精品解析：河北南皮县桂和中学等校2025-2026学年第一学期学业水平检测四 九年级数学试题（冀教版）

学年第一学期学业水平检测四 九年级数学（冀教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 卷I（选择题） 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 2. 从盒子里摸出一个球，一定能摸出白球的是（ ） A. B. C. D. 3. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力 阻力臂=动力 动力臂”．建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于 的方程有两个相等的实数根，则 的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 腰鼓是中国传统民族乐器，历史悠久，在民间广泛流传．如图是一个腰鼓的示意图，则其视图描述正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 与 轴交于 C. 对称轴为直线 D. 与 轴没有交点 8. 下列三角函数的值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 9. 以下说法错误的是（ ） A. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 B. 由平行光线形成的投影叫做平行投影 C. 由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影 D. 从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 10. 已知，，都在反比例函数图象上，且，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为 ，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线m：y＝ax2+b（a 0，b 0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A. ab＝﹣2 B. ab＝﹣3 C. ab＝﹣4 D. ab＝﹣5 卷II（非选择题） 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 13. 若 是一元二次方程的两个根，则的值为____． 14. 如图，在平面直角坐标系 中，点 是坐标原点，点 在 的延长线上， 与关于点 位似．若，点 的坐标为，则 点的坐标为_______． 15. 二次函数的最大值是___________． 16. 如图，一个半径为1的圆从位置 开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达 位置（这3个圆的圆心与在同一直线上）时停止，该圆的圆心移动的路程为___________（结果保留 ）． 三、解答题（本题共8个题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 18. 汉字是中华文明的重要标志，也是传承中华文明的重要载体．为了贯彻落实教育部印发的《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》，提升学生规范书写意识和书写水平，某中学于11月6日~8日以“翰墨飘香，文韵悠扬”为主题开展了第一届汉字书写大赛．本次大赛满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10 乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 c 3.25 乙组 6.5 b 7 2.45 （1）根据以上成绩，统计分析表中： ___________， ___________，___________； （2）小明是甲、乙两组中的其中一员，小明说：“这次竞赛我得了6分，在我们小组中属中游略偏下！”观察上面表格判断，小明可能为___________组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 19. 直线 与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点 和点 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出关于 的不等式的解集． 20. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点 、 作 于点 ，于点 ，求水平方向增加的距离 长．（结果精确到；参考数据：，，，） 21. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 22. 如图，点 是矩形 中 边上一点， 沿 折叠为，点 落在 上． （1）求证：； （2）若，，求 的值； 23. 如图，四边形 内接于 ， ，点 在 的延长线上，且 （1）判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若，， ，求 的长． 24. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学年第一学期学业水平检测四 九年级数学（冀教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 卷I（选择题） 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 2. 从盒子里摸出一个球，一定能摸出白球的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性，选项A中盒子里全是白球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球必然是白球；选项B中盒子里全是黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球不可能是白球；选项C、D中盒子里既有白球，又有黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球可能是白球，也有可能是黑球，据此判断即可． 【详解】解：因为选项A中盒子里全是白球， 所以从盒子里摸出一个球，一定能摸出白球， 故选：A． 3. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力 阻力臂=动力 动力臂”．建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴，整理得：， 故选：D． 4. 若关于 的方程有两个相等的实数根，则 的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式 判断方程的根的情况．一元二次方程的根与 有如下关系： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于 的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 5. 腰鼓是中国传统民族乐器，历史悠久，在民间广泛流传．如图是一个腰鼓的示意图，则其视图描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的有关知识，熟练掌握三视图的概念是解题的关键． 直接根据三视图的概念即可解答． 【详解】解：从正面看是． 故选：A． 6. 两个相似多边形的相似比是，其中较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质即可求出较大多边形的面积． 【详解】解：设较小多边形的面积为 ， ∵两个相似多边形的相似比是，较大多边形的面积为， ∴， 解得：，即较小多边形的面积为． 故选：B． 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 与 轴交于 C. 对称轴为直线 D. 与 轴没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的顶点式 ，判断开口方向向上，对称轴为 ，从而判断选项A、C；将 ， 分别代入，可判断选项B，D，据此找出正确的答案． 【详解】∵ 二次函数为 ， ∴，开口向上，对称轴为 ，故A、C错误； 当 时，， ∴二次函数与轴交于，故B错误； 令 ，则， ∵， ∴，无实数根， 故二次函数与轴没有交点，故D正确， 故选：D． 8. 下列三角函数的值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值及有理数的判断，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键，需分别计算各选项的三角函数值，再判断是否为有理数． 【详解】解：，是无理数，故A不符合题意． ，是无理数，故B不符合题意． ，是有理数，故C符合题意． ，是无理数，故D不符合题意． 故选C． 9. 以下说法错误的是（ ） A. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 B. 由平行光线形成的投影叫做平行投影 C. 由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影 D. 从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形外心性质、平行投影与中心投影的定义、切线长定理，需逐一辨析各选项的正误 【详解】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，到各边距离相等的是三角形的内心（角平分线交点），选项A说法错误； B．平行投影的定义是由平行光线形成的投影，选项B说法正确； C．中心投影的定义是由同一点发出的光线形成的投影，选项C说法正确； D．根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，选项D说法正确． 故选A． 10. 已知，，都在反比例函数图象上，且，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴双曲线过二、四象限， ∵，都在反比例函数图象上，且， ∴， ∴， 无法判断的符号； 故选：D． 11. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为 ，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考了垂径定理，连接，过点P作于点，由垂径定理可得 ，根据坐标可得，从而得到即可求出点A的坐标． 【详解】解：连接，过点P作于点D， ∴ ， ∵点P的坐标为 ，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为 ． 故选：C． 12. 如图，抛物线m：y＝ax2+b（a 0，b 0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A. ab＝﹣2 B. ab＝﹣3 C. ab＝﹣4 D. ab＝﹣5 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形是矩形,必须满足AB=BC,继而可求出a、b满足的关系． 【详解】解：令x＝0，得：y＝b． ∴C（0，b）． 令y＝0，得：ax2+b＝0， ∵， ∴x＝±， ∴A（﹣，0），B（，0）， ∴AB＝2，BC＝, 要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC， ∴, ∴， ∴ab＝﹣3, ∴a，b应满足关系式ab＝﹣3, 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数、平行四边形的性质，灵活利用平行四边形的性质是解题的关键． 卷II（非选择题） 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 13. 若 是一元二次方程的两个根，则的值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．对于方程 ，两根之和为，据此作答即可． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，在平面直角坐标系 中，点 是坐标原点，点 在 的延长线上， 与关于点 位似．若，点 的坐标为，则 点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，由题意得，则 与的相似比为 ，进而可得点 的横坐标为，纵坐标为．解题的关键是掌握位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为 ，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或．． 【详解】解：∵， 与关于点 位似， ∴， ∴ 与的相似比为 ， 即与 的相似比为 ， ∵点 的坐标为，且点 在第三象限， ∴点 的横坐标为，纵坐标为， ∴点 的坐标为． 故答案为：． 15. 二次函数的最大值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先判断开口方向，再分别计算当时和当 时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数 ， ∴抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，顶点横坐标，在内． 当时，； 当 时，． ∴最大值为5． 故答案为5． 16. 如图，一个半径为1的圆从位置 开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达 位置（这3个圆的圆心与在同一直线上）时停止，该圆的圆心移动的路程为___________（结果保留 ）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算． 它从A位置开始，滚过与它相同的其他三个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过了3段弧长，其中有2段是半径为，圆心角为120度，1段是半径为，圆心角为60度的弧长，所以可求得． 【详解】解：如图， 圆心移动的路程． 故答案为：． 三、解答题（本题共8个题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 18. 汉字是中华文明的重要标志，也是传承中华文明的重要载体．为了贯彻落实教育部印发的《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》，提升学生规范书写意识和书写水平，某中学于11月6日~8日以“翰墨飘香，文韵悠扬”为主题开展了第一届汉字书写大赛．本次大赛满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：4，5，5，6，6，6，6，8，9，10 乙组：3，5，6，6，7，7，7，7，8，9 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 a 6 c 3.25 乙组 6.5 b 7 2.45 （1）根据以上成绩，统计分析表中： ___________， ___________，___________； （2）小明是甲、乙两组中的其中一员，小明说：“这次竞赛我得了6分，在我们小组中属中游略偏下！”观察上面表格判断，小明可能为___________组的学生； （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6.5，7，6 （2）乙 （3） 解：选乙组参加决赛．理由如下： 两组平均数相同， ， ，， 乙组的成绩比甲组稳定， 故选乙组参加决赛． 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，关键是根据概念解答． （1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解： ， 把乙组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是 ，则中位数； 甲组学生成绩中，数据6出现次数最多，所以众数， 故答案为：6.5；7；6； 【小问2详解】 解：小明可能是乙组的学生，理由如下： 因为乙组的中位数是（7分），而小明得了（6分），所以在小组中属中游略偏下， 故答案为：乙； 【小问3详解】 略 19. 直线 与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点 和点 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出关于 的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式中即可求出m，再将点A坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论； （2）将点B坐标代入直线解析式中即可求出n，根据点A，B坐标和两函数图象即可得出结论． 【小问1详解】 解： 点在直线 上， ∴ 解得， ， 把代入中， 得， 解得 ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线 与反比例函数的图象交于点， ∴， ， ∵， 要使满足，只要一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，也就是直线在反比例图象的上方，在 两点之间， 当时，的解集为． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，函数与不等式的关系，是解本题的关键． 20. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点 、 作 于点 ，于点 ，求水平方向增加的距离 长．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】水平方向增加的距离 长为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在与中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，， 在与中， ， ， ∴ ． 答：水平方向增加的距离 长为． 21. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务 ： ；任务 ： 元/件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． 任务 ：设7月份到9月份的月平均增长率为 ，由题意得：，据此即可求解； 任务 ：设该泥塑的售价应定为 元/件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：任务 ：设7月份到9月份的月平均增长率为 ， 由题意得：， 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为 ． 任务 ：设该泥塑的售价应定为 元/件， 每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件， 即每件售价每上涨1元，则月销售量将减少 件， 由题意得：， 解得： ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为 元/件． 22. 如图，点 是矩形 中 边上一点， 沿 折叠为，点 落在 上． （1）求证：； （2）若，，求 的值； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称的性质等知识． （1）可证得，，进而得出； （2）由（1）得出，设，，由得出，求得k，进而得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∵ 沿 折叠为， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， 设，， ∵，， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 23. 如图，四边形 内接于 ， ，点 在 的延长线上，且 （1）判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若，， ，求 的长． 【答案】（1） 与 相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂直平分线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得 为直径，再证，即可得解； （2）先证 垂直平分 ，再利用等面积求出 长即可． 【小问1详解】 解： 与 相切，理由如下： 四边形 内接于， 为 的直径， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为 的切线，即 与 相切； 【小问2详解】 解：如图，记 、 交于点 ， ， ， ， 为直径， 垂直平分 ， ， ， ， 根据等面积可得， ． 24. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标； （3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)当m=时，S最大，此时Q（，）． 【解析】 【分析】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，解方程即可得到结论； （2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小．根据抛物线解析式求出B（0，3），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论； （3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，连接QA，QB，OQ，根据S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB求出S与m的关系式，利用函数的性质求出m的值，进而得到结论． 【详解】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中， 得，解得， 则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小． 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，则B（0，3）． 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（3，0），B（0，3）， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y=-x+3， ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴对称轴是直线x=1． 当x=1时，y=-1+3=2， ∴P（1，2）； （3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ． 则S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB =×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3 =-m2+m =-（m-）2+， ∴当m═时，S最大，此时Q（，）． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，三角形的面积等知识，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $