重难点02 函数图象与几何动态问题的探究（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 重难点02 函数图象与几何动态问题的探究 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 4 固·重难考点 拓·创新能力 【解题思路】 在结合运动辨析函数图象型问题的解题过程中，应坚持选择题的解决思想是:“为达目的，不择手段”,可利用排除法、特殊位置法等解题方法，只要选出正确答案即可，按照这个原则我们对这类题型往往深入分析函数与自变量的关系，尤其是次数(一次、二次还是负一次)的考察，尽量避免花费大力气寻求函数关系式而使得小题大做. 根据运动探究函数性质型问题一般可结合代数法与几何法配合解题. (1)代数法:设动点的坐标,利用两点间距离公式表示线段长,结合周长、面积等求解即可，注意计算准确. (2)几何法:确定动点的位置,可将已知图形进行平移、对称、旋转,从而得到待定图形的位置,再利用图形的性质求线段长，结合几何特征，从而确定点坐标或函数的性质. 题型01 结合运动辨析函数图象型 / 【典例】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式】 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型02 根据运动探究函数性质型 / 【典例】 1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【变式】 2．（2025九年级下·辽宁·专题练习）如图①，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 5．（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 6．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 7．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 8．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 9．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（21-22八年级下·山西吕梁·期末）如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（    ）    A．5 B．4 C． D． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在等边三角形中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点，设，，么与之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行，则称该矩形为点的“对角矩形”． (1)如图2，点的坐标为． ①若点的坐标为，则点的“对角矩形”的周长为______； ②直线与轴交于点，与轴交于点，在线段上存在点，使点的“对角矩形”为正方形，请求出点的坐标； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若点的“对角矩形”面积为，求的值； (3)已知，点是抛物线上的点． ①当时，且点在第一象限，若点的“对角矩形”的周长为，求点的坐标； ②若是在之间的最高点，设点的“对角矩形”的面积为，当时，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点02 函数图象与几何动态问题的探究 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 8 固·重难考点 拓·创新能力 【解题思路】 在结合运动辨析函数图象型问题的解题过程中，应坚持选择题的解决思想是:“为达目的，不择手段”,可利用排除法、特殊位置法等解题方法，只要选出正确答案即可，按照这个原则我们对这类题型往往深入分析函数与自变量的关系，尤其是次数(一次、二次还是负一次)的考察，尽量避免花费大力气寻求函数关系式而使得小题大做. 根据运动探究函数性质型问题一般可结合代数法与几何法配合解题. (1)代数法:设动点的坐标,利用两点间距离公式表示线段长,结合周长、面积等求解即可，注意计算准确. (2)几何法:确定动点的位置,可将已知图形进行平移、对称、旋转,从而得到待定图形的位置,再利用图形的性质求线段长，结合几何特征，从而确定点坐标或函数的性质. 题型01 结合运动辨析函数图象型 / 【典例】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 【变式】 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 题型02 根据运动探究函数性质型 / 【典例】 1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 【变式】 2．（2025九年级下·辽宁·专题练习）如图①，是等腰三角形，是底边的中点，动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图②所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了函数与几何图形相结合的变换，勾股定理，合理从图中获取相关信息是解题的关键． 从图形变化中获取和的长，连接，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法列式运算即可． 【详解】由题图①可知，当时，，此时点与点重合， ∴， ∵是底边的中点， ∴， ∵当时，此时点E与点C重合， ∴， ∴， 如图，连接AD，则， ∴， ∴， 由题图②可知，m为函数的最小值， ∴点到的距离为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，设，可得，如图，在上取点，使，求解：，证明，可得，，结合y关于x的函数图象过点，求解：，再进一步利用二次函数的性质解题即可. 【详解】解：∵，，是角平分线． ∴，，设， ∴， 如图，在上取点，使， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵y关于x的函数图象过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴该图象上最低点的坐标为； 故选：B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键. 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 4．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象、函数解析式 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 5．（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 【答案】 8 12 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 6．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、根据等角对等边求边长、判断点与圆的位置关系、应用切线长定理求解 【分析】由题意可得点在外，从而得出，再由切线长定理可得，，，又，则，所以，可得，故有，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵过点可以引的两条切线，， ∴点在外， ∴， ∵，是的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，切线长定理，勾股定理，求函数解析式，等角对等边，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 7．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴， ∴当时，的值最小，为； ∴； 设交轴于点，则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为， ∴； 当，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时点轴，如图： 此时重叠部分为五边形，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 8．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ， ． 9．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积S关于运动时间t的函数解析式为； (3)当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）解方程得出的长度，由菱形的性质与锐角函数综合，可得和的长度，即可得点的坐标； （2）分类讨论，分别由运动时间表示出线段长度，代入三角形的面积公式，化简整理即可； （3）根据运动时间，确定点和点的坐标，分类讨论，根据等腰三角形的性质即可得点的坐标． 【详解】（1）解：由解得，，， ∵的长是一元二次方程的根， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∴ 答：点的坐标为． （2）解：根据题意可知，，， 如图，作于点，则， ∵，，， ∴， 作轴于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴的面积， 当时，， ∴的面积， 综上所述，， 答：的面积关于运动时间t的函数解析式为． （3）解：如图，当时，，点和点重合，，，， 假设在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形，，，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握分类讨论的思想方法． 1．（21-22八年级下·山西吕梁·期末）如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（    ）    A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】根据点P运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：根据点P运动，可得， 设与间的距离是d， 当点P在上时，， 解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点P运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在等边三角形中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点，设，，么与之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、动点问题的函数图象、等边三角形的性质 【分析】本题考查了动点函数问题、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，，证明，得出，由此即可得． 【详解】解：∵为等边三角形，，，为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行，则称该矩形为点的“对角矩形”． (1)如图2，点的坐标为． ①若点的坐标为，则点的“对角矩形”的周长为______； ②直线与轴交于点，与轴交于点，在线段上存在点，使点的“对角矩形”为正方形，请求出点的坐标； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若点的“对角矩形”面积为，求的值； (3)已知，点是抛物线上的点． ①当时，且点在第一象限，若点的“对角矩形”的周长为，求点的坐标； ②若是在之间的最高点，设点的“对角矩形”的面积为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①12；② (2)的值为或 (3)①，；②或或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据矩形的性质与判定求线段长、一次函数与几何综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）①如图所示，矩形是点的“对角矩形”，则，由周长的计算即可求解；②根据题意，如图所示，四边形是点的“对角矩形”为正方形，则，设，则，，，由此列式求解即可； （2）根据题意得到，如图所示，矩形是点的“对角矩形”，则，由此列式得到求解即可； （3）①设，如图所示，矩形是点的“对角矩形”，则，结合题意列式求解即可；②根据题意得到图象开口向下，对称轴直线为，分类讨论：第一种情况：当时，在中，时函数有最大值，即，则，根据面积计算方法列式求解；第二情况：当时，抛物线对称轴直线为，，此时的顶点坐标为，，根据面积计算方法列式求解；第三种情况：当时，时，函数有最大值，此时点与点在平行于轴的直线上，不符合题意，舍去；综上所述，即一元二次方程，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，如图所示，矩形是点的“对角矩形”， ∵， ∴， ∴周长为； ②直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，，则， ∴， 如图所示，四边形是点的“对角矩形”为正方形，则， 设，则， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴； （2）解：点是函数图象上一点，且横坐标为， ∴， 如图所示，矩形是点的“对角矩形”， ∴， ∴， ∴，整理得，， 解得，， ∴的值为或； （3）解：①当时，抛物线解析式为， 当时，，当时，， 解得，， ∵点是抛物线图象上，且在第一象限， ∴设， 如图所示，矩形是点的“对角矩形”， ∴， ∴， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴； ②抛物线， ∵， ∴图象开口向下，对称轴直线为， 第一种情况：当时，在中，时函数有最大值，即， ∴， ∴， 当时，， ∴或， 解得，或或或， ∵， ∴或， 当时，， ∴或， 解得，或或或， ∵， ∴或， ∴或； 第二情况：当时，抛物线对称轴直线为， ∴， ∴此时的顶点坐标为， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴或， 整理得，或， ∵， ∴无解， 解方程得，（舍去）或， ∴ 当时， ∴或， 整理得，（无解）或， 解得，（舍去）或， ∴； 第三种情况：当时，时，函数有最大值，此时点与点在平行于轴的直线上，不符合题意，舍去； 综上所述，的取值范围或或． 【点睛】本题主要考查新定义运算，矩形、正方形的性质，一次函数图形的性质，反比例函数图象的性质与几何图形的综合，二次函数图形的性质，对称轴直线，最值的计算方法，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想，二次函数与几何图形面积的计算，解一元二次方程的方法是关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $