勾股定理　 勾股定理　 SSS 课堂新授 1.2 直角三角形/ 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. “斜边、直角边”判定方法 结论 课堂新授 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). AB=A′B′, BC=B′C′, 在Rt△ABC 和 Rt△ A′B′C′ 中， 1.2 直角三角形/ 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF , ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF. ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理） 素养考点 课堂新授 例1 1.2 直角三角形/ 如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由. 课堂新授 解:∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt △ACD中, ∴Rt△ABD≌Rt △ACD（HL）， ∴BD=CD. AB=AC, ∠ADB=∠ADC , 变式训练 1.2 直角三角形/ 例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是 (　 　) A 课堂新授 1.2 直角三角形/ 课堂新授 变式训练 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL × SAS AAS AAS 1.2 直角三角形/ 课堂新授 例3 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA, AC=BD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 1.2 直角三角形/ 课堂新授 变式训练 如图， ∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 1.2 直角三角形/ 课堂新授 变式训练 如图，AC，BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分 别为C，D，AD=BC.求证：AC=BD. HL AC=BD Rt△ABD≌Rt△BAC 1.2 直角三角形/ 课堂新授 变式训练 如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系. HL ∠ADB=∠CBD Rt△ABD≌Rt△CDB AD∥BC 1.2 直角三角形/ 1. 如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN和PQ 上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=______. 7　 巩固练习 基础巩固题 1.2 直角三角形/ 2. 如图,AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D,若CB=CD,且∠1= 30°,则∠BAD的度数是 (　 　) A.90° B.60° C.30° D.15° B 巩固练习 基础巩固题 1.2 直角三角形/ 3. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 D 巩固练习 基础巩固题 1.2 直角三角形/ 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D、E，且AD＝AE，BD、CE交于点O. 求证：OB＝OC. 证明：∵AD⊥BD，AE⊥CE，∴∠D＝∠E＝90°. 在Rt△ABD和Rt△ACE中，∵AB＝AC，AD＝AE， ∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE， 即∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC. 巩固练习 基础巩固题 1.2 直角三角形/ 5.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF. 证明： ∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB＝AB,BC＝AD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠DAF＝∠CBE. 在△BCE和△ADF中，∠CEB＝∠DFA＝90°， ∠CBE＝∠DAF,BC＝AD， ∴△BCE≌△ADF（AAS）， ∴CE＝DF. 巩固练习 基础巩固题 1.2 直角三角形/ 解:AE⊥BF,理由如下: ∵AE=BF,AB=AC, ∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL),∴∠CAE=∠ABF, ∵∠ABF+∠AFB=90°,∴∠CAE+∠AFB=90°, ∴∠ADF=90°,即AE⊥BF. 如图,已知△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且EC⊥AC于点C,AE=BF.试判断AE和BF的位置关系,并说明理由. 巩固练习 能力提升题 1.2 直角三角形/ 如图,有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 巩固练习 拓广探索题 1.2 直角三角形/ 28 七彩城就梦想 (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 找对应边和对应角，分类讨论 巩固练习 1.2 直角三角形/ 课堂小结 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. “斜边、直角边” 在直角三角形中 内容 前提条件 在直角三角形中，只要有两边对应相等，则直角三角形全等 使用方法 1.2 直角三角形/ $