2.1一元二次方程和它的解 课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

第一章 二次根式 2.1一元二次方程和它的解 01 教学目标 01 02 1．理解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的一般形式． 02 新知导入 什么是方程？什么是方程的解（或根）？ 答：含有未知数的等式叫做方程。使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解. 曾学过哪些方程？ 什么叫做一元一次方程？ 方程的两边都是整式，只含有一个未知数；并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程. 含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是 一次的方程叫做二元一次方程. 由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组. 03 新知探究 一元一次方程 未知量 未知量的最高次幂 未知量的最高次幂是1 【提示】 判断下列式子是否是一元一次方程： × √ 一个未知量 03 新知探究 列出下列问题中关于未知数x的方程： （1）某小区计划在两幢楼之间设置一块面积为 1200 平方米的长方形绿地，而且长比宽多 10 米，那么这块绿地的长和宽各是多少米？ 设长方形绿地的宽为x米，可列出方程：__________。 x2+10x=1200 03 新知探究 (2)某放射性元素经过2天质量衰变为原来的，问：平均每天的减少率为多少？ 设平均每天的减少率为x，一天减少为______，两天减少为__________. 1-x (1-x)2 = 等量关系 03 新知探究 x2+3x=4 观察下面两个方程，思考回答下面问题。 (1)上面两个方程是一元一次方程吗？ (2)上面方程整理后含有几个未知数？ (3)它的最高次数是几次？ 不是 含有一个未知数 最高次数是2次 03 新知探究 想一想它们都有什么共同点： 整式方程 未知个数数1个 含有未知数项的次数2次 03 新知讲解 提炼概念 方程 x2+10x=1200和 的两边都是整式，并且只含有一个未知数，并且未知数最高次数为2次我们把这样的方程叫做一元二次方程. 03 新知讲解 判断下列方程是否为一元二次方程： ① 10x2=9 ( ) ②2(x-1)=3x ( ) ③2x2-3x-1=0 ( ) ④ ( ) √ × √ × 【点睛】判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 03 新知讲解 【思考】下列两个方程还可以怎样表示呢？ x2+10x=1200 x2+10x-1200=0 上面两个方程有什么特点？ 都是ax2+bx+c=0的形式 03 新知讲解 一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项； a,b分别称为二次项系数,一次项系数. 03 新知讲解 思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 新课探究 例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. 解：（1）移项，整理得9x2+4x-5=0 二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5. (2）移项，整理得-3x2+2x+5=0 二次项系数是–3，一次项系数是2，常数项是5. 03 新知讲解 例2 已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根为x1= ，和x2=-3,求这个方程. 思考：求一个方程经常可以通过确定方程中的未知数 来实现的，所用的待定系数是怎样得到？ 解：将x1= ，x=-3代入方程2x2+bx+c=0得　 解得， ∴ 这个方程为2x2+x-15=0. 03 新知讲解 提炼概念 注意： 1.要先化成 ax²+bx+c=0 的形式. 2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形. 3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是 (　　) A．1，－3，10 B．1，7，－10 C．1，－5，12 D．1，3，2 A 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 所以这个一元二次方程是－2x2－x＋2＝0. 19 05 课堂小结 1.要先化成 ax²+bx+c=0 的形式. 2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形。 3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项.写系数时，要带上前面的符号. 4、一般情况下，二次项系数应化为正数. 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.下列方程中是一元二次方程的是(　 　) ③6x2－x＝0；④2x2－5y＝0； ⑤－x2＝0；⑥x(x－1)＋(x＋1)2＝2(x－1)(x＋3)． A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑥ 1.选C 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 返回 2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方　　程 一般形式 二次项 系　数 一次项 系　数 常数项 x2-4x-3=0 (x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 x2-4x-3=0 x2+x-8=0 7x2-4=0 1 -4 -3 -8 -4 1 1 7 0 06 作业布置 【综合拓展类作业】 3.将下列方程化为一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项． 解：去括号，得12－y2＝y2－6y＋9， 移项、合并，得2y2－6y－3＝0. 二次项系数为2，一次项系数为－6，常数项为－3. 3.已知一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的两个根为x1＝－1，x2＝，求这个方程． 解：将x1＝－1，x2＝代入方程ax2＋bx＋1＝0， 解得 ①7x2＋6＝3x；②＝7； (2＋y)(2－y)＝(y－3)2. $