第1章 直角三角形的边角关系 学业质量评价卷-【考出好成绩】2025-2026学年九年级下册数学课时分层提优课件PPT（北师大版）

1 2 第一章学业质量评价卷 ——直角三角形的边角关系 3 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°,BC=12,AC=5, 则 tan B的值为 ( ) C A. B. C. D. 2.在 Rt△ABC中，∠C=90°, 若 cosA= ,则∠A 的大小是 ( ) C A.30° B.45° C.60° D.75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4 3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=29°,BC=8, 则 AB 的长为( ) A 4.如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=4,tan C=3,则边AB的长为 如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=4,tan C=3,则边AB的长为 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5 5.数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的 飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测 旗杆顶部的俯角为 ，则旗杆的高度约为( ) B A. 米 B. 米 C. 米 D.22.5 米 6.如图，∠ACB=45°,∠PRQ=125°,△ABC底边BC上的高为h₁, △PQR 底边 QR 上的高为h₂, 则有( ) B A.h₁=h₂ B.h₁<h₂ C.h₁>h₂ D. 以上都有可能 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6 7.图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称 图形，AC=40 cm,则双翼边缘端点C 与 D 之间的距离为 ( ) D A.(60-40cosα)cm B.(60-40sin α)cm C.(60-80cosα)cm D.(60-80sin α)cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 8. 在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝.在骨架设 计中，两条侧翼的长度设计为AB=AC=50 cm,风筝顶角∠BAC 的度数为110°,在 AB,AC 上 取D,E 两处，使得AD=AE, 并作一条骨架AF⊥DE. 在制作风筝面时， 需覆盖整个骨架，根据以上数据， B,C 两点间的距离大约是(参考数据：sin 55°≈ 0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43) ( ) D A.41 cm B.57 cm C.82 cm D.143 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8 9.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,∠AOD=60°,AC=BD=2, 则这个 四边形的面积是 ( ) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 10.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°,CE是斜边AB 上的中线，过点E 作 EF⊥AB 交 AC 于 点F. 若 BC=4,sin∠CEF= ,则△AEF 的面积为 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，△ABC中，∠C=90°, sinA= , 则cos B= . 12.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C 在格点上，则 tanB=___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11 13.若0°<α<45°,且sin2α=,则α= 度. 14. 如图.小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度. 已知她与树之间的水 平距离为 6m,AB 为1 . 5 m (即小颖的眼睛距离地面的高度),那么这棵树的高度为 m. (结果保留根式). (2 +1.5 30 15. 新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形 ABCD 中 ， AB=10,BC=12,CD=5,tanB=,那么边AD 的长为 . 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 三、解答题（共75分） 16.（6分）计算： (1)tan45°-sin 60°cos30°-sin²45°; (2)3tan30°-tan²45°+2sin 60° . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13 解：如图，过点C 作 CB⊥AB 于 点B. 由题意，得AB=30×0.5=15 (海里) . 在 Rt△ABC中， （海里） 答： 海岛 C 到 B 处的距离为 海里． 17.（8分）我国海域辽阔，渔业资源丰富.如图，现有渔船在海岛 C 附近捕鱼作业， 正以30海 里/时的速度向正北方向航行，渔船在A 处时，测得海岛C 在该船的北偏 东30°方向上，航行 半小时后，该船到达B 处，发现此时海岛C 与该船距离最短.求 海岛C 到B 处的距离. (结果保留根号) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14 18.（8分）某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1:1.8改为1:2.4 ( 如 图).如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长， 解：在Rt△ADC中，∵AD:CD=1:2.4,∴CD=2.4AD. 由 AD²+CD²=AC², 得 AD²+(2.4AD)²=13² . 解得AD=5 (负值舍去),∴ CD=12米 . ∵AD:BD=1:1.8,∴BD=5×1.8=9 (米), ∴BC=CD-BD=12-9=3 (米). 答：改动后电梯水平宽度增加部分 BC的长为3米 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15 解：过点A 作 AE⊥BC于 点E, 如图. ∵AD⊥CD,BC⊥CD,∴四边形ADCE 是矩形，∴AE=CD=80 米， ∴在 Rt△AEC 中，EC=AE·tan34°≈80×0.67=53.6(米), 在 Rt△ABE 中 ， BE=AE·tan 42°≈80×0.90=72(米),∴BC=CE+BE=53.6+72=125.6 (米) . 答：大厦的高度约为125.6米 ． 19.（9分）如图，气象大厦离小伟家80米( 即DC=80 米),小伟从自家的窗中A 处眺望 大厦，并测得 大厦顶部B 的仰角是42°,而大厦底部C 的俯角是34°,求该大厦的高度.(结 果精确到0.1米)参考数据：sin42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,sin 34°≈0.56,cos34° ≈0.83,tan34°≈0.67. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16 20.（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=3,BC 的延长线与 AD的延长线交于点E. (1)若∠A=60°,求 BC 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 (2)若sinE=,求AD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 21.（11分）济南为了提升城市形象，建造了一座夏雨荷 雕像.周末，小红和爸爸去大明湖游玩， 想要用无人机测 量该雕像AB 的高度.小红将操作过程记录如下： 操作过程 已知无人机在距离水平地面72 m的空中水平飞行，无人机在C,D两点分别 测得雕像顶端A的俯角为22°和45°,C,D两点的水平距离为90 m(A,B,C, D四点在同一平面上) 解决问题一 求雕像AB的高度 解决问题二 若雕像AB的左侧18m处有一棵树PQ,高为20m,它会不会影响本次测量? 请说明理由 参考数据 sin22°≈0.4,cos22°≈0.9,tan22°≈0.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 解：问题一：如图，延长BA交 CD的延长线于点E, 则∠AEC=90°,EB=72 m. ∵∠2=45°,∠1=22°, ∴∠2=∠DAE=45°, ∴DE=AE. 设DE=AE=x m,∴.tan ∠1==≈0.4,解得x=60, ∴AB=72-60=12(m), 即雕像AB 的高度约为12 m. 问题二：如图，延长CA交 PB 于 点G, 过点P 作 PF⊥PB, 交 AC 于 点F, 则∠ABG=90°,∠AGB=∠1=22°,∴BG= ∴PG=BP+BG=18+30=48(m), ∴PF=PG·tan 22°≈48×0.4=19.2(m). ∵19.2<20,∴它会影响本次测量． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 22.（11分）如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m 远的A 处看“防溺水六不准”, 她看显示屏顶端B 的仰角为50°,看显示屏底端C 的仰角为45°,已知小红的眼睛与地面 的距离AF=1.5m. (1)填空：∠ ACD= 度，∠ABD= 度； (2)电子显示屏的底端 C 距地面多少米? (3)电子显示屏 BC 的高度约为多少米? (结果保留小数点后一位. 参考数据：sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19)． 45 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 解：(2)如图，延长BC 交地面于点E, 过 点A作 AD⊥BE 于 点D. 由题意，得 AF=DE=1.5m,AD=FE=5m. 在 Rt△ACD 中，∠CAD=45°,∴CD=AD·tan45°=5×1=5(m), ∴CE=CD+DE=5+1.5=6.5(m). 答：电子显示屏的底端C 距地面6.5 m. (3)在 Rt△ADB中，∠BAD=50°,AD=5m, ∴BD=AD·tan 50°≈5×1.19=5.95(m),∴BC=BD-CD=5.95-5≈1.0(m). 答：电子显示屏 BC的高度约为1.0 m． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 23.（12分）小华将一张纸对折后做成纸飞机，如图1,纸飞机机尾的横截面是一个 轴对称图形，其示意图如图2,已知AD=BE=10cm,CD=CE=5cm,AD⊥CD,BE⊥CE, ∠DCE=40°. (1)连接DE, 求线段DE 的长； 解：如图2,过点C 作 CF⊥DE 于 点F. ∵CD=CE=5cm, ∠DCE=40°,CF⊥DE, ∴∠DCF=20°,DE=2DF,∴DF=CD·sin 20°≈5×0.34=1.7(cm), ∴DE=2DF=3.4 cm,即线段DE 的长约为3.4 cm． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 解：∵横截面是一个轴对称图形，∴延长CF 交 AD,BE 的延长线于点G. 连接AB, 则 DE//AB,∴∠A=∠GDE. ∵AD⊥CD,BE⊥CE,∴∠GDF+∠FDC=90°. ∵∠DCF+∠FDC=90°, ∴∠GDF=∠DCF=20°, ∴∠A=20°，DG= ∴AG=AD+DG=10+1.81=11.81(cm), ∴AB=2AG·cos20°≈2×11.81×0.94≈22.2(cm). 即点A,B 之间的距离约为22.2 cm. (2)求点A,B 之间的距离.(结果精确到0.1 cm. 参考数据：sin20°≈0.34,cos 20°≈0.94, tan20°≈0.36,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 $