第1章 2 等腰三角形（第3课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦等边三角形的判定及含30°角的直角三角形性质，通过观察现实图片导入，衔接上节课等腰三角形判定，搭建新旧知识支架，引导学生自然进入新知探究。 其亮点在于以情境观察培养数学眼光，通过分情况证明（如60°角为顶角或底角）发展推理能力，用表格归纳性质与判定强化数学语言表达。例题与变式训练结合，助力学生掌握判定技巧，教师可借此提升教学效率，学生能深化逻辑思维与应用意识。

2 等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定 1.1 等腰三角形/ 导入新知 观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？ 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？ 1.1 等腰三角形/ 1. 能用所学的知识证明等边三角形的判定定理. 2. 掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题. 素养目标 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 知识点 1 等边三角形的判定 （2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ （3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）. 三个角相等的三角形是等边三角形. （1）等边三角形有哪些性质？ 等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一”. 思考： 你能证明这些定理吗？ 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 A B C 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠B, ∴ AC=BC. ∵ ∠B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 证明： 1.1 等腰三角形/ A B C 已知： 若AB=AC , ∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. ∵AB=AC , ∠A= 60 °， ∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)÷2= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 证明： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 证明： 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 课堂新授 1.1 等腰三角形/ 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是60°. A C B 60° 课堂新授 1.1 等腰三角形/ 1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 等边三角形的判定方法： 3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形. 推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，∴ △ABC是等边三角形. 推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，∴ △ABC等边三角形. C B A 结论 课堂新授 1.1 等腰三角形/ 等边 三角形 性质 判定的条件 三条边都相等 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 归纳总结 课堂新授 三条边都相等的三角形是等边三角形 1.1 等腰三角形/ 等边三角形的判定 素养考点 1 课堂新授 例 如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC. (1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由. 解： △ODE是等边三角形. 理由：∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°, ∵OD∥AB,OE∥AC, ∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°, ∴△ODE是等边三角形. 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 (2)线段BD,DE,EC三者有什么关系?写出你的判断过程. 解：BD=DE=EC. 理由:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°, ∴∠ABO=∠OBD=30°, ∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°, ∴∠DBO=∠DOB,∴DB=DO,同理,EC=EO, ∵DE=OD=OE,∴BD=DE=EC. 1.1 等腰三角形/ 方法总结 课堂新授 选用等边三角形判定方法的技巧 (1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定. (2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三角形来判定. (3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来判定. 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 变式训练 在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 . AB＝AC或∠B＝∠C 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 变式训练 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 变式训练 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°. ∵ AD=AE, ∴ △ADE是等腰三角形. ∴ △ADE是等边三角形. 又∵ ∠A=60°. 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 知识点 2 含30°角的直角三角形的性质 操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗 ? 猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系? 30° 30° 30° 30° 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 1.1 等腰三角形/ 证明猜想： 在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°. 求证:BC= AB. A 30° B C 分析：证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 30° 30° 课堂新授 1.1 等腰三角形/ ∵ ∠ACB=90° (已知)， ∴∠ACD=90°， 在△ABC与△ADC中， BC=DC，（作图） 　∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AB=AD. ∵∠ACB=90°,∠BAC=30° (已知) ， ∴∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BC= BD= AB． 30° A B C D 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD， 课堂新授 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 结论 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． A C B 推导过程：Rt△ABC中 ∵∠A＝30° ∴ BC＝ AB 1.1 等腰三角形/ 含30°角的直角三角形的性质 素养考点 2 课堂新授 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=15°, CD是腰AB上的高. 求证：CD= AB. 例 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. C B A D 1.1 等腰三角形/ 证明：∵AB=AC,∠B=15°, ∴∠B=∠ACB=15°， ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°， ∵∠ADC=90°，∴CD= AC= AB． 课堂新授 C B A D 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 变式训练 如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D在AB边上,DE⊥AB,并与AC边交于点E.如果AD=1,BC=6,那么CE等于 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 B 解析：∵在△ABC中,∠B=∠C=60°, ∴∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形. ∵DE⊥AB,∴∠AED=30°, ∵AD=1,∴AE=2, ∵BC=6,∴AC=BC=6, ∴CE=AC-AE=6-2=4. 1.1 等腰三角形/ 课堂新授 方法总结 含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质. 1.1 等腰三角形/ 1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 (　 　) A.有两个内角是60°的三角形 B.三边都相等的三角形 C.有一个角是60°的等腰三角形 D.有两个外角相等的等腰三角形 D 巩固练习 基础巩固题 1.1 等腰三角形/ 2. 三角形三边长分别为a，b，c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是 (　 　) A.等腰三角形 B.直角三角形　 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 C 巩固练习 基础巩固题 1.1 等腰三角形/ 3.如图,在正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,则 ∠BAC等于(　 　) A.60° B.75° C.90° D.135° A 巩固练习 基础巩固题 1.1 等腰三角形/ 4.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3． 则AC=_____，BC=_______． 6 A B C 3 30° 巩固练习 5.在△ABC中,AB=AC=10 cm，BD是高，且∠ABD=30°， 则CD=________________. 5cm或15cm 基础巩固题 1.1 等腰三角形/ 证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90° ∴BC= ∠B=60°， ∴BD= ∴BD= 1、已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=30°，CD⊥AB于D． 求证:BD= D A C B 30° 巩固练习 能力提升题 ∴∠BCD=30°， 1.1 等腰三角形/ 2、如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,∠C=60°, CD=4 cm,求BC的长. 证明:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°. 即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°, ∴∠ABD=∠DBC=30°. ∴△BDC是直角三角形(∠BDC=90°). 又∵CD=4 cm，∴BC=2CD=2×4=8(cm). 巩固练习 能力提升题 又∵∠C=60°, 1.1 等腰三角形/ 如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延长线上,且BE=AF=CD. 求证:△DEF是等边三角形. 证明：∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC, ∴∠EAF=∠EBD=120°, ∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD. 巩固练习 拓广探索题 1.1 等腰三角形/ 在△AEF和△BDE中, ∴△AEF≌△BDE(SAS),∴EF=ED, 同理可得△AEF≌△CFD, ∴EF=FD,∴EF=ED=FD, ∴△DEF为等边三角形. 巩固练习 1.1 等腰三角形/ 课堂小结 等腰三角形的拓展 三条边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定 特殊的直角三角形的性质 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 1.1 等腰三角形/ $