2.1 一元二次方程和它的解课件 2025-2026学年 浙教版数学八年级下册

第二章 一元二次方程 2.1 一元二次方程和它的解 随堂演练 课堂小结 获取新知 知识回顾 例题精讲 知识回顾 什么是一元一次方程？ 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。 0.1x2-x+1=0 这是什么方程？ 获取新知 列出下列问题中关于未知数x的方程： (1)某小区在两幢楼之间设置一块面积为1200平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，那么这块绿地的长和宽各为多少米？ 设长方形绿地的宽为x米，则长为 ，面积为 ，根据题意可列出方程： . x+10 x(x+10) +10x=1200 (2)某放射性元素经过2天质量衰变为原来的 ，问：平均每天的减少率为多少？ 设平均每天的减少率为x，则一天减少为______，两天减少为__________. 1-x (1-x)2 根据题意可列方程：______________________。 +10x=1200 观察下面两个方程，思考回答下面问题。 (1)上面两个方程是一元一次方程吗？ (2)上面方程整理后含有几个未知数？ (3)它的最高次数是几次？ 不是 含有一个未知数 最高次数是2次 (4)尝试参照一元一次方程的形式给这个方程命名？ 一元二次方程 一元二次方程的定义： 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程． 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（或根） 全品文教 (批注) - 在一元一次方程的基础上回顾，并且探究一元二次方程，了解他们的不同点（可用一些容易混淆的题目来考察学生们对一元二次方程的理解程度） 1.判断下列方程是否为一元二次方程： ① 10x2=9 ( ) ②2(x-1)=3x ( ) ③2x2-3x-1=0 ( ) ④ ( ) √ × √ × 2.判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根. x=-1 ,x=2是方程x2-2=x的根，x=0 不是方程x2-2=x的根 定义紧加练习，理解更深刻 x2+3x=4 x2+3x-4=0 下列两个方程还可以怎样表示呢？ 上面两个方程有什么特点？ 都是ax2+bx+c=0的形式 一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项； a,b分别称为二次项系数,一次项系数. (1)通过整理,所有关于x的一元二次方程都可以化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). (2)一元二次方程的一般形式不是唯一的,从而其二次项系数、一次项系数和常数项也不是唯一的,通常的一般形式是指最简单、最实用、最方便的一种. ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0） 【想一想】为什么a≠0？ b,c可以为0吗? 例题精讲 例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)9x2=5-4x； (2)(2-x)(3x+4)=3. 解：（1）移项，整理得9x2+4x-5=0 这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5。 （2）方程左边多项式相乘，得-3x2+2x+8=3， 移项，整理得-3x2+2x+5=0 这个方程的二次项系数是-3，一次项系数是2，常数项是5。 【例2】已知一元二次方程 2x2+bx+c=0的两个根分别为x1= 和x2=-3，求这个方程. 解：将x1= 和x2=-3带入方程 2x2+bx+c=0得 2×( )2+2.5b+c=0 2×(-3)2+(-3)b+c=0 解得 　 b=1 c=-15 所以这个一元二次方程是2x2+x-15=0 求一元二次方程中字母或代数式的值的一般步骤 1.根据方程的根的定义,把方程的根代入方程,即可得到关于未知字母的方程. 2.求解所得的方程,并根据“二次项系数不等于0”这一条件进行取舍,最终确定字母或代数式的值. 3.整体代入法是求代数式值的一种有效方法. 随堂演练 1.下列方程中,属于一元二次方程的是 (　　) A. x-1=2x-3 B.2x-x2=0 C.x2-2x=(x+3)(x-2) D.2xy=7 B 2. 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是(　　) A．1，－3，10 B．1，7，－10 C．1，－5，12 D．1，3，2 A 3.某公司在2025年末公示年度报告，第一、二季度利润保持平稳，均为40万元，从第三季度开始收益逐渐提升，到第四季度利润达90万元，如果设第三、第四两季度利润平均增长率为x,根据题意，可列方程为（　　） A．40（1+x）2=90 B.40（1+2x）=90 C.40（1+x2）=90 D.40（1+x）=90 A 4.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为x=1,则a+b+c=　　　;若有一个根为x=-1,则a-b+c=　　　　;若有一个根为x=0,则c=　　　　. 0 0 0 5．把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：将原方程化简为： 　　9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9) 9x2＋12x＋4＝4 x2 －24x ＋36 9x2－ 4x2＋ 12x＋ 24x＋4－36＝0 二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为－32 5x2 ＋ 36 x － 32＝0 课堂小结 整式 一 一元二次方程 定义 根的检验 一般形式 (1)是__________方程;(2)方程只含有________个未知数;(3)未知数的最高次数是________次 ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0）其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项根 把根代入方程左右两边,比较左右两边是否相等，若相等,则是方程的根，否则不是 2 $