1.3 第3课时 完全平方公式的认识-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

第3课时 完全 ②基础过关。逐点击破 知识点1用完全平方公式进行运算 1.计算(a-1)2正确的是 ) A.a2-a+1 B.a2-2a+1 C.a2-2a-1 D.a2-1 2.下列计算正确的是 A.(-2a-1)2=-4a2-4a+1 B.(2a+1)2=4a2+1 C.(-a-1)2=-a2-2a+1 D.(2a-1)2=4a2-4a+1 3.如果关于x的多项式x2+8x十b是一个完 全平方式，那么b的值为 4.计算： (1)(5mn+1)2; (2)(-3+2a)2; (3)(-2x-y)2. 5.(1)先化简，再求值：(x十1)2+(2十x)(2 x),其中x=1; 15数学七年级下册(BS) 平方公式的认识 (2)已知ah=子，求(4a十b)2-(4a-b): 的值. 知识点2用图形验证完全平方公式 6.如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两 个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的 乘法公式是 图① 图② A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=(a+b)2-4ab D.(a+b)(a-b)=a2-62 7.如图①是一个长为2m,宽为2m(m>n)的长 方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把 它分成四块形状和大小都一样的小长方形， 然后拼成如图②所示的正方形，则中间空白 部分的面积是 图① 图② A.2mn B.(m+n)2 C.(m-n)2 D.m2-n2 可能力提升。整合运用 8.婷婷在计算一个二项式的平方时，得到的正 确结果是9x2+24xy+■，但最后一项不慎 被污染了，这一项应是 A.16y2 B.8y2 C.4y2 D.±16y2 9.(西安交大附中期末)已知(3a-m)2=9a2+ 3a十子，则m的值应为 A号 B司 c D.- 10.如图，C是线段AB上的一点，以AC,BC 为边在AB的两侧作正方形.若AB=6,两 个正方形的面积和S1十S2=20,则图中阴 影部分的面积为 11.数学文化杨辉三角（教材P2z“阅读·思考”变式） 我国古代数学的许多创新和发展都位居世 界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪中 叶)所著的《详解九章算法》一书中，用如图 所示的三角形解释二项和(a十b)”的展开 式的各项系数，此三角形被称为“杨辉三 角”.根据“杨辉三角”，设(a十b)5的展开式 中第三项的系数为m,(a十b)1的展开式中 第三项的系数为n,则m十n= (a+b)°…1 (a+b)… ……1 (a+b)2.…1 (a+b)…13 (a+b)4.…14 6 … 12.（教材P25习题T3变式)课堂上，老师出了 这样一道题：计算(a-b十2c)2. 小明的解法是： (a-b+2c)2 =[(a-b)+2c]2 =(a-b)2+2(a-b)·2c+(2c)2 =a2-2ab+b2+4ac-4bc+4c2. 你还有其他解法吗？试一试吧！ @ 思维拓展。学科素养 13.从特殊到一般观察下列等式： 第1个等式：(2×1十1)2=(2×2+1)2- (2×2)2, 第2个等式：(2×2+1)2=(3×4十1)2一 (3×4)2, 第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2一 (4×6)2, 第4个等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2一 (5×8)2, …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式 子表示)，并验证. 第一章整式的乘除16能力提升 8.C9.1410.-101211.解：原式=10112-(1011-1)(1011+1)=1011 (10112-1)=10112-10112+1=1,12.解：原式=9x2-4十x2-2x=10x2-2x 4.因为5x2-x-1=0,所以5x2-x=1,所以原式=2(5x2-x)-4=2×1-4=-2. 思维拓展 13.解：1a-6=a+a-b)2)原式=(1-2)(1+2)(1-3)(1+3)(1 )(1+)“(1-202s)(1+202s)(1-202)(1+202)-(1+2)(1+ 3)1+)…(1+20)(1+202)(1-专）)(1-专)(1-是)…(（1 22)1-202)号×音×子×…x20昭器×号0×合×号×是×…×8器 208器-2925×2=8器(310-9++-x+-1=10 2024- 992+…十42-32+22-1)=π[(100+99)(100-99)+…+(4+3)(4-3)+(2+ 1)(2-1D]=100+99+.十4+3+2+1)=元.100X()+10)=5050元(cm2).答： 2 所有阴影部分的面积和为5050πcm2. 第3课时完全平方公式的认识 基础过关 1.B2.D3.164.解：(1)原式=25mn2十10mn十1：(2)原式=9-12a十4a2:(3)原 式=(2x+y)2=4x2+4xy十y.5.解：(1)原式=x2+2x十1十4-x2=2x十5.当x= 1时，原式=2+5=7：(2)原式=(16a2十8ab十6)-(16a2-8ab+b2)=16a2十8ab+ 6-16d+8ab-6=16a6.因为a6=,所以原式=16×=4.6A7.C 能力提升 8.A9.B10.411.5512.解：有.解法不唯一，如：(a-b十2c)2=[(a十2c)-b]= (a+2c)2-2(a+2c)·b+b=a2+4ac+4c2-2ab-4bc+6.或(a-b+2c)2=[a-(b- 2c)]2=a2-2a(b-2c)+(b-2c)2=a2-2ab+4ac+b-4bc+4c2. 思维拓展 13.解：(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2(2)第n个等式：(2n十1)2=[(n十 1)·2n十1]2-[(n十1)·2].验证：左边=4n2十4n十1，右边=[(n十1)·2m]十2· (n十1)·2n十12-[(n十1)·2]=4n2十4n十1，所以左边=右边，即等式成立. 第4课时完全平方公式的综合应用 基础过关 1.C2.C3.(1)0.020.9604(2)1000210040044.解：(1)原式=(200 1)2=200-2×200×1十1=39601；(2)原式=(47-27)2=202=400：(3)原式= (10+2)=10+2×100×号+（号）广=1010÷.5.A6.x-2x+1 7.解：(1)原式=2(x2-2x十1)-(2x2十x)=2x2-4x十2-2x2-x=-5x十2；(2)原式 =9a2-12ab+4b-46十a=10a2-12ab:(3)原式=(a+2b)2-(3c)2=a2+4ab+46 -9c2.8.29 能力提升 9.C10.D11.409912.解：因为x2一2x十5=0，所以x2-2x=-5,所以A=(x一 2)2+(x十3)(x-3)=x2-4x十4十x2-9=2x2-4x-5=2(x2-2x)-5=2X(-5) 5=-15. 第4页（共48页） 思维拓展 13.解：(1)(a-b)2=(a十b)2-4ab(2)12(3)(3a十b)(a+b)=3a2+4ab+b (4)因为x2+y2=34,BE=2,所以x-y=2.所以(x-y)2=x2-2xy十y2=4,所以34 -2xy=4,所以2xy=30.因为(x十y)2=x2+2xy十y2=34十30=64，且x十y>0,所以 x十y=8图中阴影都分的面积和为S十S照=子(x一)十名(x一》=子r 1 1 -=2x-=×8x2=8 夯实基础专题乘法公式 1.解：(1)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-96b;(2)原式=(-x)2-(4y)2=x2-16y2;(3)原 式=16x2+24xy十9y2:(4)原式=(2b-5a)2=4h2-20ab+25a2;(5)原式=(3x十5y) =9x2+30xy十25y:(6)原式=9a-6a十1-9a2+1=-6a十2：(7)原式=(m2 n2)(m2+2)(m-n)=(m-n)(m-n)=m8-2mn4十n.2.解：(1)原式=(x -3y)(x+3y)=x2-9y;(2)原式=[2a-(3b-3)][2a+(3b-3)]=(2a)2-(3b-3) =4a2-962+18b-9;(3)原式=[(x-2)(x十2)(x2+4)]=[(x2-4)(x2+4)]2=(x -16)=x8-32x+256.3.解：(1)原式=(400-1)×(400+1)+1=4002-1+1= 160000:(2)原式=(100+3)2=1002+2×100×3+3=10609.4.(1)2(2)35 5解：④2030(2)因为m+六=5，即(a+)广-25，所以m+点+2=25，即m m 十+=28，所以(u品)广=m+-2=28-2=21,(3)设正方形ABDE的边长为 a,正方形BCFG的边长为b.因为正方形ABDE和正方形BCFG的面积和为36，所以 a2+6=36.因为△ABC的面积为5，所以2ab=5,所以ab=10.因为(a-b)°=a2+b -2ab=36-20=16,所以a-b=4或a-b=-4(舍去)，即AG=a-b=4. 4整式的除法 基础过关 1.D2.D3.D4.A5.解：(1)原式=-2abc;(2)原式=36x2y÷4xy=9xy; (3)原式=-3×102.6.B7.-6x+2y-18.2a-4b+19.解：(1)原式=4y 3xx;(2)原式=-5x2y2+4y3十1.10.C11.解：原式=(x2十4x十4)-(x2十3)=x +4x十4-x2-3=4x十1.当x=-2时，原式=4×(-2)十1=-8十1=-7. 能力提升 12.C13.914.4x2+115.解：(1)原式=(4a2+4ab+b2+b2-4a2-2ab-4b)÷2b =(2ab-2b)÷26=a-6当a=6,b=2时，原式=6-2=4：(2)因为(a+2）≥0， 1b-21≥0,1+e)≥0，所以(a+2)广=0,1b-21=0,1+0)2=0,所以a+号=0,6 -2=0,1十c=0,解得a=-之，b=2,c=-1。所以原式=号ac÷专ac·c6= 日a6c=子×(-)×2×(-1D=合××4X1=子16，解：第-处错误： (一a-b)3=(a十b)3不对，而是等于-(a十b)3;第二处错误：2(a十b)3≠8(a十b)3;第 三处错误：8(a十b)÷8(a十b)3=(a十b)3不对，而是等于(a十b)2,正确的解题过程是 T8(a+b)5-4(a+b)+(-a-b)3]÷[2(a+b)3]=[8(a十b)5-4(a+b)4-(a+b)3]÷ 1 [2(a+b)3]=4(a+b)2-2(a+b)-2: 思维拓展 17.(1)x+x5十x+x3十x2+x+1(2)255 第5页（共48页） 计算强化专练整式的乘除 1.解：(1)原式=-10x5y;(2)原式=9ax·(-8a°x3)=-72a“x;(3)原式=-a3b -6ab-2a;(4)原式=x2-2x-15-x2+2x=-15,2.解：(1)原式=4xyx;(2)原式 =a6÷(-3ab)=-3a'B,(3)原式=-3xy+x,(4)原式=(12x-6x+8x)÷ 4x=3x-号r+2.3.解：(1)原式=-27xy·(-6x2y)÷9xy=162xy÷ 3 9xy=18xy2;(2)原式=(a2十a-3a2+15a)÷2a=(-2a2+16a)÷2a=-a+8: (3)原式=-2x十4x2-3-(4x2-4x十1)=-2x+4x2-3-4x2十4x-1=2x-4. 4.解：(1)原式=2x3-4x2-6x十5x2-10x-15-2x3+8x2+12x=9x2-4x-15.当x =2时，原式=36-8-15=13；(2)原式=a2+6a+9-a2+1+4a-12=10a-2.当a= 号时，原式=10X号-2=5-2=3：(3)原式=[4a十4a6+8-(4a-6)]÷26=(4d +4ab+b-4a2+b)÷2b=(4ab+2b)÷2b=2a十b.当a=2,b=-1时，原式=2×2 -1=3;(4)原式=(a2-2ab+6+b2-a2-6b)÷b=(2b2-2ab-6b)÷b=2b-2a-6. 因为a十号引十6一3=0，所以4=一名6=8，所以原式=6十1一6=1.5解： (1)原式=x2+2x十x2+2x十1=2(x2+2x)十1.因为x2十2x-3=0,所以x2+2x=3, 所以原式=2X3+1=7:(2)原式=(2xy-2y2-x2+2xy-y2+x2+2xy+y2-2xy)÷ 0=(4xy-2y)÷4y=x-子y=子(2x-0.因为y-2x=20,所以2x-y=-20,所 以原式=号×(-20)=-10：(3)原式=4x--4r+4y-y+2y2-8y=-4y 因为xy=2025,所以原式=-4×2025=-8100：(4)原式=4y2-9x2+9x2-5xy+ xy=4y2-4xy=4(y2-xy).因为y(y-x)十5=0，所以y2-xy=-5,所以原式=4× (-5)=-20. 第一章整合与提升 高频考点突破 1.D2.C3.C4.D5.D6.8.75×10-57.D8.C9.B10.±111.解： ①原式=若a÷(名）号a÷(言a)+a÷(吉)=-a+2a-3:(2原 。1 式=-2a6·a8÷a8=-7÷a6=-号0：(3)原式=3d-a6叶3a6 -b-(4a2-b2)=3a2+2ab-b2-4a2+62=-a2+2ab.12.解：(1)原式=(30+1)× (30-1)=302-12=899:(2)原式=(100-2)2=1002-2×100×2+22=9604. 13.解：(1)原式=x2十2xy十y2+x2-2xy=2x2+y2.当x=1,y=-2时，原式=2×1 十(-2)2=6：(2)原式=(m2n2-4-2m2n2+4)÷mn=-m2m2÷mn=-m.当m=5,n =一号时，原式=-5×（号合）=1,14，解：原式=父-2十m2-mx十nx-n=x 十(m-1)x2十(n一m)x-.因为结果中不含x2项和x项，所以m-1=0且n-m=0, 解得m=1,n=1.15.解：(1)两块空地的总面积为(3a十2b)(2a十b)+(a十b)(a-b) =6a2+7ab+2b+a2-b2=7a2+7ab+b(m),种花的面积为(a-b)2=a2-2ab+ b2(m),种植草坪的面积为7a2+7ab十b-(a2-2ab+b)=6a2+9ab(m);(2)当a= 30,b=10,种植草坪的价格为30元/m时，应投入的资金为30(6a2+9ab)=30×(6× 302+9×30×10)=243000(元). 易错易混专攻 1.4x2y-6x3y2.1或-1 常考题型演练 1.C2.B3.354.解：因为 2=ad-,所以m- =m2(m-2) 1-2mm-2 第6页（共48页）