精品解析：江西景德镇市乐平市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

江西省景德镇市乐平市2025-2026学年九年级上学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 关于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A. a≠0 B. a＞0 C. a≠2 D. a＞2 2. “好好学习，天天向上．”如图所示的“上”字形几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 希希在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B. 抛一枚硬币，出现正面的概率 C. 任意写一个整数，它能被2整除的概率 D. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 4. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中的阴影部分）的面积是4,9,49，则△ABC的面积是（ ） . A. 62 B. 186 C. 132 D. 144 二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则______． 8. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是_____(用“＞”号连接起来)． 9. 如图是两棵小树在同一时刻的影子，则它们的影子是在_________光线下形成的（填“灯光”或“太阳”）． 10. 有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为m、n，则使得反比例函数的图象经过一，三象限的概率为________． 11. 在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，点A在直线上，点B在直线的下方，，轴，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标__________． 12. 如图，在矩形中，，E是的中点，P是边上一动点，连接，F是的中点，连接，若是等腰三角形，则线段的长为__________． 三、解答题．（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 14. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，．当，时，求AC的长． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 16. 如图，正比例函数与反比例函数交于点和点B． （1）求，的值； （2）过点A作轴于点C，连接BC，求面积． 17. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 四、解答题．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2025年11月2日，2025年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）决赛第二回合在赣州市全民健身中心圆满收官！这场巅峰对决中，赣州队主场击败宜春队，以两回合总比分完胜对手，成功捧起赣超冠军奖杯．本赛季赣超升级为城市联赛，赛事热度空前，决赛现场近 4.4万球迷共同见证荣耀时刻，而联赛创新推出的整面公益看台，更成为传递城市温情的亮点．某网络平台赛后随机调查了部分现场球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的球迷共有______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数； （3）在“非常了解”里选4人，有两名男生，两名女生，若从中随机抽取两人赠送赣州队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设，求m的值． 20. 如图，小伟准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形花圃和一个边长为的正方形工具房（图中阴影部分为花圃的范围）．设． （1）的长为_______；（用含x的代数式表示） （2）若花圃范围的面积为，求的长． 五、解答题．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，过作轴，作轴，点A，B都在直线上． （1）请写出坐标A（__________，__________），B（__________，__________）； （2）若双曲线经过点A，求出其表达式． （3）在（2）的条件下：①求双曲线和直线的另一个交点坐标； ②直接写出不等式的解． 22. 如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形． （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （3）直接写出的最小值． 六、解答题．（本大题共1小题，共12分) 23. 课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇市乐平市2025-2026学年九年级上学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 关于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A. a≠0 B. a＞0 C. a≠2 D. a＞2 【答案】C 【解析】 【详解】解： ∵关于x的方程是一元二次方程， 即 故选C． 2. “好好学习，天天向上．”如图所示的“上”字形几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案． 【详解】解：俯视图如选项D所示， 故选：D． 3. 希希在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B. 抛一枚硬币，出现正面的概率 C. 任意写一个整数，它能被2整除的概率 D. 从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先根据统计图得出频率稳定左右，即可得出该实验的概率为，分别求出各选项的概率，即可得答案． 【详解】解：由统计图可知，该实验的频率稳定左右， ∴该实验的概率为， A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故该选项不符合题意， B．抛一枚硬币，出现正面的概率为，故该选项不符合题意， C．任意写一个整数，它能被2整除的概率为，故该选项不符合题意， D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率为，故该选项符合题意． 故选：D． 4. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：C． 5. 若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立． 【详解】A. 由图象可知：，故A错误； B. 由图象可知：，故B正确； C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误； D. 由图象可知：，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键． 6. 如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中的阴影部分）的面积是4,9,49，则△ABC的面积是（ ） . A. 62 B. 186 C. 132 D. 144 【答案】D 【解析】 【详解】∵过点M分别作直线平行于△ABC的各边，∴△1∽△2∽△3∽△ABC，∵△1，△2，△3（图中的阴影部分）的面积是4，9，49，∴EF：DM：MH=2：3：7，易得四边形ADME和四边形FMHB为平行四边形，∴AE=DM，FB=MH，∴AE：EF：FB=2：3：7，∴EF：AB=2：12=1：6，∴S△1：S△ABC=1：36，∴S△ABC=36×4=144．故选D． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；熟练掌握应用相似三角形的性质是解决本题的关键． 二、填空题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，由已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求分式计算． 【详解】解：设（），则 ，， ∴， 故答案为：． 8. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是_____(用“＞”号连接起来)． 【答案】＞ 【解析】 【分析】依据反比例函数，可得此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质可以判断y1与y2的大小关系． 【详解】∵反比例函数中，， ∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点A（-2，y1）、B（-3，y2）反比例函数上，且，-2＞-3， ∴y2＞y1， 故答案为：y2＞y1． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 9. 如图是两棵小树在同一时刻的影子，则它们的影子是在_________光线下形成的（填“灯光”或“太阳”）． 【答案】灯光 【解析】 【分析】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．可运用投影的知识或直接联系生活实际解答． 可由树的顶点和影子的顶点的连线会相交还是平行，从而确定是中心投影还是平行投影，再由“太阳”和“灯光”的特点确定． 【详解】解：树的顶点和影子的顶点的连线会相交于一点，所以是中心投影，即它们的影子是在灯光光线下形成的． 故填：灯光． 10. 有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为m、n，则使得反比例函数的图象经过一，三象限的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，列表法或树状图法求概率，先理解反比例函数的图象经过一，三象限，则，再画树状图法，得出共有12种等可能的结果，满足的结果有4种，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过一，三象限， 则， 依题意，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，满足的结果有4种， 即使得反比例函数的图象经过一，三象限的概率为， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，点A在直线上，点B在直线的下方，，轴，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一次函数，解一元二次方程．设，根据“轴”表示出点B的坐标，再根据“点积值”为28列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：点A在直线上， 设， 线段位于第一象限，轴， 点B的坐标为， 点B的“点积值”为28， ，即， 解得，， 点A在第一象限， ， 即点A的横坐标为4， 故答案为：4． 12. 如图，在矩形中，，E是的中点，P是边上一动点，连接，F是的中点，连接，若是等腰三角形，则线段的长为__________． 【答案】或3或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解决本题的关键． ①时，则，，再运用勾股定理即可求解；②时，可得，由，得到，再证明即可求解；③，可得，对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：①当时，如图： ∵E是的中点， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理得：； ②当时，连接，如图： ∵E、F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ③当时，连接，如图： 同②可得， 则在中，由勾股定理得：， ∴， 综上，线段的长为或3或． 故答案为：或3或． 三、解答题．（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解一元二次方程，正确化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴或，， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 14. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，．当，时，求AC的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，然后利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】证明：∵，， ∴； ∴，即， ∴（负值已舍）． ∴AC的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）①点；②点 【解析】 【分析】本题主要考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由图可得点的坐标，根据位似的性质得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求 图1 【小问2详解】 解：①由图可得，点， ②由题意得，点． 16. 如图，正比例函数与反比例函数交于点和点B． （1）求，的值； （2）过点A作轴于点C，连接BC，求面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数解析式等知识，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由一次函数解析式求得，得到点，代入求得k， （2）两个解析式联立，解方程组，求得点B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数图象与反比例函数的图象交于点和点B． ∴把代入，得：，即 ∴． 将代入，得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 联立，解得：或， ∴． ∵轴于点C， ∴， ∴． 17. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 四、解答题．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2025年11月2日，2025年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）决赛第二回合在赣州市全民健身中心圆满收官！这场巅峰对决中，赣州队主场击败宜春队，以两回合总比分完胜对手，成功捧起赣超冠军奖杯．本赛季赣超升级为城市联赛，赛事热度空前，决赛现场近 4.4万球迷共同见证荣耀时刻，而联赛创新推出的整面公益看台，更成为传递城市温情的亮点．某网络平台赛后随机调查了部分现场球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的球迷共有______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数； （3）在“非常了解”里选4人，有两名男生，两名女生，若从中随机抽取两人赠送赣州队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1），补全条形统计图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用列表法求概率： （1）用了解的人数除以所占的比例求出调查人数，根据调查人数求出一般的人数，补全条形图即可； （2）利用360度乘以“非常了解”所占的比例，求出圆心角的度数即可； （3）利用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， 一般的人数为：， 补全条形统计图如下： 故答案为：1000； 【小问2详解】 解：，； 【小问3详解】 解：列表分析如下： 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果， ． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系及解一元二次方程，准确计算是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）根据，，由整体代入建立关于m的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ， ，即， 解得或． 20. 如图，小伟准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形花圃和一个边长为的正方形工具房（图中阴影部分为花圃的范围）．设． （1）的长为_______；（用含x的代数式表示） （2）若花圃范围的面积为，求的长． 【答案】（1） （2）的长为或． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据得到，整理即可得到答案； （）根据花圃范围的面积为，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得， ∵． ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得：花圃范围的面积为， ∴，即， 解得， 答：的长为或． 五、解答题．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，过作轴，作轴，点A，B都在直线上． （1）请写出坐标A（__________，__________），B（__________，__________）； （2）若双曲线经过点A，求出其表达式． （3）在（2）的条件下：①求双曲线和直线的另一个交点坐标； ②直接写出不等式的解． 【答案】（1）5，1，2，4 （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式、反比例函数的图象、利用一元二次方程判断交点情况是解题的关键． （1）根据与轴、轴平行的性质得到，，代入直线表达式计算求解即可 （2）双曲线经过点，利用待定系数法计算求解即可； （3）①联立双曲线与直线，解一元二次方程即可；②根据图象可得：不等式的解为或． 【小问1详解】 解：由于轴，轴， 则，， 将代入直线， 得：， 解得：， 将代入直线得：， 因此，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：5，1，2，4； 【小问2详解】 解：双曲线经过点，则， 解得， 因此双曲线表达式为； 【小问3详解】 解：①根据题意得：， 将代入， 得：， 整理得：， 则， 令或， 解得或， ∵， 当时，则， ∴双曲线和直线的另一个交点坐标为； ②根据图象可得：不等式的解为或． 22. 如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形． （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （3）直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）是定值，6 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； 【小问2详解】 解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． 【小问3详解】 解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 六、解答题．（本大题共1小题，共12分) 23. 课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）②③；（2）①证明见详解，②5；（3）8 【解析】 【分析】（1）由和都是等腰直角三角形，得，继而利用“两角对应相等，两三角形相似”得，； （2）①证明，则，即；②由，得到，求得，可求，再运用勾股定理可求； （3）在上取一点F，连接，使，由，求得， 再证明，得到，则有，即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 同理可证：， 故答案为：②③； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：同①可证：， ∴，即， ∵， ∴， 解得：（舍负）， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点F，连接，使， ∵是的等腰直角三角形，， ∴， 同上可证：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，解题的关键在于发现“一线三等角”的相似，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $