精品解析：河北保定市清苑区2025-2026学年第一学期期末质量监测七年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期末质量监测 七年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中．从著作中我们可以知道，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”．若收入元记作元，那么元表示（ ） A. 收入元 B. 支出元 C. 收入元 D. 支出元 2. 中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ） A. 点动成线，线动成面 B. 线动成面，面动成体 C. 点动成线，面动成体 D. 点动成面，面动成线 3. 我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予实际意义的例子中不正确的是（ ） A. 用100元购买两件单价为x元的商品，剩余元 B. 在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则表示男生人数 C. 周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为 D. 某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多万件 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成的，从左面看它们的形状图，其中与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 6. 王老师将正确的演算过程书写在黑板上，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂的多项式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A，两点在数轴上表示的数分别是，．以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 8. 解方程时，嘉嘉和淇淇有不同的解法，如图所示： 嘉嘉的解法 解：方程两边都除以，得 因为， 所以不成立 所以原方程无解 淇淇的解法 解：移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 所以原方程的解为 以下说法正确的是（ ） A. 嘉嘉的解法正确，淇淇的解法错误 B. 嘉嘉的解法错误，淇淇的解法正确 C. 嘉嘉和淇淇的解法都正确 D. 嘉嘉和淇淇的解法都错误 9. 如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何?其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少?若设有个人，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（ ） A. B. C. D. 12. 我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．例如，如图1所示，计算31×47，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘以47的每位数字，将结果计入对应的格子中(如3×4＝12的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1457，即31×47＝1457． 如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 比低的温度是_____． 14. 绿色建筑是实现“双碳”目标的重要发力点之一．作为“中国低碳城市发展项目”首批试点城市，保定牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的发展理念，截至2025年，全市累计建成绿色建筑平方米，新建建筑绿色建筑标准执行率．数据“”用科学记数法表示为_____． 15. 某校从参加计算机测试的学生中随机抽取了60名学生的成绩进行分析，并将其分成了六段后绘制成如图所示的频数直方图（每组含最小值，不含最大值，其中70～80分数段因故看不清）．若60分及60分以上为及格，则这次测试的及格率为____________． 16. 定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是．则线段的“理想点”表示的数是_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算 （1） （2） 18. 解方程 （1） （2） 19. 如图，已知，，求． 20. 学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． （1）淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（ ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律 （2）请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 21. 为增强学生体质，教育行政部门规定学生每天在校参加户外体育活动的平均时间不少于．某区为了解学生在校参加户外体育活动的情况，对部分学生在校参加户外体育活动的时间进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如图的统计图表（不完整）． 时间/h 人数 0.5 60 1.0 80 1.5 a 2.0 总计 请你根据图表中提供的信息解决下列问题： （1）求与的值； （2）求表示在校参加户外体育活动时间为的扇形圆心角的度数； （3）调查学生中在校参加户外体育活动时间达标人数占所有调查人数的百分比是多少？ 22. 阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是_____； （2）已知，求代数式的值； （3）若，，直接写出代数式的值． 23. “运-20”是我国自主研发的大型军用运输机，在执行一次从地到地的物资运送任务中，“运-20”在顺风飞行时的速度比无风时快，而逆风飞行时的速度比无风时慢．已知“运-20”在无风时的速度是每小时800千米，顺风飞行比逆风飞行少用小时，如果设“运-20”顺风飞行需要小时，请完成以下问题： （1）顺风速度是每小时_____千米；逆风速度是每小时_____千米． （2）求的值，并计算出“运-20”从地到地的航程． 24. 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移，下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】 （1）课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点．若，求线段的长，下面是嘉嘉根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 因为点，分别是线段，的中点， 所以，___①___． 所以___②_____③__． 因为 所以___④__． 【知识迁移】 （2）嘉嘉举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是内部的一条射线，、分别是，的平分线，求的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】 （3）接着老师又提出这样一个问题；如图3．现有一张长方形纸片，点在边上，点在边上，连接．将对折，得折痕，若在上存在另一点，连接，将对折，得折痕，且，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末质量监测 七年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中．从著作中我们可以知道，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”．若收入元记作元，那么元表示（ ） A. 收入元 B. 支出元 C. 收入元 D. 支出元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，关键是熟练应用知识点解题；利用正数与负数表示相反意义的量进行求解． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴元表示支出元， 故选：B． 2. 中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ） A. 点动成线，线动成面 B. 线动成面，面动成体 C. 点动成线，面动成体 D. 点动成面，面动成线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点、线、面、体．从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【详解】解：枪挑一条线即为点动成线，棍扫一大片即为线动成面， 故选：A． 3. 我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予实际意义的例子中不正确的是（ ） A. 用100元购买两件单价为x元的商品，剩余元 B. 在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则表示男生人数 C. 周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为 D. 某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多万件 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的意义， 根据例子逐项列出代数式，再判断即可． 【详解】解：因为两件商品的价格为元，剩余元，所以A符合题意； 因为女生有人，则男生有人，所以B不符合题意； 因为长方形的对边相等，一边长为x，则另外一边的长为，所以C符合题意； 因为前年的产量为万件，去年的产量为100万件，则去年的产量比前年多万件，所以D不符合题意． 故选：C． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，直接移项，得出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 故选：B． 5. 下列几何体都是由5个棱长为1的正方体组成的，从左面看它们的形状图，其中与其他三个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，找到从物体的左面看得到的图形是关键．找到从左面看得到的图形，再比较即可． 【详解】解：A、从左面看得到的图形为， B、从左面看得到的图形为， C、从左面看得到的图形为， D、从左面看得到的图形为， 可以看出只有选项B从左面看得到的图形与其他选项从左面看得到的图形不同， 故选：B． 6. 王老师将正确的演算过程书写在黑板上，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂的多项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是根据“加数和另一个加数”列出算式并计算． 【详解】解：设所捂的多项式为， 由题意得 ． 故选：A． 7. 如图，A，两点在数轴上表示的数分别是，．以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用A，在数轴上的位置可以判断出，的大小，再利用有理数的运算即可求解． 【详解】解：由题意，得：，， 则，故正确； ∵，， ∴， 故错误； 故正确； ∵，， ∴，， ∴， 故正确； 故答案选：C． 【点睛】本题主要考查数轴和绝对值的知识，解题的关键是判断出，的大小，以及与的大小． 8. 解方程时，嘉嘉和淇淇有不同的解法，如图所示： 嘉嘉的解法 解：方程两边都除以，得 因为， 所以不成立 所以原方程无解 淇淇的解法 解：移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 所以原方程的解为 以下说法正确的是（ ） A. 嘉嘉的解法正确，淇淇的解法错误 B. 嘉嘉的解法错误，淇淇的解法正确 C. 嘉嘉和淇淇的解法都正确 D. 嘉嘉和淇淇的解法都错误 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，是解题的关键．根据等式的基本性质和解一元一次方程的基本方法，进行判断即可． 【详解】解：对于嘉嘉的解法来说，方程两边都除以时要进行分类讨论，分为和进行讨论，当时，方程成立，因此嘉嘉的解法错误； 对于淇淇的解法来说，利用了移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，但淇淇在移项时，没有变号，应该是，而不是，因此淇淇的解法也错误； 综上分析可知：嘉嘉和淇淇的解法都错误． 故选：D． 9. 如图是长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，则此长方体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键；设底面正方形的边长为，根据图示中的相关数据列出方程，求出，再根据长方体的体积求解即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为， 由图可得， 解得， 则， ∴长方体的体积为， 故选：D． 10. 我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何?其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少?若设有个人，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设有个人，根据“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘”和车的数量不变列出方程即可解答． 【详解】解：设有个人，则可列方程： ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，审清题意、明确题中的等量关系是解题关键． 11. 如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上数字类的规律探索，关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系；圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从开始的整数分别对应圆上的、、、，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， ∴数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ∵， ∴数轴上表示的数与圆上表示的点重合， 故选：A ． 12. 我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．例如，如图1所示，计算31×47，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘以47的每位数字，将结果计入对应的格子中(如3×4＝12的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1457，即31×47＝1457． 如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据“铺地锦”的定义计算即可． 【详解】设3下面的数字为 根据“铺地锦”的定义，解得 ∵必须是正整数，且a为十位上的数字 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查新定义；能够理解新定义，3a的结果用各位数字正确表示出来是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 比低的温度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据题意，列减法算式求解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 绿色建筑是实现“双碳”目标的重要发力点之一．作为“中国低碳城市发展项目”首批试点城市，保定牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的发展理念，截至2025年，全市累计建成绿色建筑平方米，新建建筑绿色建筑标准执行率．数据“”用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 等于整数位数减，据此解题即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 15. 某校从参加计算机测试的学生中随机抽取了60名学生的成绩进行分析，并将其分成了六段后绘制成如图所示的频数直方图（每组含最小值，不含最大值，其中70～80分数段因故看不清）．若60分及60分以上为及格，则这次测试的及格率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出不及格率，再用1减去不及格率，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． 【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键要明确利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 16. 定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是．则线段的“理想点”表示的数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，数轴上两点之间的距离，解绝对值方程，关键是熟练应用知识点解题；设点表示的数是，根据点到线段两个端点的距离之比为列方程求解即可． 【详解】解：设点表示的数是， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点到线段两个端点的距离之比为， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴表示的数是或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据有理数的加减法法则进行计算即可； （2）先算乘方再算乘除最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项、系数化为1即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 合并同类项，得， 方程的两边都除以，得； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 方程的两边都除以5，得． 19. 如图，已知，，求． 【答案】120° 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出∠DOC，然后即可求出∠AOD． 【详解】解：∵， ∴∠DOC=∠BOD－∠BOC=45° ∴∠AOD=∠AOC＋∠DOC=120° 【点睛】此题考查的是角的和与差，掌握各角的关系是解决此题的关键． 20. 学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． （1）淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（ ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律 （2）请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【小问1详解】 解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； 【小问2详解】 解： ． 21. 为增强学生体质，教育行政部门规定学生每天在校参加户外体育活动的平均时间不少于．某区为了解学生在校参加户外体育活动的情况，对部分学生在校参加户外体育活动的时间进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如图的统计图表（不完整）． 时间/h 人数 0.5 60 1.0 80 1.5 a 2.0 总计 请你根据图表中提供的信息解决下列问题： （1）求与的值； （2）求表示在校参加户外体育活动时间为的扇形圆心角的度数； （3）调查学生中在校参加户外体育活动时间达标人数占所有调查人数的百分比是多少？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据时间为的人数及所占的比例可求出总人数，从而可求出和的值； （2）根据的值即可得出答案； （3）直接根据扇形统计图的达标人数占所有调查人数的百分比即可． 【小问1详解】 调查人数为（人）， ， 户外体育活动时间为的有（人）， ； 【小问2详解】 ； 答：表示在校参加户外体育活动时间为的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 ， 答：调查学生中在校参加户外体育活动时间达标人数占所有调查人数的百分比是． 22. 阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是_____； （2）已知，求代数式的值； （3）若，，直接写出代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值，解决问题的关键是整体代入的方法求代数式的值． (1)把整体看成一个字母，根据合并同类项的法则进行计算； (2)由，可得，再利用整体代入的方法求代数式的值； (3)把与的两式相减，可得：． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 即， ； 【小问3详解】 解：，， ， 去括号得：， 合并同类项得：． 23. “运-20”是我国自主研发的大型军用运输机，在执行一次从地到地的物资运送任务中，“运-20”在顺风飞行时的速度比无风时快，而逆风飞行时的速度比无风时慢．已知“运-20”在无风时的速度是每小时800千米，顺风飞行比逆风飞行少用小时，如果设“运-20”顺风飞行需要小时，请完成以下问题： （1）顺风速度是每小时_____千米；逆风速度是每小时_____千米． （2）求的值，并计算出“运-20”从地到地的航程． 【答案】（1）960，640 （2）的值为3，从A地到B地的航程是2880千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据，“运-20”在顺风飞行时的速度比无风时快，而逆风飞行时的速度比无风时慢，分别列式计算即可； （2）设“运-20”顺风飞行需要小时，则逆风飞行需要小时，根据路程相等列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【小问1详解】 顺风速度是每小时千米； 逆风速度是每小时千米； 故答案为：960，640； 【小问2详解】 由题意，得 解得，， 答：的值为3，从A地到B地的航程是2880千米． 24. 线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移，下面是某节课的学习片段，请完成探究过程． 【探究发现】 （1）课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，点，分别是线段，的中点．若，求线段的长，下面是嘉嘉根据老师的问题进行的分析及解答过程，请你将其补全． 因为点，分别是线段，的中点， 所以，___①___． 所以___②_____③__． 因为 所以___④__． 【知识迁移】 （2）嘉嘉举一反三，发现有些角的计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是内部的一条射线，、分别是，的平分线，求的度数．请尝试解决该问题． 【拓展延伸】 （3）接着老师又提出这样一个问题；如图3．现有一张长方形纸片，点在边上，点在边上，连接．将对折，得折痕，若在上存在另一点，连接，将对折，得折痕，且，请直接写出的度数． 【答案】（1）①②③④；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的思路作答即可； （2）根据角平分线的定义表示出的和，然后根据计算即可得解； （3）根据折叠的性质，角的和差定义分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：因为点，分别是线段，的中点， 所以，， 所以， 因为， 所以． 故答案为：①②③④； （2）解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠可知：， 当在的左侧时， ∵， ∴， ； 当在的右侧时， ∵， ∴， ； 综上：的度数或． 【点睛】本题考查了角的和差、翻折变换、角平分线的定义、线段的计算、线段中点定义、线段的和差，关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $