精品解析：江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据物体及其俯视图即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，它的主视图如图所示： ， 故选：． 2. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 4. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 5. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可． 【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为． 故选：A． 6. 如图，已知点、、都在反比例函数的图象上，点、、都在轴上，，，都是等边三角形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别过作x轴的垂线，垂足分别为，并设，，的边长分别为2a，2b，2c，则利用等边三角形的性质可分别求得a，b，c的值，从而可求得结果． 【详解】如图，分别过作x轴的垂线，垂足分别为，设，，的边长分别为2a，2b，2c ∵是等边三角形，轴 ∴OC=a， 由勾股定理可得 ∴点A1的坐标为 ∵点A1在反比例函数的图象上 ∴ 解得a=1或a=－1（舍去） ∴OB1=2 同理，在等边三角形中，B1D=b，A2D= ∴点A2的坐标为 ∵点A2在反比例函数的图象上 ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴OB2= 同理可得A3的坐标为 ∵点A3在反比例函数的图象上 ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴OB3= ∴点B3的坐标为 故选：A 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，勾股定理等知识，关键是作每个等边三角形的高，进而得出点的坐标． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 8. 若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它的三视图，则这一堆方便面共有______________桶． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三视图的知识，底层应有4桶方便面，第二层应有2桶，第三层有1桶． 【详解】解：综合三视图，这堆方便面底层应该有桶，第二层应该有2桶， 因此共有桶． 故答案为：6． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，能够综合三视图进行判断是解题的关键． 9. 若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴A在第二象限，B，C在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标． 【详解】解：点的坐标是， ， 四边形为菱形， ，， 则点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 11. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为_____秒时，△MBN为等腰三角形． 【答案】或（6-2）或 【解析】 【分析】分情况讨论：①点M在AB上，点N在BC上时，BM＝BN，列出方程其解即可；②点M在BC上，点N在CD上时，表示出BM、CM、CN，再根据勾股定理列式表示出MN2，然后根据BM＝MN列出方程求解即可；③点M、N都在C、D上时，表示出MN、CM，再根据勾股定理分两种情况列式表示出BM（或BN），然后根据BM＝MN（或BN＝MN）列出方程求解即可；④点M在AB上，点N在CD上时，根据等腰三角形的性质，CN＝BM，然后列式求解即可． 【详解】解：分情况讨论： ①如图1所示： 点M在AB上，点N在BC上时，t＜2，BM＝5﹣2t，BN＝t， ∵BM＝BN， ∴5﹣2t＝t， 解得t＝； ②如图2所示： 点M在BC上，点N在CD上时，2.5＜t＜3.5，BM＝2t﹣5，CM＝2﹣（2t﹣5）＝7﹣2t，CN＝t﹣2， 在Rt△MCN中，MN2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2， ∵BM＝MN， ∴（2t﹣5）2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2， 整理得，t2﹣12t+28＝0， 解得：t1＝6﹣2 ，t2＝6+2（舍去）； ③如图3所示： 点M、N都在C、D上时，t＞3.5， 若点M在点N的右边，则CM＝2t﹣7，MN＝t﹣（2t﹣7）＝7﹣2t， 此时BM2＝（2t﹣7）2+22， ∵BM＝MN， ∴（2t﹣7）2+22＝（7﹣2t）2，无解， 若点M在点N的左边，则CN＝t﹣2，MN＝（2t﹣7）﹣（t﹣2）＝t﹣5， 此时BN2＝（t﹣2）2+22， ∵BN＝MN， ∴（t﹣2）2+22＝（t﹣5）2， 整理得，t＝（不符合题意，舍去），； ④如图4所示： 点M在AB上，点N在CD上时，BM＝5﹣2t，CN＝t﹣2， 由等腰三角形三线合一的性质，CN＝BM， ∴t﹣2＝（5﹣2t）， 解得：t＝； 综上所述，当运动时间为或（6﹣2）或秒时，△MBN为等腰三角形． 故答案为或（6﹣2）或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识；难点在于要分情况讨论． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： ． （2）如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 分析】（1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先由正方形的性质得，，再运用证明，即可作答． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）， 移项得， 配方得， ∴， 则， 解得． （2）∵ 四边形是正方形， ∴，． ． 和中， ∴， ∴． 14. 某食品包装盒抽象出的几何体的三视图如图所示．（俯视图为等边三角形） （1）写出这个几何体名称； （2）若矩形的长为10cm，等边三角形的边长为4cm，求这个几何体的表面积． 【答案】（1）这个几何体是三棱柱； （2）这个几何体的侧面面积为(120+8)cm2． 【解析】 【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱； （2）表面积为3个长方形加上两个等边三角形的面积，即可． 【小问1详解】 解：这个几何体是三棱柱； 【小问2详解】 解：三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长即 C=4×3=12(cm)， 根据题意可知主视图的长方形的长是三棱柱的高，所以三棱柱侧面展开图形的面积为：S=12×10=120(cm2)． 过点A作AD⊥BC于点D， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，∠BAD=30°，BD=DC， ∵AB=BC=4，BD=DC=2， ∴AD=， ∴S△ABC=BCAD=(cm2)， 这个几何体的表面积为120+8(cm2)， 答：这个几何体的侧面面积为(120+8)cm2． 【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． 15. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口， ∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， ∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 16. 如图，点在反比例函数的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）． （1）在图①中画出点关于原点的对称点； （2）点在轴上，在图②中画出点关于原点的对称点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，无刻度的直尺作图，全等三角形的判定及性质，理解反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，是解决问题的关键． （1）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，即可求解； （2）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，连接，，并延长交反比例函数的图象于，，连接，并延长交轴于，即可求解． 【小问1详解】 解：连接，并延长交反比例函数的图象于，如图所示， 点即为所求； 【小问2详解】 连接，并延长交反比例函数的图象于， 连接，，并延长交反比例函数的图象于，， 连接，并延长交轴于，如图所示， ∵反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 点即为所求． 17. 如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 先证明，得到，可以得出四边形是平行四边形，再加上即可证明结论； 【详解】四边形是矩形， ， ， 点是的中点， ， 又， ； ， 四边形是矩形， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）10； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 19. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中，， ， ． 【小问2详解】 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 【答案】（1）B1(-1，2) （2）B2(-2，4) （3）P2(2a -10，2b+6) 【解析】 【分析】（1）先按要求画出平移后所得△A1B1C1，再对照图形写出点B1的坐标即可； （2）连接OA1，并延长到点A2，使OA2=2OA1可得点A2，用同样的方法画出点B2、C2，再顺次连接三点即可得到△A2B2C2，对照图形写出点B2的坐标即可； （3）由△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1可知点P2的坐标是点P1坐标的2倍，由此可得到点P2的坐标； 【小问1详解】 如下图所示，△A1B1C1为所求三角形，B1的坐标为：(-1，2)； 【小问2详解】 如下图所示，△A2B2C2为所求三角形，B2的坐标为：(-2，4)； 【小问3详解】 由题意可知△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1 ∴当点P1的坐标为(a-5，b+3)时，对应点P2的坐标为：(2a -10，2b+6)． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为．求该收纳盒的高． 【答案】任务一：边的长分别为，；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务一：由题意知，，，，计算求解即可； 任务二：设该收纳盒的高为，则，，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】任务一：解：由题意知，（）， ∵，， 解得，， ∴该收纳盒的底面的边的长分别为，； 任务二：解：设该收纳盒的高为，则，， ∴， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴该收纳盒的高为． 22. 直线与反比例函数（）的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象当时，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P是x轴上一动点，当的面积是6时，求出P点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点A，B坐标代入双曲线中即可求出m，n，最后将点A，B坐标代入直线解析式中即可得出结论； （2）根据点A，B坐标和图象即可得出结论； （3）利用三角形面积公式求得，结合D的坐标，即可求得P的坐标． 小问1详解】 解：∵点和点在直线上， ∴，， 即， 把代入中，得， 所以，反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 由图象可得，当时，的解集为； 【小问3详解】 直线的表达式为， 当时，， ∴D点坐标为， ∵的面积是6， ∴， ∴， ∴P的坐标为或． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图所示．该浮漂的俯视图是图，那么它的主视图是（ ） A. B. C D. 2. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知点、、都在反比例函数的图象上，点、、都在轴上，，，都是等边三角形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以________．（写出一种情况即可） 8. 若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它三视图，则这一堆方便面共有______________桶． 9. 若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为______． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为_________． 11. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为_____秒时，△MBN为等腰三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： ． （2）如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．求证：． 14. 某食品包装盒抽象出的几何体的三视图如图所示．（俯视图为等边三角形） （1）写出这个几何体的名称； （2）若矩形的长为10cm，等边三角形的边长为4cm，求这个几何体的表面积． 15. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 16. 如图，点在反比例函数的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）． （1）在图①中画出点关于原点对称点； （2）点在轴上，在图②中画出点关于原点的对称点． 17. 如图，矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接、，证明：四边形是菱形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 19. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21 综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为．求该收纳盒的高． 22. 直线与反比例函数（）的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象当时，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点P是x轴上一动点，当的面积是6时，求出P点的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $