1.3乘法公式（第1课时 平方差公式）（教学课件，含交互动画）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦平方差公式的推导、结构特征及应用，通过数值计算对比（如51×49与(50+1)(50-1)）导入，复习多项式乘多项式法则搭建学习支架，衔接新知探究。 其亮点在于采用“从特殊到一般”归纳法，结合具体实例培养抽象能力和推理意识，通过公式辨析（如判断(2x+3)(3x-2)能否用公式）和真题应用（如2023×2025-2024²计算）提升应用意识。学生能深化对公式本质的理解，教师可高效开展教学。

1.3 乘 法 公 式 （第1课时） 平 方 差 公 式 第一章 整式的乘除 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解平方差公式的推导过程，掌握公式的结构特征，能运用平方差公式进行简单的整式乘法计算和有理数的简便运算。 经历从具体数值计算到抽象公式推导的过程，体会从特殊到一般的归纳方法，培养观察、分析、归纳和应用的能力。 在公式探究和应用中感受数学的简洁美与实用性，激发学习代数的兴趣，增强学好数学的自信心。 知识回顾 多项式乘以多项式的运算法则法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq 多项式 × 多项式 多项式 × 单项式 单项式 × 单项式 转化 新知探究 探究点1 两数和与两数差相乘 议一议 （1）快速计算下列两组运算，对比哪组计算更简便？ 第二组（多项式乘法）： 第一组（常规乘法）： 哪一组小组先完成？ 第二组式子有什么共同特征？为什么计算更简便？ 比赛开始 新知探究 探究点1 两数和与两数差相乘 议一议 （2）你能从第二组数的运算中归纳规律吗？ （3）等式左边两个数的形式有什么特点？右边的结果与左边的数有什么关系？ 两数的___ 差 两数的___ 和 两数_____的___ 差 平方 左边是两数和与两数差和积， 右边的结果是这两个数的平方差。 中间项合并 新知探究 探究点2 归纳平方差公式 议一议 （1）(x+2) (x–2) （2）(1+3a) (1–3a) （3）(x+5y) (1–5y) （4）(2y+z) (2y–z) = x2 – 2x + 2x – 22 =x2 – 22 = 1 – 3a + 3a – (3a)2 = 1 – (3a)2 = x2 – 5xy + 5xy – (5y)2 = x2 – (5y)2 = (2y)2 – 2yz + 2yz – z2 = (2y)2 – z2 （1）用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积： 两数的___ 两数的___ 中间项合并了 两数_____的___ 和 差 差 平方 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。 （2）观察以上算式及其运算结果，你有什么发现? 新知探究 探究点2 归纳平方差公式 议一议 （3）你能再举一些类似的例子吗?与同伴进行交流。 (a + b)(a - b) = a2 - b2 （1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y). （1）原式= 9m2 - 3m + 3m – 1 =9m2 – 1 （2）原式= x4 - x2y + yx2 - y2 = x4 - y2 （4）你能用字母表示你发现的规律吗? 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。 新知探究 探究点2 归纳平方差公式 归一归 平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。 平方差公式 (a + b) (a - b) = a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 新知探究 探究点3 从数的角度认识公式，辨析公式结构特征 议一议 指出下面式子中对应平方差公式中的a、b 是什么？ 平方差公式 (a + b) (a - b) = a2-b2 公式特征 符号相同项 符号相反项 两个二项式相乘 两项平方差 (相同项)2－(相反项)2 注意用谁减谁 新知探究 探究点3 从数的角度认识公式，辨析公式结构特征 议一议 新知探究 探究点3 从数的角度认识公式，辨析公式结构特征 议一议 判断下列式子能否用平方差公式计算，为什么？ ② (2x+3)(3x-2)； ① (x＋2)(x－2)； ③(a － 4)(－ a － 4). (x+2)(x－2) 表示x与2的和乘以x与2的差，符合平方差公式结构特征 表示 与 的和 表示 与 的差 x x 2 2 x＋2 x－2 不相同 表示 与 的和 表示 与 的差 a － 4 -4 a － a － 4 -4 a (a － 4)(－ a － 4) 表示-4与a的和乘以-4与a的差，符合平方差公式结构特征 (相同项)2－(相反项)2 尝试•思考 探究点3 从数的角度认识公式，辨析公式结构特征 议一议 如何计算(a – b)(– a – b) ?你是怎样做的? 注意:对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用。 (相同项)2－(相反项)2 提取负号 符合平方差公式特征 (a – b) (– a – b) = (a – b) [–(a + b )] =– (a – b) (a + b ) = – (a2 – b2) = b2 – a2 点击打开 典例分析 例 1 利用平方差公式计算： （1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ； （3） (– m + n ) (– m – n) 。 解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2； （3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。 a b 运用公式关键： 先确定相同项“a”和相反项“b”。 前后同号“a”，前后异号为“b” a b 典例分析 例 2 利用平方差公式计算 （1）(– x – y)(– x + y)； （2）(ab + 8)(ab – 8) 。 解：（1）(– x – y)(– x + y) = (– x)2 – y2 = x2 – y2； （2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。 【分析】 本计算形式稍复杂些，首先要判断每一个算式中与公式中的字母a，b相对应的分别是什么，再直接应用平方差公式计算。 典例分析 例3：计算： 【分析】 先按照多项式乘多项式运算法则和平方差公式展开，再合并同类项即可． 解：原式 ． 新知巩固 （1）( a + 2)( a – 2) ； （2）(3a + 2b)(3a – 2b)。 解:（1） ( a + 2)( a – 2) （2） (3a + 2b)(3a – 2b) = a2 – 22 = (3a)2 – (2b)2 = a2 – 4 = 9a2 – 4b2 计算： （3）(– x –1)(1– x) ； （4）(– 4k + 3)(– 4k – 3)。 教材P19页 随堂练习 新知巩固 （1）( a + 2)( a – 2) ； （2）(3a + 2b)(3a – 2b)。 计算： （3）(– x –1)(1– x) ； （4）(– 4k + 3)(– 4k – 3)。 教材P19页 随堂练习 公式中的a 公式中的b 解:（3）原式= (– x –1)(– x +1) = (– x)2 –12 = x2 – 1 （4） (– 4k + 3)(– 4k – 3) = (– 4k)2 – 32 = 16k2 – 9 拓展提升 1．计算：. 解： 真题感知 1．（2025•黑龙江）下列运算正确的是（　　） A．a4•a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2 解：a4•a3＝a7，则A不符合题意， 2a与3b不是同类项，无法合并，则B不符合题意， （﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，则C符合题意， （﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，则D不符合题意， C 真题感知 2．（25-26八年级上·湖南益阳·期中） 利用乘法公式计算（     ） A．1 B． C． D． 3．（2025•湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6． 解： ． 解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x） ＝x2﹣4+x﹣x2 ＝x﹣4， 当x＝6时，原式＝6﹣4＝2． C 课堂小结 1. 知识总结: (1)平方差公式： (2)公式结构： 左为“和乘差”（一项相同、一项相反）， 右为“平方差”（相同项平方减相反项平方） (3)应用场景： 整式乘法运算、有理数简便计算. 注意 （1）有些式子通过适当变形可以用公式 （2）公式中的a和b可以是数,也可以是整式 （3）最后结果必须化简 课堂小结 2. 方法总结: (1)推导公式的方法：从特殊到一般的归纳法; (2)应用公式的步骤： 找相同项和相反项 →套用公式 →化简计算. 3. 易错提醒: (1)避免符号错误： 不要写成; (2)避免结构混淆： 两项都相同或都相反的式子不能用平方差公式; (3)避免系数漏平方： 如 (要写成 ，而非 . 课后练习 1.计算： （1）(x+7y)(x-7y)； （3）(mn-3n)(mn+3n) ； （5）(-x-2y)(-x+2y) ； （2）(0.2x-0.3)(0.2x+0.3)； （4） (-2x+3y)(-2x-3y) ； （6） (5m-n)(-5m-n) 。 解：（1）原式= x2-49y2； （2）原式= 0.04x2-0.09； （3）原式=（mn）²-（3n）² =m2n2-9n2； （4）原式=（-2x）²-（3y）² = 4x2-9y2； （5）原式=（-x）²-（2y）² = x2-4y2； （6）原式=（-n）²-（5m）² = n2-25m2。 教材P24页 习题1.3 课后练习 教材P24页 6.利用平方差公式计算： （1）1 007×993 ； （2）108×112。 解：（1）1007×993 =(1000+7)(1000-7) =10002-72 =1 000 000-49 =999 951； （2）108×112 =(110-2)(110+2) =1102-22 =12 100-4 =12 096。 习题1.3 谢谢聆听 ∑ 平方差公式 · 结构辨析 几何直观 结构解剖 火眼金睛 01. 几何验证 拖动滑块观察图形变化 重置 演示拼接 🔊 公式推导 计算大正方形减去小正方形的面积： Area = a² - b² 将剩余部分剪开并重新拼接成长方形： Area = (a + b)(a - b) 参数调整 a: b: 02. 结构解剖 🔊 (a +b) (a -b) = a² - b² A 相同项 在两个二项式中，符号和绝对值都完全相同的项。 结果：相同项的平方 B 相反项 在两个二项式中，绝对值相同但符号相反的项。 结果：减去相反项的平方 03. 火眼金睛 得分: 10 Question 1/5 (x + 3)(x - 3) ✅ 符合 ❌ 不符合 请点击式子中的 相同项 (a) (x+3)(x-3) 太棒了！找到了相同项！ 重新开始 重试立即登录 $null