第1章 1 三角形内角和定理（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年八年级下册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件围绕三角形内角和定理展开，通过三类三角形争论内角和的情境导入引发认知冲突，引导学生从剪拼、折叠动手操作验证，过渡到多种辅助线方法证明定理，再应用定理解决计算、方程及实际问题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导入激发探究兴趣，通过多种证法培养推理意识，结合方程思想和实际问题发展模型意识。如情境中三角形争论引发思考，多种辅助线证法体现转化思想，方位角问题增强应用能力。助力学生提升数学思维，方便教师开展分层教学。

1 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 7.5 三角形的内角和定理/ 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形根据自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 情境引入 导入新知 7.5 三角形的内角和定理/ 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°． 2. 会运用三角形内角和定理进行计算. 素养目标 7.5 三角形的内角和定理/ 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 课堂新授 知识点 1 三角形的内角和定理 7.5 三角形的内角和定理/ 剪拼 A B C 2 1 （小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表演式剪拼过程） 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， 则∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 同学们还有其他的方法吗？ 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 思考 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 课堂新授 三角形内角和的应用 知识点 2 例 7.5 三角形的内角和定理/ A B C D 解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）. ∵∠B=38°，∠C=62°（已知）， ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）. ∵AD平分∠BAC（已知） ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= 在△ ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）. ∵∠B=38°（已知）,∠BAD=40°（已证）, ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）. ×80°=40° （角平分线的定义） 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB， ∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 课堂新授 素养考点 1 利用三角形的内角和定理求角的度数 7.5 三角形的内角和定理/  直线l1∥l2，把一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________． 40° 变式训练 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°. 几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 课堂新授 素养考点 2 方程的思想与三角形内角和相结合的题目 7.5 三角形的内角和定理/ ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 ； ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠C= ； ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 课堂新授 完成下列各题： 变式训练 7.5 三角形的内角和定理/ 19 七彩城就梦想 北 . A D 北 . C B . 东 E 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 课堂新授 素养考点 3 利用三角形的内角和定理解决实际问题 7.5 三角形的内角和定理/ 解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 北 . A D 北 . C B . 东 E 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？ 变式训练 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向, 所以∠ABD＝60°. 又因为∠DBE＝90°， 所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°. 因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， 所以∠ACE＝90°－40°＝50°. 所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°. 课堂新授 7.5 三角形的内角和定理/ 1.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 基础巩固题 巩固练习 7.5 三角形的内角和定理/ 3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 ° 巩固练习 2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　　 ． 基础巩固题 100 ° 7.5 三角形的内角和定理/ 如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE. ∴∠CED=∠B=78°. 又∵∠C=60°, ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°． 能力提升题 巩固练习 7.5 三角形的内角和定理/ 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°, ∴∠ABC+∠ACB=120°. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°. ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°, ∴∠BPC=180°-60°=120°. 拓广探索题 巩固练习 7.5 三角形的内角和定理/ 通过本课时的学习，需要我们掌握： 求角度 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 辅助线 三角形的 内角和等 于180 ° 作平行线 转化思想 课堂小结 7.5 三角形的内角和定理/ $