21.3.3正方形（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版八年级下册

21.3.3 正方形（第1课时） 第二十一章 四边形 人教版八年级下册 学习目标 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别，发展抽象能力. 一 能用正方形的定义和性质进行推理与计算，发展推理能力. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 平行 四边形 从一般到特殊 矩形 一个角是直角 菱形 一组邻 边相等 角特殊化 边特殊化 ？ 合作探究 正方形的定义 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形． 矩形+有一组邻边相等⟹ 正方形 菱形+有一个角是直角⟹ 正方形 合作探究 正方形的定义 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形． 定义 组成元素 相关元素 边 角 对角线 合作探究 探究 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论. 正方形 性质 边 角 对角线 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 对角线相等且互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 合作探究 探究 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论. 正方形 性质 边 角 对角线 轴对称性 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 对角线相等且互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角. 正方形是轴对称图形 合作探究 符号语言 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB//CD，BC//DA，AB=BC=CD=DA. ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°. AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=∠ABD =∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°. 合作探究 思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系. 平行 四边形 从一般到特殊 矩形 一个角是直角 菱形 一组邻 边相等 一个角是直角 一组邻 边相等 正方形 典例分析 例5 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形ABCD是正方形， 对角线AC，BD相交于点O. 求证：△ABO，△BCO，△CDO， △DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD，AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°， AO=BO=CO=DO. ∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO≌ △BCO≌△CDO≌△DAO. 典例分析 巩固练习 1.（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么？ 分析：∠B=∠ADC=∠BAD=90° 四边形ABCD是矩形 四边形ABCD是正方形 AB=AD 巩固练习 1.（2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢? 作法： 1.在AF上截取AD=AB； 2.在BE上截取BC=AB； 3.连接CD，则四边形ABCD为正方形. 巩固练习 1.（2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢? 分析：AD//BC，AD=BC 四边形ABCD是平行四边形 AD=AB ∠A=90° 四边形ABCD为正方形 巩固练习 2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC=30 m，EB=10 m.这块场地的面积和对角线长分别是多少? 解:∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°，AB=BC. 在Rt△BCE中，由勾股定理得： BC==， ∴BC2=800，AC==. 答：这块场地的面积为800 m2，对角线长为40 m. 巩固练习 3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A，B，C，D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF.这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 解:BE=AF，BE⊥AF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CD，∠BAE=∠ADF=90°， 又∵DE=CF，∴AD−DE=CD−CF，即AE=DF， ∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF，∠1=∠2， ∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°， ∴BE⊥AF. 归纳总结 正方形及其性质 定义 对于一个平行四边形，如果它不仅 ，而且 ，那么它就是正方形． 与矩形的关系 的矩形是正方形. 与菱形的关系 的矩形是正方形. 性质 边 正方形的 ； 角 正方形的 ； 对角线 正方形的 . 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 对边平行，四条边都相等 四个角都是直角 对角线相等且互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角 感受中考 1.（2025年四川成都）下列命题中，假命题是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 D 感受中考 2.（2024年重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于点M．若BE=DF=1，则DM的长度为（ 　） A．2 B． C． D． D 感受中考 3.（2022年山东德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE=2，点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（     ） A．6 B．3 C．2 D．4 C 感受中考 4.（2024年福建）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 ． 2 感受中考 5.（2025年四川内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0)．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在 点F处．若点F的坐标为(0，3)．则 点E的坐标为 ． (，5) 感受中考 6.（2025年浙江） 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成， 请写出△ABE≌△CBE的证明过程． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABD=∠CBD， 又∵BE=BE， ∴△ABE≌△CBE(SAS)； 感受中考 感受中考 6.（2025年浙江） 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上． 【数学理解】 (2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角” ∠BAE的度数． （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，∠ADB=45°， ∵DE=DA， ∴∠DAE=∠DEA， ∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°， ∴∠DAE=∠DEA=67.5°， ∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=22.5°． 感受中考 小结梳理 从一般到特殊 矩形 一个角是直角 菱形 一组邻 边相等 一个角是直角 一组邻 边相等 正方形 平行 四边形 两组对边 分别平行 四边形 只有一组对边平行 梯形 布置作业 必做题：习题21.3 第6，12(3)题. 1 探究性作业：习题21.3 第15，16题. 2 人教版八年级下册 谢谢观看！ $