6.2.3 向量的数乘运算巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算巩固练习 一、单选题 1．在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图，    则， 故选：D 2．“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】或，从而得到答案. 【详解】因为或， ， 所以“”是“实数”的必要不充分条件. 故选：B 3．是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，即可得结果. 【详解】因为,又, , 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 4．在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法的三角形法则，将转化为与和有关的表达式，再结合已知条件进行化简 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 5、在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比. 【详解】由得 令是的中点，则, 所以∥且, 即四边形PABD是平行四边形。 所以, 即    故答案为：D. 6．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即，则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 二、多选题 7．已知向量不共线，若，，且三点共线，则实数的值可以是（） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用向量共线定理得，结合已知有，进而得到，即可得. 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即，所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 8．已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC    三、填空题 9．已知为直线外一点，且，则 . 【答案】2 【分析】由条件得到，即可求解. 【详解】由，得，得，所以， 故答案为：2 10．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 【答案】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， , 且，，所以 . 故答案为：. 四、解答题 11．化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可； （2）根据向量的线性运算化简即可； （3）根据向量的加法法则化简即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. 12．如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 【分析】（1）根据给定条件，利用同一向量的不同回路中的相反向量关系计算得证. （2）作出图形，可得中线向量公式. （3）利用向量共线，即可得中位线向量公式. 【详解】（1） 由① 又② ①②得: （2）当三点重合，记为点，如图，    在中，是的中点， , . （3）当两点重合，记为点，在中，分别是和的中点， , 这是中位线性质. 13．如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案； （2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为是边边上中线，，所以. 又是的中点，， 所以. 因为三点共线，所以且 所以，即为定值； （2）由（1） 所以 ， 当且仅当,即时，等号成立. 所以时，的最小值. 14．根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义及梯形的概念求解即可； （2）利用向量线性运算的几何意义及平行四边形的概念求解即可； （3）解法1：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，再根据向量的加法运算得，即可判断四边形是夹角为的菱形； 解法2：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，根据向量的几何意义得是的角平分线且，即可判断． 【详解】（1）因为，所以且， 即四边形是梯形． （2）因为，即，所以， 所以四边形是平行四边形． （3）解法1：因为，根据平行四边形法则，四边形首先是平行四边形． 又因为，所以， 即，所以， 即，所以四边形是菱形，且。如图． 解法2：因为，根据平行四边形法则，四边形是平行四边形． ，分别为与和同向的单位向量， 它们的和在的角平分线上． 又因为的几何意义是与同向的单位向量为与和同向的单位向量之和， 所以是的角平分线且，即四边形是夹角为的菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3 向量的数乘运算巩固练习 一、单选题 1．在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 2．“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 4．在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 5、在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 6．在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知向量不共线，若，，且三点共线，则实数的值可以是（） A． B． C． D． 8．已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 三、填空题 9．已知为直线外一点，且，则 . 10．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 四、解答题 11．化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 12．如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 13．如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合） (1)证明：为定值； (2)求的最小值，并求此时的，的值. 14．根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $