第一章 数列复习 第1课时 等差数列性质及其应用 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 数列复习 互动设计 第1课时 等差数列性质及其应用 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【知识网络构建】 【核心性质深度解析】 典型题例 一、核心概念图 二、五量关系图 性质一：下标和性质（最常用） 性质二：片段和性质 性质三：奇偶项性质 类型一：性质的灵活选用 类型二：多解法优化选择 类型三：等差数列与函数综合 类型四：等差数列与方程、不等式 类型五：创新应用与探究 性质四：和式特征性质 性质五：最值判定性质 互动设计课程 学 习 目 标 熟练掌握等差数列的五大核心性质。。。 返回主页 1 系统梳理等差数列的定义、通项公式、前n项和公式及其内在联系熟练掌握等差数列的五大核心性质，能灵活运用性质简化运算掌握等差数列与函数、方程、不等式的综合应用方法 2 通过知识网络的构建，培养系统思维和归纳总结能力通过典型问题的多解探究，体会优化选择的数学思想掌握”基本量法”与”性质法”的灵活切换策略 探 求 新 知 返回主页 一、核心概念图 二、五量关系图 1.核心概念图 等差数列 ├── 定义体系 │ ├── 定义： 成等差（公差n²d） ├── 奇偶项性质：S_奇、S_偶的关系 └── 最值性质：S_n的极值与a_n符号变化的关系 二、五量关系图 在 五个量中，已知任意三个，可求另外两个： 已知量 选用公式 求解策略 直接代入 梯形公式 解关于 的方程 注意 求 方程思想 【核心性质深度解析】 性质一：下标和性质（最常用） 内容： 若 ，则 特例： 若 ，则 应用技巧： - 求和时配对： - 简化计算：避免求 和 ，直接用已知项表示 例： 已知 ，则 ， 性质二：片段和性质 内容： 成等差数列，公差为 证明： 设 差为： 应用： 已知 和 ，快速求 ，无需计算 和 总项数 性质 项（偶数项） ， 项（奇数项） （中间项）， 性质三：奇偶项性质 记忆口诀： 偶数项看差比，奇数项看中项 性质四：和式特征性质 内容： 是等差数列，首项为 ，公差为 证明： ，符合等差数列定义 应用： 已知 和 ，可快速求公差 条件 结论 最值点 有最大值 满足 的 有最小值 满足 的 性质五：最值判定性质 典 例 铺 路 类型一：性质的灵活选用 类型二：多解法优化选择 类型三：等差数列与函数综合 类型四：等差数列与方程、不等式 类型五：创新应用与探究 类型一：性质的灵活选用 例1 在等差数列 中： 已知 ，求 和 已知 ，求 已知 ，求 和 解析： 下标和性质： ，所以 片段和性质： 成等差 即 成等差 等差中项： ，所以 类型二：多解法优化选择 例2 在等差数列 中，，求 的最大值。 解法一：基本量法 由 ，得 当 时， 解法二：对称性法（性质法） 是关于 的二次函数，由 ，知对称轴为 所以当 时， 取最大值。 解法三：通项分析法 由 这8项成等差，中间两项 又 （因为 且和最终减小），所以 故 时 最大。 优化建议： 解法二最快捷（3秒出答案），解法三最能体现本质，解法一适合基础巩固。 类型三：等差数列与函数综合 例3 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则下列结论正确的是（　） A. B. C. D. 解析： 构造函数 ，易知 是 上的奇函数且单调递增。 由已知： 由单调性：，即 下标和性质： ，所以 由 ，得 ；同理 答案：A 类型四：等差数列与方程、不等式 类型四：等差数列与方程、不等式 例4 已知等差数列 满足 ，。 求 的通项公式； 求使得 成立的 的取值范围。 解析： 由 ，得 由 ，得 ，， 不等式法： 验证： 时 ✓； 时 ✓ 类型五：创新应用与探究 例5 设数列 满足 。 求证：数列 是等差数列； 求 和 。 解析： 由 ，取倒数： （常数） 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列。 由 (1)：，所以 求 ： 注意 本身不是等差数列，不能用等差求和公式！ 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 在等差数列 中，，则 ______。 (1) -150° + 360° = 210°，第三象限 (2) 650° - 360° = 290°，第四象限 (3) -950° + 3×360° = -950° + 1080° = 130°，第二象限 【基础训练】 2. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （　） A. 5 　B. 7 　C. 9 　D. 11 (1) -150° + 360° = 210°，第三象限 (2) 650° - 360° = 290°，第四象限 (3) -950° + 3×360° = -950° + 1080° = 130°，第二象限 【基础训练】 3. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （　） A. 3 　B. 4 　C. 5 　D. 6 (1) -150° + 360° = 210°，第三象限 (2) 650° - 360° = 290°，第四象限 (3) -950° + 3×360° = -950° + 1080° = 130°，第二象限 【能力提升】 4. 等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则使得 最大的 为 ______。 【能力提升】 5. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的公差为 ______。 【能力提升】 6. 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，若 ，则 ______。 7. 已知数列 的前 项和 ， 是等差数列，且 。 求数列 的通项公式； 令 ，求数列 的前 项和 。 A组 1. 10 解析：，所以 2. A 解析：，所以 3. C 解析：， ，又 ， 解得 ，代入： （） B组 4. 14 解析：，又 即 ，而 ，所以 数列递增，（因为 ） 所以 最小，题目应为求最小值？或条件为 则 最大。 按原题条件，若 且 ，则 无最大值（递增）。 若理解为 且 ，则 ，， 最大。 5. 2 解析：，这是公差为 的等差数列 6. 解析： 7. 解： 时， 时， 验证 ：，符合。所以 设 公差为 ，则 所以 ，这是关于 的一次式，确为等差数列。 由 ， 又 ，验证成立。取 （使系数为整数），则 验证： ✓ 计算 （错位相减法） 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 1 2 3 4 认真领会 2. 易错强调 1. 知识小结 方法 关键步骤 适用场景 基本量法 设 ，列方程求解 条件分散，无规律 性质法 观察下标，配对求和 下标成等差、对称 函数法 ，求顶点 最值、范围问题 构造法 构造辅助数列或函数 递推关系、创新题 裂项相消 分式型数列求和 45 易错点再强调 下标计算： 到 共 项，不是 项 和式性质： 公差为 ，不是 最值取整： 对称轴 时，需比较 和 绝对值求和： 必须先找 或变号点 裂项系数： ，系数易漏 $