1.3 第2课时 平方差公式的综合应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

第2课时平方差 ②基础过关。逐点击破 知识点1利用图形验证平方差公式 1.观察下列图形，从图①到图②可用式子表示 为 图① 图② A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)2=a2+2ab-+62 D.a(a+b)-a2+ab 知识点2利用平方差公式进行简便运算 2.运用平方差公式计算： 1002×998=( )( )=10002- 2=999996. 3.用简便方法计算40号×39号变形正确的 是 A(40+号)(39+) B(40+)〔40号) C(40+号)40-) D(40-含)〔40-号) 4.运用平方差公式计算： (1)503×497; 13数学七年级下册(BS) 公式的综合应用 (2)59.8×60.2. 知识点3平方差公式的灵活应用 5.若等式(-x2-y2)( )=y一x成立，则 括号内应填入下式中的 () A.x2-y2 B.y2-x2 C.-x2-y2 D.x2+y2 6.如果用平方差公式计算(x一y十5)(x十y+ 5),那么可将原式变形为 A.[(x-y)+5][(x+y)+5] B.[(x-y)+5][(x-y)-5] C.[(x+5)-y][(x+5)+y] D.[x-(y+5)][x+(y+5)] 7.计算： (1)(ab+1)2-(ab-1)2; (2)(3-7)-(+ 可能力提升。整合运用 8.情境题生活应用从前，有一位地主把一块边 长为am(a>6)的正方形土地租给租户张老 汉.第二年，他对张老汉说：“我把这块地的 一边增加6m,相邻的另一边减少6m,变成 长方形土地继续租给你，租金不变，你也没 有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老 汉的租地面积会 ( ) A.没有变化 B.变大 C.变小 D.无法确定 9.(西安高新一中期中)如图， 大正方形与小正方形的面积 之差是28，则阴影部分的面 积是 10.(西安长安区期中)利用平方差公式计算 12-2 2+ 32-42 5-62 3 11 +…十 20232-2024的结果为 4047 11.(西安新城区期中)计算：10112一1010× 1012. 12.数学思想整体思想已知5.x2一x一1=0，求代 数式(3x十2)(3x-2)十x(x-2)的值. 公 思维拓展。学科素养 13.(西安铁一中月考)如图①，边长为a的大正 方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中 的阴影部分拼成如图②所示的长方形， (1)根据图①和图②的阴影部分的面积关 系，可得等式 ;(用字 母a,b表示) (2)运用以上等式计算：(1一)1一)(1- )(1-)…(1 2023）(1 20242): (3)如图③，100个圆由小到大套在一起，从外 向里相间画阴影，最外面的圆的半径为 100cm,向里依次为99cm,98cm,…, 1cm,那么在这个图形中，所有阴影部 分的面积和是多少？（结果保留π） h h 图① 图② 图③ 第-章整式的乘除14参考答案 第一章 整式的乘除 1幂的乘除 第1课时同底数幂的乘法 基础过关 1.D2.A3.A4.解：(1)原式=x+5=x;(2)原式=-a+6=-a”:(3)原式= (品)=（品）- 4+3+2 5.C6.C7.9a”8.12【变式】解：因为am+m= am·a”=4a”,所以4a"=64,所以a"=16.9.6×10 能力提升 10.C11.1612.解：(1)337(2)因为(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,所以3= 5,36=6,3=30,所以3“×36=3+b=30=3,所以a十b=c. 弥 第2课时幂的乘方 基础过关 1.B【变式1】b 【变式2】-a°2.A3.解：(1)原式=xm,(2)原式=6 1 .4.25 5.32781 能力提升 6.C7.B【变式368.解：(1)原式=x2·(-x2)=-x24;(2)原式=(x-y)·(y-x)= 她 (x-y)·(x-y)=(x-y)7;(3)原式=2x5·x2-3x8+5.x8=2x8-3x8十5x8=4z8. 9.解：因为3x十5y=8,所以8·32=2r·2=21+5y=2=256. 【变式】16 微专题利用幂的乘方法则比较大小 封 1.解：因为255=(25)1=321,3444=(34)1=81Ⅲ，433=(4)1=64山，且32<64< 81,所以321<641<811，所以255<433<34.2.a>b>c 0 第3课时积的乘方 基础过关 1.D2.C3.B4.64x5.解：(1)原式=9ab;(2)原式=16x“y2;(3)原式= xy:(4)原式=-a26.6.1【变式】1)-1(2)D7.125 27 能力提升 渠 8.A9.-3 10.解：(1)原式=16x5-64x5=-48.x;(2)原式=-8x十9x+x5= 2x:(3)原式=-a-a°-4a=-6a.1.解：(1)B(2)因为3×5=(3×5)× 32,31×512=(3×5)0×52,32<5,所以312×5<31×512 第4课时同底数幂的除法与负整数指数幂 基础过关 1.B2.D3.D【变式D45解：1)原式=（号）=7：(2)原式=y y=y2;(3)原式=(-ab)2=a6:(4)原式=(x-y)5÷(x-y)2=(x-y)3.6.D 【变式】号7.D8C9.310.解：(1)原式=：(2)原式-1，(3)原式-1-8× 能力提升 .1 11.C12.B13.125 14.1615.解：原式=a5÷ai-4a8·a=a°-4a”=-3a°. 第1页（共48页） 16.解：(1)因为5=3，所以(5“)2=3=9：(2)因为5=3,5=8,5=72，所以5-6+c= X5-3X72=27:(3)2a+6=c17.解：因为10-0=3,10=品=6，所以 55 8 102=号，10=日，所以10=10÷10=10)y÷(10=(3）÷(日）= 1.14 27÷36=3 思维拓展 18.解：分以下3种情况：①当2x+3=1时，解得x=一1，此时x十2025=2024，则 (2x十3)+225=124=1，所以x=-1;②当2x十3=-1时，解得x=-2,此时x十 2025=2023,则(2x十3)+2025=（一1）223=-1≠1，所以该情况不符合题意，舍去； ③当x十2025=0时，解得x=-2025,此时2x十3=-4047，则(2x十3)+225= (一4047)°=1，所以x=一2025.综上所述，当x=一1，或x=一2025时，代数式(2x十 3)+2025的值为1. 第5课时用科学记数法表示绝对值小于1的数 基础过关 1.B2.C3.2.1×1074.解：(1)原式=4.6×10-7；(2)原式=-5.09×10： (3)原式=4.238×10.5.C6.A7.解：(1)原式=0.00002；(2)原式=0.00025. 能力提升 8.B9.3×10-10.解：(1)9×105g=0.00009g.答：用小数表示1cm3氢气的质 量是0.00009g:(2)45÷0.00009=500000=5×10,答：这块橡皮的质量是1cm3氢 气的质量的5×10倍. 计算强化专练幂的运算 1.A2.D3.B4.解：(1)原式=4a5十27a°十a°=32a;(2)原式=2x”-27x"十 25x°=0：(3)原式=52+1-2+1=25.5.(1)(x-y)+(2)-(x-y)5(3)x-y 6.解：(1)原式=(x十y)°·(x十y)2÷(x十y)”=(x十y)”;(2)原式=一(x-y)3·(x-y)· x-)=-(x-),7.B815(2)4(3)27(4)号 9.y=2+x210.4 11.解：(1)-4(2)c<a<b(3)因为4“=2,46=3，所以43a+26-1=43·46÷4= (4)()÷4=2X3÷4=8X9X=18. 2 整式的乘法 第1课时单项式乘单项式 基础过关 1.D2.A3.B4.xy25.解：(1)原式=-6x2y:(2)原式=- 罗y:3)原式 8x3y5·y3·16x3y=128x5y1.6.D 能力提升 7.C8.-36mt9解：1原式=[5×（是）×(-号)]a61·c= 吾46c:(2原式=6如+a+=15a,0解：原式=[（日）×（合）]· xm+·y+= xy.因为x=3,y=2,所以原式=言×3×2=1.1山.解： yang8888. 第2课时单（多）项式乘多项式 基础过关 1.B2.D3.D4.(6a2+4ab)5.解：(1)原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy· (-2)=10x2y2+6x2y2-4xy;(2)原式=4x2y·(-3y)-2xy·(-3y)=-12x2y2+ 第2页（共48页） 6xy2.6.B7.解：(1)原式=3x2十6x十2x十4=3x2+8x+4;(2)原式=a3-ab+ ab2十ab-ab2+6=a3+6.8.解：原式=x3十x2-x+2x3-8x2-x十4=3x3-7x -2x+4.9.解：(1)(2a+b)(3a+2b)-(2a)2=6a2+4ab+3ab+2b2-4a2=2a2+7ab +2b(m).答：绿化的总面积是(2a2+7ab+2b)m;(2)把a=10,b=5代入，得2a2+ 7ab十26=2×102+7×10×5十2×52=600(m2).答：绿化的总面积是600m. 能力提升 10.C11,A【变式1】C【变式2】A12.813.解：(1)根据题意，得(3x十m)(2x 5)=6x2-15x+2mx-5m=6x2-(15-2m)x-5m=6x2-5x-25,即-5m=-25,解 得m=5;(2)(3x-5)(2x-5)=6x2-15x-10x+25=6x2-25x+25. 思维拓展 14.解：(1)原式=-4a36+6a6-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab=-4×33+6×32-8 ×3=-108十54-24=-78：(2)因为a2十a-1=0,所以a2十a=1,a2=1-a.原式= a2·a+2a2+2025=(1-a)·a+2a2+2025=a-a2+2a2+2025=a+a2+2025=1 +2025=2026. 3乘法公式 第1课时平方差公式的认识 基础过关 1.C2.B3.A4.(1)6-a2(2)25.解：(1)原式=m2-（2m)2=m2-4n2;(2)原 式=(3a)-12=号。-1：(3)原式=()-2=xy-4:40原式=（-y) (2x)2=y-42.6.解：原式=2m-m2+2m十m2-9=4m-9.当m=号时，原式=4 ×号-9=10-9=1.7.A8解：1)原式=(a2-0)(a2+)=a-B:(2)原式= (m+1)(m-1)(m2+1)-(m+1)=(m2-1)(m2+1)-(m+1)=m-1-m-1= -2.9.C 能力提升 10.D11.B12.C【变式】-613.214.解：无关.理由如下：原式=(2a-a2+ b2)-(4-a2+62-4)=2a2-a2十b+a2-b=2a2.所以原式的值与b的取值无关. 15.解：(2a十3b)(2a-3b)(4a2+96)=(4a2-962)(4a2+962)=16a-81b(m3).答： 这个游泳池的容积是(16a-81b)m3. 思维拓展 16.解：(1)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(2+1)(28+1)(21+1)=(22-1)(22+1)(2 +1)(28+1)(26+1)=(24-1)(2+1)(28+1)(26+1)=(28-1)(2"+1)(26+1)= (2-1(2“+1D=2-1:(2)原式=号×[3-1D(3+1(3+1)(3+1D(3*+1)3 +1D]=2×[(3-1)8+1)(3+1)(3+1)3“+1)]=合×[(3-1)(3*+1)(3+ 1D3“+D]=号×[(3-1D3+1D3“+1D]=合×[(8-1)8+1D1-32 2 第2课时平方差公式的综合应用 基础过关 1.A2.100021000223.B4.解：(1)原式=(500十3)×(500-3)=500 -32=250000-9=249991;(2)原式=(60-0.2)×(60十0.2)=60-0.22=3600- 0.04=3599.96.5.A6.C7.解：(1)原式=(ab+1+ab-1)(ab+1-ab+1)= 2a2=4b2原式[（学-7）+（学+）][（学-）（学+7）]-yx(-1) =-14y. 第3页（共48页） 能力提升 8.C9.1410.-101211.解：原式=10112-(1011-1)(1011+1)=1011 (10112-1)=10112-10112+1=1,12.解：原式=9x2-4十x2-2x=10x2-2x 4.因为5x2-x-1=0,所以5x2-x=1,所以原式=2(5x2-x)-4=2×1-4=-2. 思维拓展 13.解：1a-6=a+a-b)2)原式=(1-2)(1+2)(1-3)(1+3)(1 )(1+)“(1-202s)(1+202s)(1-202)(1+202)-(1+2)(1+ 3)1+)…(1+20)(1+202)(1-专）)(1-专)(1-是)…(（1 22)1-202)号×音×子×…x20昭器×号0×合×号×是×…×8器 208器-2925×2=8器(310-9++-x+-1=10 2024- 992+…十42-32+22-1)=π[(100+99)(100-99)+…+(4+3)(4-3)+(2+ 1)(2-1D]=100+99+.十4+3+2+1)=元.100X()+10)=5050元(cm2).答： 2 所有阴影部分的面积和为5050πcm2. 第3课时完全平方公式的认识 基础过关 1.B2.D3.164.解：(1)原式=25mn2十10mn十1：(2)原式=9-12a十4a2:(3)原 式=(2x+y)2=4x2+4xy十y.5.解：(1)原式=x2+2x十1十4-x2=2x十5.当x= 1时，原式=2+5=7：(2)原式=(16a2十8ab十6)-(16a2-8ab+b2)=16a2十8ab+ 6-16d+8ab-6=16a6.因为a6=,所以原式=16×=4.6A7.C 能力提升 8.A9.B10.411.5512.解：有.解法不唯一，如：(a-b十2c)2=[(a十2c)-b]= (a+2c)2-2(a+2c)·b+b=a2+4ac+4c2-2ab-4bc+6.或(a-b+2c)2=[a-(b- 2c)]2=a2-2a(b-2c)+(b-2c)2=a2-2ab+4ac+b-4bc+4c2. 思维拓展 13.解：(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2(2)第n个等式：(2n十1)2=[(n十 1)·2n十1]2-[(n十1)·2].验证：左边=4n2十4n十1，右边=[(n十1)·2m]十2· (n十1)·2n十12-[(n十1)·2]=4n2十4n十1，所以左边=右边，即等式成立. 第4课时完全平方公式的综合应用 基础过关 1.C2.C3.(1)0.020.9604(2)1000210040044.解：(1)原式=(200 1)2=200-2×200×1十1=39601；(2)原式=(47-27)2=202=400：(3)原式= (10+2)=10+2×100×号+（号）广=1010÷.5.A6.x-2x+1 7.解：(1)原式=2(x2-2x十1)-(2x2十x)=2x2-4x十2-2x2-x=-5x十2；(2)原式 =9a2-12ab+4b-46十a=10a2-12ab:(3)原式=(a+2b)2-(3c)2=a2+4ab+46 -9c2.8.29 能力提升 9.C10.D11.409912.解：因为x2一2x十5=0，所以x2-2x=-5,所以A=(x一 2)2+(x十3)(x-3)=x2-4x十4十x2-9=2x2-4x-5=2(x2-2x)-5=2X(-5) 5=-15. 第4页（共48页） 思维拓展 13.解：(1)(a-b)2=(a十b)2-4ab(2)12(3)(3a十b)(a+b)=3a2+4ab+b (4)因为x2+y2=34,BE=2,所以x-y=2.所以(x-y)2=x2-2xy十y2=4,所以34 -2xy=4,所以2xy=30.因为(x十y)2=x2+2xy十y2=34十30=64，且x十y>0,所以 x十y=8图中阴影都分的面积和为S十S照=子(x一)十名(x一》=子r 1 1 -=2x-=×8x2=8 夯实基础专题乘法公式 1.解：(1)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-96b;(2)原式=(-x)2-(4y)2=x2-16y2;(3)原 式=16x2+24xy十9y2:(4)原式=(2b-5a)2=4h2-20ab+25a2;(5)原式=(3x十5y) =9x2+30xy十25y:(6)原式=9a-6a十1-9a2+1=-6a十2：(7)原式=(m2 n2)(m2+2)(m-n)=(m-n)(m-n)=m8-2mn4十n.2.解：(1)原式=(x -3y)(x+3y)=x2-9y;(2)原式=[2a-(3b-3)][2a+(3b-3)]=(2a)2-(3b-3) =4a2-962+18b-9;(3)原式=[(x-2)(x十2)(x2+4)]=[(x2-4)(x2+4)]2=(x -16)=x8-32x+256.3.解：(1)原式=(400-1)×(400+1)+1=4002-1+1= 160000:(2)原式=(100+3)2=1002+2×100×3+3=10609.4.(1)2(2)35 5解：④2030(2)因为m+六=5，即(a+)广-25，所以m+点+2=25，即m m 十+=28，所以(u品)广=m+-2=28-2=21,(3)设正方形ABDE的边长为 a,正方形BCFG的边长为b.因为正方形ABDE和正方形BCFG的面积和为36，所以 a2+6=36.因为△ABC的面积为5，所以2ab=5,所以ab=10.因为(a-b)°=a2+b -2ab=36-20=16,所以a-b=4或a-b=-4(舍去)，即AG=a-b=4. 4整式的除法 基础过关 1.D2.D3.D4.A5.解：(1)原式=-2abc;(2)原式=36x2y÷4xy=9xy; (3)原式=-3×102.6.B7.-6x+2y-18.2a-4b+19.解：(1)原式=4y 3xx;(2)原式=-5x2y2+4y3十1.10.C11.解：原式=(x2十4x十4)-(x2十3)=x +4x十4-x2-3=4x十1.当x=-2时，原式=4×(-2)十1=-8十1=-7. 能力提升 12.C13.914.4x2+115.解：(1)原式=(4a2+4ab+b2+b2-4a2-2ab-4b)÷2b =(2ab-2b)÷26=a-6当a=6,b=2时，原式=6-2=4：(2)因为(a+2）≥0， 1b-21≥0,1+e)≥0，所以(a+2)广=0,1b-21=0,1+0)2=0,所以a+号=0,6 -2=0,1十c=0,解得a=-之，b=2,c=-1。所以原式=号ac÷专ac·c6= 日a6c=子×(-)×2×(-1D=合××4X1=子16，解：第-处错误： (一a-b)3=(a十b)3不对，而是等于-(a十b)3;第二处错误：2(a十b)3≠8(a十b)3;第 三处错误：8(a十b)÷8(a十b)3=(a十b)3不对，而是等于(a十b)2,正确的解题过程是 T8(a+b)5-4(a+b)+(-a-b)3]÷[2(a+b)3]=[8(a十b)5-4(a+b)4-(a+b)3]÷ 1 [2(a+b)3]=4(a+b)2-2(a+b)-2: 思维拓展 17.(1)x+x5十x+x3十x2+x+1(2)255 第5页（共48页） 计算强化专练整式的乘除 1.解：(1)原式=-10x5y;(2)原式=9ax·(-8a°x3)=-72a“x;(3)原式=-a3b -6ab-2a;(4)原式=x2-2x-15-x2+2x=-15,2.解：(1)原式=4xyx;(2)原式 =a6÷(-3ab)=-3a'B,(3)原式=-3xy+x,(4)原式=(12x-6x+8x)÷ 4x=3x-号r+2.3.解：(1)原式=-27xy·(-6x2y)÷9xy=162xy÷ 3 9xy=18xy2;(2)原式=(a2十a-3a2+15a)÷2a=(-2a2+16a)÷2a=-a+8: (3)原式=-2x十4x2-3-(4x2-4x十1)=-2x+4x2-3-4x2十4x-1=2x-4. 4.解：(1)原式=2x3-4x2-6x十5x2-10x-15-2x3+8x2+12x=9x2-4x-15.当x =2时，原式=36-8-15=13；(2)原式=a2+6a+9-a2+1+4a-12=10a-2.当a= 号时，原式=10X号-2=5-2=3：(3)原式=[4a十4a6+8-(4a-6)]÷26=(4d +4ab+b-4a2+b)÷2b=(4ab+2b)÷2b=2a十b.当a=2,b=-1时，原式=2×2 -1=3;(4)原式=(a2-2ab+6+b2-a2-6b)÷b=(2b2-2ab-6b)÷b=2b-2a-6. 因为a十号引十6一3=0，所以4=一名6=8，所以原式=6十1一6=1.5解： (1)原式=x2+2x十x2+2x十1=2(x2+2x)十1.因为x2十2x-3=0,所以x2+2x=3, 所以原式=2X3+1=7:(2)原式=(2xy-2y2-x2+2xy-y2+x2+2xy+y2-2xy)÷ 0=(4xy-2y)÷4y=x-子y=子(2x-0.因为y-2x=20,所以2x-y=-20,所 以原式=号×(-20)=-10：(3)原式=4x--4r+4y-y+2y2-8y=-4y 因为xy=2025,所以原式=-4×2025=-8100：(4)原式=4y2-9x2+9x2-5xy+ xy=4y2-4xy=4(y2-xy).因为y(y-x)十5=0，所以y2-xy=-5,所以原式=4× (-5)=-20. 第一章整合与提升 高频考点突破 1.D2.C3.C4.D5.D6.8.75×10-57.D8.C9.B10.±111.解： ①原式=若a÷(名）号a÷(言a)+a÷(吉)=-a+2a-3:(2原 。1 式=-2a6·a8÷a8=-7÷a6=-号0：(3)原式=3d-a6叶3a6 -b-(4a2-b2)=3a2+2ab-b2-4a2+62=-a2+2ab.12.解：(1)原式=(30+1)× (30-1)=302-12=899:(2)原式=(100-2)2=1002-2×100×2+22=9604. 13.解：(1)原式=x2十2xy十y2+x2-2xy=2x2+y2.当x=1,y=-2时，原式=2×1 十(-2)2=6：(2)原式=(m2n2-4-2m2n2+4)÷mn=-m2m2÷mn=-m.当m=5,n =一号时，原式=-5×（号合）=1,14，解：原式=父-2十m2-mx十nx-n=x 十(m-1)x2十(n一m)x-.因为结果中不含x2项和x项，所以m-1=0且n-m=0, 解得m=1,n=1.15.解：(1)两块空地的总面积为(3a十2b)(2a十b)+(a十b)(a-b) =6a2+7ab+2b+a2-b2=7a2+7ab+b(m),种花的面积为(a-b)2=a2-2ab+ b2(m),种植草坪的面积为7a2+7ab十b-(a2-2ab+b)=6a2+9ab(m);(2)当a= 30,b=10,种植草坪的价格为30元/m时，应投入的资金为30(6a2+9ab)=30×(6× 302+9×30×10)=243000(元). 易错易混专攻 1.4x2y-6x3y2.1或-1 常考题型演练 1.C2.B3.354.解：因为 2=ad-,所以m- =m2(m-2) 1-2mm-2 第6页（共48页）