2026年中考数学一轮复习11反比例函数的图象、性质及应用知识归纳与考点专练 （六考点）

中考一轮复习11反比例函数的图象、性质及应用知识归纳与 考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（六考点） 知识归纳： 一、反比例函数的概念 1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 2．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 3．注意 （1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 三、反比例函数解析式的确定 1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 四、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 六、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 考点专练： 考点一：反比例函数的相关概念 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝6x C．x+y＝6 D．y＝ 2.下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.点A（﹣1，1）是反比例函数y＝的图象上一点，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 4.如果y与z成正比例,z与x成反比例,那么y与x之间的函数关系是 ( ) A.正比例关系 B.反比例关系 C.一次函数关系 D.不确定 5．反比例函数的比例系数是　 　． 6.已知是反比例函数，则 ． 考点二：反比例函数的图像与性质 1．反比例函数y＝的图象大致是( ) 2.若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k<2 B．k>2 C．k>1 D．k<1 3.反比例函数y=的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（      ） A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0 4．已知点A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列关系式一定正确的是( ) A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2<0＜x2 5.如图所示是三个反比例函数y1＝，y2＝，y3＝在y轴右边的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系是（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k1＞k3＞k2 C．k2＞k3＞k1 D．k3＞k2＞k1 6.点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　 　y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）． 考点三：反比例函数解析式 1.已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 2.如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 考点四：k的几何意义问题 1.如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 2.如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是和，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 4．如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且轴于点A，轴于点B，、分别交双曲线，于D、C两点，则的面积为（    ）    A． B． C． D．2 5.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ______ ． 6.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________. 考点五：反比例函数应用题 1.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 2.当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）的函数关系如图所示，已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积V应（　　） A．不大于m3 B．大于m3 C．不小于m3 D．小于m3 3.列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 4.为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的正比例函数，喷雾完成后y是x的反比例函数（如图）． （1）当x＞5时，求y关于x的函数解析式； （2）已知每立方米空气中含药量不低于4mg时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长． 考点六：反比例与一次函数综合问题 1.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 2.如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． (1)求C、E点的坐标； (2)求的面积； (3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】 中考一轮复习11反比例函数的图象、性质及应用知识归纳与 考点专练2025-2026学年人教版九年级下册（六考点） 知识归纳： 一、反比例函数的概念 1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 2．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 3．注意 （1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 三、反比例函数解析式的确定 1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 四、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 六、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 考点专练： 考点一：反比例函数的相关概念 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝6x C．x+y＝6 D．y＝ 【答案】D． 2.下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 3.点A（﹣1，1）是反比例函数y＝的图象上一点，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1 【答案】B． 4.如果y与z成正比例,z与x成反比例,那么y与x之间的函数关系是 ( ) A.正比例关系 B.反比例关系 C.一次函数关系 D.不确定 【答案】B 5．反比例函数的比例系数是　 　． 【答案】 6.已知是反比例函数，则 ． 【答案】4 考点二：反比例函数的图像与性质 1．反比例函数y＝的图象大致是( ) 【答案】A 2.若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k<2 B．k>2 C．k>1 D．k<1 【答案】B 3.反比例函数y=的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（      ） A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0 【答案】C 4．已知点A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列关系式一定正确的是( ) A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2<0＜x2 【答案】A 5.如图所示是三个反比例函数y1＝，y2＝，y3＝在y轴右边的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系是（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k1＞k3＞k2 C．k2＞k3＞k1 D．k3＞k2＞k1 【答案】A． 6.点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　 　y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）． 【答案】＞． 考点三：反比例函数解析式 1.已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 2.如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 考点四：k的几何意义问题 1.如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】A． 2.如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是和，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 4．如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且轴于点A，轴于点B，、分别交双曲线，于D、C两点，则的面积为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 5.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为 ______ ． 【答案】-2 6.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________. 【答案】-6 考点五：反比例函数应用题 1.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 2.当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）的函数关系如图所示，已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积V应（　　） A．不大于m3 B．大于m3 C．不小于m3 D．小于m3 【答案】C． 3.列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 【答案】240 4.为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的正比例函数，喷雾完成后y是x的反比例函数（如图）． （1）当x＞5时，求y关于x的函数解析式； （2）已知每立方米空气中含药量不低于4mg时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长． 【答案】解：（1）当x＞5时，设y关于x的函数解析式为y＝， 把（5，8）代入解析式得：8＝， 解得k＝40， ∴当x＞5时，y关于x的函数解析式为y＝； （2）根据题意得，当0＜x≤5时，y关于x的函数解析式为y＝x， 把y＝4代入y＝x得：x＝； 把y＝4代入y＝得：x＝10． ∵10﹣＝＝7.5（min）， ∴本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长为7.5min． 考点六：反比例与一次函数综合问题 1.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 2.如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． (1)求C、E点的坐标； (2)求的面积； (3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或， 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点， ∴联立，整理得， 解得， ∴或， 经检验或都是方程组的解， ∴，； （2）解：一次函数的解析式为与轴交于点 ． （3）解：如图，， ， 设， ∴，，， ①当时，，，解得， 此时． ②当时，，，解得，此时，． ②当时，则有，解得，此时． 综上所述，点坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $